ЛОВЧИЕ ПТИЦЫ, хищные птицы (беркут, соколы, ястребы), используемые для спортивной и промысловой охоты на зверя и птицу. Охота с Л. п., особенно развитая в России в 15-17 вв., ныне сохранилась в Абхазии и Аджарии (охота с перепелятником на перепёлок), в Киргизии и Казахстане (с беркутом - на лис, зайцев и волков; с тетеревятником - на уток, гусей, фазанов и зайцев) и в Туркмении (с балобаном - на уток, дроф, зайцев). Молодых хищных птиц, вынутых из гнезда или пойманных сетью, длительное время обучают, чтобы воспитать Л. п., способных сбить или догнать вспугнутую дичь и задержать её до прихода охотника. Опытный охотник с беркутом может за осень и зиму добыть до 30-40 лисиц. Повсеместное сокращение численности хищных птиц ведёт к исчезновению охоты с Л. п.

Лит.: Дементьев Г. П., Охота с ловчими птицами, [М.], 1935.

ЛОВЧИЙ, 1) придворная должность, с 16 в.- чин в рус. феод, обществе, с 18 в. - егермейстер. Л. занимался организацией охоты. Различались Л.: охотники, сокольничьи, псари, бобровники, подледчики и др. Впервые упоминаются в "Поучении" Владимира Мономаха (12 в.). 2) Слуги рус. бояр и помещиков, занимавшиеся организацией их охоты.

ЛОВЧОРРИТ (от назв. горы Ловчорр в Хибинах, Мурманская обл.), редкий минерал, встречающийся в виде непостоянных по составу аморфных клеепо- добных масс жёлтого и буро-жёлтого цвета. По химич. составу близок к минералу ринколиту Na₂Ca₄CeTi[Si₂O7] О (F, ОН)₃, аморфной разновидностью которого, возможно, и является Л. Содержит примеси окисей: ZrO₂, A1₂O₃, ThO₂ и др. Радиоактивен. Структура скрыто- кристаллич. Твёрдость по минералогич. шкале ок. 5, плотность 3150-3320 кг/м³. Встречается в виде прожилков, неправильных скоплений или параморфоз по кристаллам рияколита в щелочных пегматитах, связанных с породами нефелин- сиенитовой группы. Руда для получения редкоземельных металлов и тория.

ЛОГ, овраг в равнинной местности в стадии аккумуляции, с пологими, заросшими растительностью склонами, плоским днищем и незначит. боковым водосбором.

ЛОГ, посёлок гор. типа в Иловлинском р-не Волгоградской обл. РСФСР. Ж.-д. станция на линии Волгоград - Повори- но. Плодозавод.

ЛОГАН (Logan), горная вершина на С.-З. Канады, в горах Св. Ильи. Вые. 6050 м (2-я по высоте в Сев. Америке). Сложена гранитами. Покрыта обширными ледниками, почти достигающими её подножия. Даёт начало многочисл. долинным ледникам дл. до 80 км (ледник Логан).

ЛОГАНИЕВЫЕ (Loganiaceae), семейство двудольных растений. Деревья и кустарники, иногда лианы или травы. Листья супротивные, простые, цельные. Цветки обоеполые, б. ч. правильные; чашечка и венчик обычно пяти- или четырёхчленные. Гинецей из 2, редко 3 плодолистиков; завязь обычно верхняя, иногда полунижняя. Плод - коробочка или ягодовидный, реже - костянковидный. Ок. 20 родов (более 450 видов) в тропиках и субтропиках обоих полушарий; в СССР и Зап. Европе дикорастущих Л. нет. Многие из Л. ядовиты, содержат алкалоиды; важное медицинское значение имеет чилибуха. Нек-рые декоративны. К Л. часто относят всего 6 родов (ок. 100 видов), остальные выделяют в семейства стрихновых, или чилибуховых (Strychna- сеае), поталиевых (Potaliaceae) и др.

Лит.: Тахтаджян А. Л., Система и филогения цветковых растений, М.- Л., 1966.

