ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ, возбуждение колебаний, наступающее в колебательной системе в результате периодич. изменения величины к.-л. из "колебательных параметров" системы (т. е. параметров, от величины к-рых существенно зависят значения потенциальной и кинетич. энергий и периоды собственных колебаний системы). П. в. к. может происходить в любой колебательной системе, как в механической, так и в электрической, напр. в колебательном контуре, образованном конденсатором и катушкой самоиндукции, при периодич. изменении ёмкости конденсатора или индуктивности катушки (см. также Параметрическое возбуждение и усиление электрических колебаний).

П. в. к. наступает в случаях, когда отношение w_о/w (угловой частоты w_о одного из собств. колебаний системы к угловой частоте w изменений параметра) оказывается близким к n/2, где n = 1,2,3,...; тогда в системе могут возбудиться колебания с частотой, близкой к w_о и точно равной w/2, либо w, либо 3w/2 и т. д. П. в. к. наступает легче всего, а возникшие колебания оказываются наиболее интенсивными, когда w_о/w~1/2.

Классич. пример П. в. к.- возбуждение интенсивных поперечных колебаний в струне, прикреплённой одним концом к ножке камертона (рис. 1, а) путём периодич. изменения её натяжения. Легче всего П. в. к. возникает, когда один из периодов собств. колебаний струны (её осн. тона или к.-л. из гармоник) приблизительно вдвое больше периода колебаний камертона. При обычном же возбуждении вынужденных колебаний струны (рис. 1, б) с периодом, равным периоду колебаний камертона, резонанс наступил бы всякий раз, когда период колебаний камертона совпадал бы с периодом одного из собств. колебаний струны. Т. о., явление П. в. к. в этом отношении сходно с резонансом при обычном возбуждении вынужденных колебаний; поэтому П. в. к. часто наз. параметрическим резонансом.
 

Рис. 1. а - параметрическое возбуждение колебаний струны; 6 - вынужденное колебание струны.

Происхождение П. в. к. можно пояснить на модели маятника, выполненного в виде массы т, подвешенной на нити, длину к-рой l можно менять (рис. 2, а). Т. к. период колебаний маятника зависит от длины подвеса, то, меняя последнюю с периодом, напр., вдвое меньшим периода собств. колебаний маятника, возможно П. в. к. Сообщив маятнику небольшие собств. колебания, удлиняем нить каждый раз, когда маятник проходит через одно из крайних положений, и уменьшаем её, когда он проходит через среднее положение в том или другом направлении (рис. 2, б). Натяжение нити не только уравновешивает направленную вдоль неё составляющую силы тяжести mg cos a (где a- угол отклонения маятника от вертикали), но и сообщает телу центростремительное ускорение v²/l, поэтому натяжение нити F - mg cos a + mv²/2, т. е. имеет наименьшее значение, когда маятник проходит через каждое из крайних положений (где v = 0, а a не равно 0). При уменьшении длины нити в среднем положении внеш. сила ф совершает большую работу, чем та отрицат. работа, к-рая совершается при увеличении её в крайних положениях. В результате за каждый период колебаний внеш. сила совершает положит. работу, и если эта работа превосходит потери энергии колебаний в системе за период, то энергия колебаний маятника, а значит. и амплитуда этих колебаний будут возрастать. Поэтому начальные собств. колебания, к-рые были сообщены маятнику, могут иметь сколь угодно малую амплитуду; в частности, это могут быть те флуктуац. колебания, к-рые неизбежно происходят во всякой колебат. системе вследствие воздействия на неё различных случайных факторов и имеют сплошной спектр со всевозможными фазами гармонич. составляющих. Следовательно, независимо от того, в какой фазе происходят периодич. изменения длины подвеса, всегда найдутся такие малые собств. колебания маятника, для к-рых эти изменения происходят в нужной фазе, вследствие чего амплитуда именно этих собств. колебаний будет возрастать.
 

Рис. 2. a - устройство маятника с переменной длиной подвеса; 6 - схема движения тела маятника за один период.

При П. в. к. состояние равновесия в результате периодич. воздействия на к.-л. параметр становится неустойчивым и система начинает совершать нарастающие колебания около положения равновесия. Однако нарастание колебаний не происходит беспредельно, т. к., когда амплитуда и скорости колебаний достигают больших значений, колебательная система начинает вести себя как нелинейная система и нарастание колебаний прекращается.

Области, в к-рых состояние равновесия неустойчиво и происходит П. в. к., как уже указывалось, лежат вблизи значений w_о/w = ¹/₂, 1, ³/₂, ... (рис. 3) и зависят от относит. амплитуды изменений параметра а. Чем больше эта амплитуда, тем шире область, т. е. тем при большем отличии w_о/w от ¹/₂, 1 и т. д. всё ещё наблюдается П. в. к. Вне областей неустойчивости П. в. к. не наступает и колебания в системе отсутствуют (в отличие от "обычного" возбуждения вынужденных колебаний, когда и вдали от резонанса слабые вынужденные колебания всё же возникают). Вблизи значений w_о/w = ¹/₂, 1, ³/₂, ... П. в. к. наступает, как видно из рис. 3, при сколь угодно малых амплитудах изменений параметра. Это - следствие того, что мы пренебрегли потерями энергии, всегда существующими в реальной колебательной системе. Если учесть потери энергии, то области, в к-рых состояние равновесия неустойчиво (пунктир на рис. 3), уменьшаются. Как и следовало ожидать, при наличии потерь неустойчивость даже в отсутствие расстройки наступает только при достаточно большой амплитуде изменений параметра, когда вклад энергии от периодич. изменения параметра превосходит потери. Т. о., вследствие потерь энергии, для П. в. к. всегда существует порог. В системах с большими потерями этот порог поднимается выше предела возможных изменений параметра сначала для более высоких отношений coo/со, а затем и для w_о/w = = ¹/₂, т. е. явление П. в. к. вообще не может возникнуть.