ЛОГАНОВСКИЙ Александр Васильевич [11(23).3.1810 (или 1812), Москва,- 18(30).11.1855, там же], русский скульптор. Учился в петерб. АХ (1821-33) у В. И. Демут-Малиновского, пенсионер петерб. АХ в Италии (1837-44). Работал в духе позднего академич. классицизма, преим. в области монументально-декоративной скульптуры на темы из Евангелия и рус. истории (горельеф "Избиение младенцев" в юж. портике Исаакиевского собора в Ленинграде, бронза, 1844-46; статуи и рельефы храма Христа Спасителя в Москве, бронза, мрамор, 1840-е- 1850-е гг., сохранившиеся ныне в Н.-и. музее архитектуры им. А. В. Щусева в Москве).

А. В. Л о г а н о в с к и и. "Парень, играющий в свайку". Гипс. 1836. Русский музей. Ленинград"

ЛОГАРИФМ числа N по основанию а, показатель степени т, в которую следует возвести число а (основание Л.), чтобы получить N; обозначается logaN. Итак, т = log_aN, если а™ = N. Напр., log.о 100 = 2; Iog₂ -32" = -5; log_a I =0, т. к. 100 =10², -32" = 2^-5, 1= а^О. При отрицательных а бесконечно много положительных чисел не имело бы действительных логарифмов, поэтому берётся а > 0 и а ?-. 1. Из свойств логарифмической функции вытекает, что каждому положительному числу соответствует при данном основании единств, действительный Л. (логарифмы отрицательных чисел являются комплексными числами). Осн.  свойства Л.:

.
позволяют сводить умножение и деление чисел к сложению и вычитанию их Л., а возведение в степень и извлечение корня - к умножению и делению Л. на показатель степени или корня, т. е. к более простым действиям.

Когда основание а фиксировано, говорят об определённой системе Л. В соответствии с десятичным характером нашего счёта наиболее употребительны десятичные Л. (а = 10), обозначаемые lg N. Для рациональных чисел, отличных от 10" с целым k, десятичные Л. суть трансцендентные числа, к-рые приближённо выражают в десятичных дробях. Целую часть десятичного Л. наз. х а- рактеристикой, дробную - мантиссой. Так как lg(10^feN) = = k + lg-V, то десятичные Л. чисел, отличающихся множителем 10^й, имеют одинаковые мантиссы и различаются лишь характеристиками. Это свойство лежит в основе построения таблиц Л., которые содержат лишь мантиссы Л. целых чисел (см. Логарифмические таблицы).

Большое значение имеют также н а- туральные Л., основанием которых служит трансцендентное число е = 2,71828...; их обозначают InN. Переход от одного основания Л. к другому совершается по формуле log&N = = logaN/logab, множитель l/log.,6 наз. модулем перехода (перевода) от основания а к основанию Ь. Для перехода от натуральных Л. к десятичным или обратно имеем

Историческая справка. Открытие Л. было связано в первую очередь с быстрым развитием астрономии в 16 в., уточнением астрономич. наблюдений и усложнением астрономич. выкладок. Авторы первых таблиц Л. исходили из зависимости между свойствами геометрич. прогрессии и составленной из показателей степени её членов арифметич. прогрессии. Эти зависимости, частично подмеченные ещё Архимедом (3 в. до н. э.), были хорошо известны Н. Шюке (1484) и нем. математику М. Штифелю (1544). Первые логарифмич. таблицы были составлены одновременно и независимо друг от друга Дж. Непером (1614, 1619) и швейц. математиком Й.Бюрги(1620). Важный шаг в теоретич. изучении Л. сделал белы, математик Григорий из Сен-Вин- цента (1647), обнаруживший связь Л. и площадей, ограниченных дугой гиперболы, осью абсцисс и соответствующими ординатами. Представление Л. бесконечным степенным рядом дано Н. Мер- катором (1668), нашедшим, что

Вскоре затем Дж. Грегори (1668) открыл разложение

Этот ряд очень быстро сходится, если М -= N + 1 и N достаточно велико; поэтому он может быть использован для вычисления Л. В развитии теории Л. большое значение имели работы Л. Эйлера. Им установлено понятие о логарифмировании как действии, обратном возведению в степень.

Термин "Л." предложил Дж. Непер; он возник из сочетания греч. слов logos (здесь - отношение) и arithmos (число); в антич. математике квадрат, куб и т.д. отношения а/6 наз. "двойным", "тройным" и т. д. отношением. Т. о., для Непера слова "logu arithmos" означали "число (кратность) отношения", то есть Л. у Дж. Непера - вспомогательное число для измерения отношения двух чисел. Термин "натуральный логарифм" принадлежит Н. Меркатору, "характеристика"- англ, математику Г. Бригсу, "мантисса" в нашем смысле - Л. Эйлеру, "основание" Л. - ему же, понятие о модуле перехода ввёл Н. Меркатор. Совр. определение Л. впервые дано англ, математиком В. Гардинером (1742). Знак Л.- результат сокращения слова "Л."- встречается в различных видах почти одновременно с появлением первых таблиц [напр., Log - у И. Кеплера (1624) и Г. Бригса (1631), log и 1. - Б. Каваль- ери (1632, 1643)].

Лит.: Маркушевич А. И., Площади и логарифмы, М.- Л., 1952; История математики, т. 2, М., 1970.

ЛОГАРИФМИКА, плоская кривая, являющаяся графиком логарифмической функции.

ЛОГАРИФМИРОВАНИЕ, действие, заключающееся в нахождении логарифма числового, алгебраического или иного выражения. Л.- одно из двух действий, обратных возведению в степень: если
то  и 
В вычислительной практике Л. употребляется для сведения действий умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня к действиям сложения, вычитания, умножения и деления. Напр., для приближённого вычисления

пользуются соотношением
,
а затем логарифмическими таблицами.

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ БУМАГА, специальным образом разграфлённая бумага; обычно изготовляется типографским способом. Она строится следующим образом (рис. 1): на каждой из осей прямоугольной системы координат откладываются десятичные логарифмы чисел и (на оси абсцисс) и v (на оси ординат); затем через найденные точки (и, v) проводятся прямые, параллельные осям. Наряду с Л. б. применяется полулогарифмическая бумага (рис. 2): на одной из осей прямоугольной системы координат откладываются числа и, а на другой - десятичные логарифмы чисел v. Л. б. и полулогарифмич. бумага служат для вычерчивания на них графиков функций, к-рые здесь могут принимать более простую и наглядную форму и в ряде случаев выпрямляются. На Л. б. прямыми линиями изображаются функции, заданные уравнениями вида v - аи , где а и Ь - постоянные коэффициенты, т. к. такие уравнения после логарифмирования и перехода к системе координат x = lg и, у = lg v приводятся к виду:

Аналогично на

полулогарифмич. бумаге прямыми линиями изображаются функции, заданные уравнениями вида v =

- ab . Это свойство Л. б. и полулогарифмич. бумаги находит применение при отыскании аналитич. формы эмпирич. зависимостей. Если, напр., ряд точек с координатами и(, f., где и| - значения аргумента и, при к-рых из опыта получены значения Vi функции v, нанесённых на Л. б., с достаточной точностью располагается на прямой, то прямую принимают за график функции v = f (и), к-рую, следовательно, можно записать в виде

Для случая полулогарифмич. бумаги зависимость будет иметь вид

Коэфф. а и Ъ находятся по чертежу.

Рис. 1. Логарифмическая бумага.

Рис. 2. Полулогарифмическая бумага.

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ЛИНЕЙКА, счётная линейка, инструмент для несложных вычислений, с помощью к-рого операции над числами (умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня и др.) заменяются операциями над логарифмами этих чисел. Л. л. состоит из корпуса, движка и бегунка (из стекла или плексигласа), имеющего визирную линию (рис. 1). На корпусе и движке нанесены осн. шкалы С и D, размеченные так, что положение любого числа X (целого или дробного от 1 до 10) определяется длиной отрезка, равного pig X, отложенного от начала шкалы (р. - масштабный коэфф., т. н. модуль шкалы). Геометрич. сложение (вычитание) отрезков шкал С и D посредством перемещения движка относительно корпуса на Л. л. заменяет операцию умножения (деления) соответствующих чисел. Кроме указанных шкал С и D, на Л. л. наносят шкалы г (R), X² (А, В), Х³(К), (R)-X², е*, lg X (L), шкалы значений тригонометрич. функций и др.