Рис. 3. Области, в которых возможно параметрическое возбуждение колебаний.

Лит.: Горелик Г. С., Колебания и волны, 2 изд., М., 1959, гл. III, § 9; Мандельштам Л. И., Полн. собр. трудов, т. 4, М., 1955 (Лекции по колебаниям, ч. 1, лекции 18 - 19). С. М. Хайкин.

ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ функции, выражение функциональной зависимости между неск. переменными посредством вспомогательных переменных параметров. В случае двух переменных x и у зависимость между ними F (х, у) - 0 может быть геометрически истолкована как уравнение нек-рой плоской кривой. Любую величину t, определяющую положение точки (х,у) на этой кривой (напр., длину дуги, отсчитываемой со знаком + или - от нек-рой точки кривой, принятой за начало отсчёта, или момент времени в нек-ром заданном движении точки, описывающей кривую), можно принять за параметр, в функции к-рого выразятся х и у.

Последние функции и дадут П. п. функциональной зависимости между x и у, уравнения (*) называют параметрич. уравнениями соответствующей кривой. Так, для случая зависимости х² + у² = 1 имеем П. п. х= cos t, у = sin t (0=<t<2П) (параметрич. уравнения окружности); для случая зависимости х² - у² = 1 имеем

или также х = cosec t, y - ctg t (-Пи<t<Пи, t не равно 0) (параметрич. ур-ния гиперболы ). Если параметр t можно выбрать так, что функции (*) рациональны, то кривую называют уникурсальной (см. Уникурcальная кривая); такой является, напр., гипербола. Особенно важно П. п. пространственных кривых, т. е. задание их уравнениями вида: x = ф (t), у = фи (t), z = x (t). Так, прямая в пространстве допускает П. п. х = а + mt; у = b + nt; z = с + pt, винтовая линия - П. п. х - a cos t; у = a sin t; z - ct.

Для случая трёх переменных х, у и z, связанных зависимостью F (x,y,z) = О (одну из них, напр. z, можно рассматривать как неявную функцию двух других), геометрич. образом служит поверхность. Чтобы определить положение точки на ней, нужны два параметра и и v (напр., широта и долгота на поверхности шара), так что П. п. имеет вид: x = ф (и, v); у = фи(и, v); z = x (и, v). Напр., для зависимости х² + y²=(z² + 1)² имеем П. п. х = (и²-1)cos v; у = (и² + l)sin v, z = и. Важнейшими преимуществами П. п. являются: 1) то, что они дают возможность изучать неявные функции и в тех случаях, когда переход к их явному заданию без посредства параметров затруднителен; 2) то, что здесь удаётся выражать многозначные функции посредством однозначных. Вопросы П. п. изучены особенно хорошо для аналитич. функций. П. п. аналитич. функций посредством однозначных аналитич. функций составляет предмет теории униформизации.

ПАРАМЕТРОН, элемент автоматики и вычислительной техники, принцип действия к-рого основан на особенностях параметрического возбуждения и усиления электрических колебаний. Простейший П. представляет собой колебат. контур, настроенный на частоту f_о. При периодич. изменении под воздействием сигнала накачки с частотой f_н, равной примерно 2f_о, одного из энергоёмких параметров контура в нём возникает колебание с частотой

когерентное по отношению к возбуждающему колебанию. При этом фаза возбуждённых в П. колебаний может принимать одно из двух отличающихся на 180^о значений, условно обозначаемых (О, Пи ), и сколь угодно долго находиться в этом состоянии. Эта способность П. выбирать одну из двух стабильных фаз называется свойством квантования фазы. П. как логический элемент или ячейка запоминающего устройства был запатентован в 1954 Э.Гото (Япония). На основе П. созданы счётчики, регистры, сумматоры, запоминающие устройства и системы управления ЭВМ.

По типу нелинейного элемента различают индуктивные П. (с ферритовыми сердечниками, магнитной плёнкой), ёмкостные П. (на параметрических полупроводниковых диодах, сегнетоэлектрич. конденсаторах) и резистивные П. (на туннельных и др. полупроводниковых диодах с вольтамперной характеристикой, имеющей падающий участок). Скорость (тактовая частота f_Т) переключения П. пропорциональна частоте накачки и меньше её примерно в 20-50 раз. Наиболее надёжными и дешёвыми являются одноконтурные индуктивные (на ферритовых сердечниках) П. с потребляемой мощностью 15-50 лет, f_Т=< 100 кгц; более экономичные (3- 6 мвт) ёмкостные П. на конденсаторах имеют более высокое быстродействие (f_Т~5 Мгц); ещё больше быстродействие резистивных П., т. к. продолжительность процесса установления колебаний в них соизмерима с периодом собств. колебаний контура. В индуктивных П. на тонких магнитных плёнках или в ёмкостных П. на полупроводниковых диодах тактовая частота достигает 150 Мгц. В связи с разработкой параметрич. усилителей и генераторов света появляется принципиальная возможность перехода к частотам оптич. диапазона, что должно привести к существенному повышению быстродействия П.

Лит.: Параметроны. [Сб. ст.], пер. с япон., кн. 1 - 2, М., 1961 - 62; Параметроны в цифровых устройствах, М., 1968; Вишневецкий А. И., Немецкий Г. М., Параметроны и их применение в устройствах связи, М., 1968. В. И. Медведев