Л. л., прообразом к-рой явилась т. н. гантерова линейка (Gunter's line), была изобретена англ, математиком Э. Ганте- ром вскоре после открытия логарифмов и описана им в 1623. Это была логариф- мич. шкала (линейка), на к-рой сложение отрезков производилось с помощью циркуля. В 1630 англ, математик У. Отред заменил циркуль второй линейкой (движком). В дальнейшем усовершенствовались лишь детали: в 1650 была осуществлена идея нанесения шкалы по спирали на цилиндрич. поверхности; в 30-х гг. 19 в. появился прибор, действующий по принципу линейки Гантера, выполненной в виде часов с вращающимся циферблатом (логарифмич. шкала) и подвижной стрелкой,- прообраз совр. круглых Л. л. (рис. 2); в 1850 к Л. л. был добавлен бегунок, что значительно упростило работу с ней; в нач. 20 в. для расчётов с повышенной точностью использовались т. н. счётные вальцы (рис. 3) - вид Л. л., шкалы к-рой нанесены по образующим цилиндрич. вальцов; движком служил полый цилиндр с окнами, прорезанными против осн. шкал; деление движка нанесено по краям этих прорезей. Совр. Л. л. - простой и удобный счётный инструмент; применяется при инженерных и прочих расчётах, когда точность вычислений ограничивается 2-3 знаками (для обычной Л. л. длиной 25 см с ц = 250 мм).

Л. л. с ц = 500-750 мм дают точность 4-5 знаков. Лит.: П а н о в Д. Ю., Счетная линейка, 21 изд., М., 1973.

Рис. 1. Логарифмическая линейка.

Рис. 2. Круглая логарифмическая линейка.

Рис. 3. Счётные вальцы.

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ, плоская спиральная кривая (см. Линия).

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ, функция, обратная к показательной функции. Л. ф. обозначается  (1)

её значение у, соответствующее значению аргумента х, наз. натуральным логарифмом числа x. В силу определения соотношение (1) равносильно

(2) (е - неперово число). Т. к.

при любом действительном у, то Л. ф. определена только при х > 0. В более общем смысле Л. ф. наз. функцию где а >0

1) - произвольное основание логарифмов. Однако в математич. анализе особое значение имеет функция In х; функция loga х приводится к ней по формуле: гдеМ = 1/1п

а. Л. ф.- одна из осн. зле- ментарных функций; её график (рис. 1) носит назв. л о- г а р и ф м и- к и. Осн. свойства Л. ф. вытекают из соответствующих свойств показательной функции и лога р и ф м о в; напр., Л. ф. удовлетворяет функциональному уравнению

Для -1 < х S. 1 справедливо разложение Л. ф. в степенной ряд: Многие

интегралы выражаются через Л. ф.; напр.

Л. ф. постоянно встречается в математич. анализе и его приложениях.

Л. ф. была хорошо известна математикам 17 в. Впервые зависимость между переменными величинами, выражаемая Л. ф., рассматривалась Дж. Непером (1614). Он представил зависимость между числами и их логарифмами с помощью двух точек, движущихся по параллельным прямым (рис. 2). Одна из них (Y) движется равномерно, исходя из

С, а другая (X), начиная движение из А, перемещается со скоростью, пропорциональной её расстоянию до В. Если положить СУ = у, ХВ = х, то, согласно этому определению, dxldy = -kx, откуда

Л. ф. на комплексной плоскости является многозначной (бесконечнозначной) функцией, определённой при всех значениях аргумента 2 ^ 0, и обозначается Ln z. Однозначная ветвь этой функции, определяемая как 
где arg г - аргумент комплексного числа z, носит назв. главного значения Л. ф. Имеем 
Все значения Л. ф. для отрицательных действительных z являются комплексными числами. Первая удовлетворительная теория Л. ф. в комплексной плоскости была дана Л. Эйлером (1749), к-рый исходил из определения

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ, таблицы логарифмов чисел; применяются для упрощения вычислений. Наиболее распространены таблицы десятичных логарифмов. Т. к. десятичные логарифмы чисел N и WN (при k целом) различаются только характеристиками и имеют одинаковые мантиссы (lg 10*N = k + + lg N), то в таблицах десятичных логарифмов приводятся только мантиссы логарифмов целых чисел. Для отыскания характеристики служат правила: 1) характеристика числа, большего 1, на единицу меньше числа цифр в целой части этого числа (так, lg 20 000 = 4,30103) и 2) характеристика десятичной дроби, меньшей 1, равна взятому со знаком минус числу нулей, предшествующих первой в дроби цифре, отличной от нуля (так, lg 0,0002 = 4~,30103, т.о., десятичные логарифмы дробей записываются в виде суммы положительной мантиссы и отрицательной характеристики).

Существуют таблицы десятичных логарифмов с различным числом знаков мантисс. Наиболее распространены 4-знач- ные и 5-значные таблицы. Иногда употребляют 7-значные таблицы, а в редких случаях - таблицы, позволяющие без большого труда вычислять логарифмы с большим числом знаков. В Л.т. часто приводятся таблицы антилогарифмов - чисел, логарифмы которых суть данные числа, и таблицы т. н. г а- уссовых логарифмов, служащих для определения логарифмов суммы или разности двух чисел по известным логарифмам этих чисел (без промежуточного нахождения самих чисел). Кроме логарифмов чисел, Л. т. содержат обычно логарифмы тригонометрич. величин.

Первые Л. т. были составлены независимо друг от друга Дж. Непером и швейц. математиком И. Бюрги. Таблицы Непера "Описание удивительной таблицы логарифмов" (1614) и "Устройство удивительной таблицы логарифмов" (1619) содержали 8-значные логарифмы синусов, косинусов и тангенсов для углов от 0° до 90°, следующих через одну минуту. Т. к. синус 90° тогда принимали равным 10⁷, а на него часто приходилось умножать, то Непер определил свои Л. так, что логарифм 10⁷ был равен нулю. Логарифмы остальных синусов, меньших 10⁷, у него положительны. Непер не ввёл понятия об основании системы логарифмов. Его логарифм числа N в совр. обозначениях приблизительно равен 10⁷ln10⁷/N . Свойства логарифмов Непера несколько сложнее обычных, т. к. у него логарифм единицы отличен от нуля.

"Арифметические и геометрические таблицы прогрессий" (1620) Бюрги представляют собой первую таблицу антилогарифмов ("чёрные числа") и дают значения чисел, соответствующих равноотстоящим логарифмам ("красным числам"). "Красные числа" Бюрги суть логарифмы поделённых на 10⁸ "чёрных чисел" при основании. Таблицы Бюрги и особенно Непера немедленно привлекли внимание математиков к теории и вычислению логарифмов. По совету Непера англ, математик Г. Бриге вычислил 8-значные десятичные логарифмы (1617) от 1 до 1000 и затем 14-значные (1624) от 1 до 20 000 и от 90 000 до 100 000 (по его имени десятичные логарифмы иногда наз. бриговыми). 10-значные таблицы от 1 до 100 000 издал голл. математик А. Влакк (1628). Таблицы Влакка легли в основу большинства последующих таблиц, причём их авторы внесли много изменений в структуру Л. т. и поправок в выкладки (у самого Влакка было 173 ошибки, у австр. математика Г. Вега в 1783- пять; первые безошибочные таблицы выпустил в 1857 нем. математик К. Бремикер). В России таблицы логарифмов впервые были изданы в 1703 при участии Л. Ф. Магницкого. Таблицы т. н. гауссовых логарифмов были опубл. в 1802 итал. математиком 3. Леонелли; К.Ф.Гаусс ввёл (1812) эти логарифмы в общее употребление.

Лит.: Б р а д и с В. М., Четырехзначные математические таблицы, М.- Л., 1928, поел., 44 изд., М., 1973; М и л н - Т о м сон Л.-М., К о м р и Л.-Дж., Четырехзначные математические таблицы, пер. с англ., М., 1961; Пятизначные таблицы натуральных значений тригонометрических величин, их логарифмов и логарифмов чисел, 6 изд., М., 1972; В era Г., Таблицы семизначных логарифмов, 4 изд., М., 1971; Субботин М. Ф., Многозначные таблицы логарифмов, М.- Л., 1940; Десятизначные таблицы логарифмов комплексных чисел..., М., 1952; Таблицы натуральных логарифмов, 2 изд., т. 1-2, М., 1971.

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ПРИЁМНИК, транзисторный или ламповый радиоприёмник, в к-ром амплитудная характеристика усилителя промежуточной или видеочастоты представляется лога- рифмич. законом. Л. п. позволяет принимать сигналы с динамич. диапазоном до 100 дб и уменьшает действие электрич. помех нек-рых видов,, Логарифмич. амплитудная характеристика может быть получена, напр., посредством включения нелинейного элемента (диода) параллельно коллекторной или анодной нагрузке в каждом каскаде усилителя или последо- ват. сложением напряжений от каждого каскада усилителя на общей нагрузке. В первом случае при малых входных сигналах амплитудная характеристика усилителя линейна (т. н. линейно-логарифмич. приёмник). С ростом входного сигнала диод начинает проводить электрич. ток; его внутр. сопротивление падает и шунтирует сопротивление нагрузки. Общее сопротивление нагрузки изменяется так, что амплитуда на выходе усилителя пропорциональна логарифму амплитуды на входе. Во втором случае при возрастании входного сигнала каскады усилителя, начиная с последнего, поочерёдно выходят из линейного режима и до перехода в режим насыщения (ограничения) обеспечивают получение логарифмической амплитудной характеристики.

Лит.; Волков В. М., Логарифмические усилители на транзисторах. К., 1965. А. С. Афромеев.

ЛОГАРИФМИЧЕСКИ-НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, специальный вид распределения вероятностей случайных величин. Если X имеет нормальное распределение и Y = 6^х, то У имеет Л.-н.

р., характеризуемое плотностью:

Здесь т и а - параметры распределения величины X.

Математич. ожидание У: дисперсия:

Этому распределению с хорошим приближением подчиняется, напр., размер частиц при дроблении к.-л. материала (камня и т. п.), содержание мн. минералов в породах.

Лит.: КолмогоровА. Н., О логарифмически-нормальном законе распределения размеров частиц при дроблении, "Докл. АН СССР", 1941, т. 31, в.2, с. 99-101; Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., М., 1948; Aitchison J., Brown J. А. С., The lognormal distribution, Camb., 1957. В. И. Битюцков.

ЛОГАТА, река в Таймырском (Долгано- Ненецком) нац. окр. Красноярского края РСФСР, прав, приток р. Верх. Таймыра (басе. Карского м.). Дл. 393 км, пл. басе. 10900 км². Течёт по Сев.-Сибирской низм.; извилиста. В басе. Л. св. 3200 мелких озёр общей пл. 926 км². Питание снеговое и дождевое. Замерзает в кон. сентября, вскрывается в нач. июня,

ЛО ГАТТО (Lo Gatto) Этторе (р. 20.5. 1890, Неаполь), итальянский литературовед. Профессор рус. лит-ры и языка в ун-тах Рима и Неаполя, переводчик и пропагандист слав, лит-р, в особенности русской. Автор "Истории русской литературы" (т. 1-7, 1927-45), "Истории русской современной литературы" (т. 1-2, 1958), труда "Итальянские мастера в России" (т. 1-3, 1927, 1934, 1943), кн. "Миф о Петербурге" (1960), двухтомника "История русского театра" (1952) и работ, посвящённых творчеству крупнейших рус. писателей. Особенно внимательно Ло Г. изучает творчество А. С. Пушкина. Перевёл на итальянский яз. его прозу и стихи (два тома), дав к ним аннотации и примечания. В 1960 опубл. кн. "Пушкин. История поэта и его героя".

Лит.: Кириллова М., Лекции итальянского литературоведа о русской литературе, "Вопросы литературы", 1957, № 4.

ЛОГАУ (Logau) Фридрих фон (июнь 1604, Брокрут,-24.7. 1655, Лигниц), немецкий поэт-сатирик. В своих эпиграммах (сборники 1638 и 1654) Л. проклинает Тридцатилетнюю войну, опустошившую страну и принёсшую выгоду лишь иноземцам, бичует пороки господствующих сословий, с насмешкой пишет о церкви и религиозных суевериях. Стихи Л. вобрали в себя народные пословицы и поговорки.

Соч.: Sinngedichte. Erne Auswahl, В., 1967; в рус. пер. в кн.: Хрестоматия по западноевропейской литературе XVII в. Сост. Б. И. Пуришев, 2 изд., М., 1949; в кн.: Слово скорби и утешения. Немецкая поэзия времен 30-летней войны 1618 - 1648, пер Л. Гинзбурга, М., 1963.

Лит.: Пуришев Б. И., Очерки немецкой литературы XV-ХУП вв., М., 1955; Berger U., Der Unerbittliche, Friedrich von Logau, в его кн.: Die Chance der Lyrik, В.-Weimar, 1971, S. 66-72.

ЛОГАЭДЫ (от греч. logaoidikos-прозаически-стихотворный), 1) в метрич. стихосложении - стихи, образованные сочетанием 3-сложных стоп (дактиль, анапест) с 2-сложными (ямб, хорей); их ритм менее ровный, чем в стихах из однородных стоп (отсюда назв.). Широко употреблялись в лирике (напр., в сапфической строфе) и хоровых частях трагедий. 2) В тонич. стихосложении -стихи, внутри к-рых ударения располагаются с неравномерными слоговыми промежутками, повторяющимися из стиха в стих.

Будем жить и любить, моя подруга, Воркотню стариков ожесточённых Будем в ломаный грош с тобою ставить... (А. Пиотровский; пер. из К а ту л л а).

ЛОГЕН (Lagen), Гудбрансдальс- Логен, крупнейший (прав.) приток р. Гломма в Норвегии. Дл. 203 км, пл. басе. св. 12 тыс. км². Берёт начало на водоразделе Скандинавских гор из оз. Лешаскугсватн, течёт по глубокой долине Гудбрансдаль, протекает через оз. Мьёса, ниже к-рого носит название Вор- ма. Ср. расход воды в нижнем течении 247 м³/сек. ГЭС.

ЛОГЕН (Lagen), Нумедальс-Логен, река на Ю. Норвегии. Дл. 342 км, пл. басе. 5,6 тыс. км². Берёт начало в Скандинавских горах, на плоскогорье Хардангерви дда, протекает по долине Нумедаль, впадает в прол. Скагеррак. Ср. расход воды в ниж. течении 123 м^э/сек. Половодье в мае - июне (гл. обр. от таяния сезонных снегов); с декабря по март покрыта льдом. ГЭС. Вблизи устья - г. Ларвик.

ЛОГИКА (греч. logike'), наука о приемлемых способах рассуждения. Слово "Л." в его совр. употреблении многозначно, хотя и не столь богато смысловыми оттенками, как древнегреч. logos, от к-рого оно происходит. В духе традиции с понятием Л. связываются три осн. аспекта: онтологический - "Л. вещей", т. е. необходимая связь явлений объективного мира (Демокрит); гносеологический - "Л. знания", т. е. необходимая связь понятий, посредством к-рой познаётся "сущность и истина" (Платон), и демонстративный (доказательный), или собственно логический, - "Л. доказательств и опровержений", т. е. необходимая связь суждений (высказываний) в рассуждениях (умозаключениях), принудительная убедительность ("общезначимость") к-рых вытекает только из формы этой связи безотносительно к тому, выражают эти суждения "сущность и истину" или нет (Аристотель). Первые два аспекта относятся к философии и диалектической логике, последний же аспект составляет собственно логику, или современную Л. (к-рую вслед за И. Кантом иногда наз. формальной Л.).

Исторически предмет (собственно) Л. ограничивался своего рода "каталогизацией" правильных аргументов, т, е. таких способов рассуждений, которые позволяли бы из истинных суждений-посылок всегда получать истинные суждения-заключения. Известным со времён античности набором таких аргументов однозначно определялся процесс дедукции, характерный для т. н. т р а- диционной Л., ядро к-рой составляла силлогистика, созданная Аристотелем. По мере изучения особенностей демонстративного мышления предмет традиционной Л. постепенно расширялся за счёт несиллогистических, хотя и дедуктивных способов рассуждений, а также за счёт индукции. Поскольку последняя выпадала из рамок Л. как дедуктивной теории (или совокупности таких теорий), она в конце концов сделалась предметом особой теории, названной индуктивно и Л.

Современная Л. является историч. преемником традиционной Л. и в нек-ром смысле её прямым продолжением. Но в отличие от традиционной, для современной Л. характерно построение различного рода формализованных теорий логич. рассуждения - т. н. логич. "формализмов", или логических исчислений, позволяющих сделать логич. рассуждения предметом строгого анализа и тем самым полнее описать их свойства (см. раздел Предмет и метод современной логики). Отображение логич. мышления в логич. исчислениях привело к более адекватному выражению идеи "логоса" как единства языка и мышления, чем это было в эпоху античности и во все эпохи, предшествовавшие 20 в.; в современной Л. это выражение столь очевидно, что, исходя из различных "формализмов", приходится порой говорить о различных "стилях логического мышления". М.М.Новосёлов.

История логики. Историч. основу совр. Л. образуют две теории дедукции, созд. в 4 в. до н. э. др.-греч. мыслителями: одна - Аристотелем, другая - его современниками и филос. противниками, диалектиками мегарской школы. Преследуя одну цель - найти "общезначимые" законы логоса, о к-рых говорил Платон, они, столкнувшись, как бы поменяли исходные пути к этой цели. Известно, что основатель мегарской философской школы Евклид из Мегары широко использовал не только доказательства от противного, но и аргументы, по форме близкие к силлогическим, и таковы многие дошедшие до нас софизмы мегариков. В свою очередь, Аристотель в сочинении "Топика" в качестве доказывающего сформулировал осн. правило исчисления высказываний - правило "отделения заключения" (разрешающее при истинности высказываний "если Л, то В" и "Л" как истинное заключение "отделить" высказывание "В"). И если затем он оставил в стороне Л. высказываний, то в этом "повинны" в немалой степени софизмы мегариков, к-рые привели Аристотеля к поискам логич. элементов речи в элементарной её единице - предложении. Именно на этом пути он ввёл понятие высказывания как истинной или ложной речи, открыл, в отличие от грамматической, атрибутивную форму речи - как утверждения или отрицания "чего-либо о чём-то", определил "простое" высказывание как атрибутивное отношение двух терминов, открыл изоморфизм атрибутивных и объёмных отношений, аксиому и правила силлогизма. Аристотель создал весьма ограниченную по своим возможностям, но зато законченную теорию' - силлогистику, реализующую в рамках Л. классов идею алгориф- мизации вывода заключении. Аристотелевская силлогистика положила конец "силлогистике" мегариков, последним представителем к-рой был Евбулид из Мил era, писавший против Аристотеля, автор известных парадоксов "лжец", "лысый", "куча" и неск. софизмов. Др. последователи Евклида обратились к анализу условных высказываний, считая, что заключения "о присущем", выражаемые фигурами силлогизма, нуждаются в более общей основе. Диодор Крон из Иаса и его ученик Филон из Мегары ввели понятие импликации и изучали связь импликации и отношения следования, предвосхитив идею теоремы о дедукции. Соглашаясь в том, что условное высказывание - импликация - истинно, когда заключение следует из посылки, они расходились, однако, в толковании понятия "следует". Согласно Диодору, В следует из А, когда импликация А :э В ("если А, то В") необходима, так что нельзя утверждать в зависимости от случая, что иной раз она истинна, а иной раз нет, если Л и В одни и те же высказывания. Филон же полагал, что понятие "В следует из Л" полностью определяется понятием материальной импликации, к-рую он ввёл, дав свод её истинностных значений. Так возникла теория критериев логического следования, впоследствии сделавшаяся частью учения стоиков. Неизвестно, обсуждался ли в мегарской школе вопрос об аксиоматизации Л., но Диоген Лаэрций свидетельствует, что Клитомах из школы Евклида был первым, кто написал не дошедший до нас трактат об аксиомах и предикатах.

Логич. идеи мегариков были ассимилированы в филос. школе стоиков, основанной ок. 300 до н. э. Гл. фигурой этой школы был Хрисипп, принявший критерий Филона для импликации и двузначности принцип как онтологич. предпосылку Л. В сочинениях стоиков Л. высказываний предшествует аристотелевской силлогистике, оформляясь в систему правил построения и правил вывода высказываний. Последние по примеру Аристотеля тоже называются силлогизмами. Идея дедукции формулируется более чётко, чем у мегариков, в виде след, предписания: условием формальной правильности заключения В из посылок А±, А2, . . ., An является истинность импликации (А, & А₂ & ... & Л„) гэ В. Аргументы, основанные на понимании высказываний только как функций истинности, стоики называли формальными; они могут вести от ложных посылок к истинным следствиям. Если же во внимание принималась содержательная истинность посылок, формальные аргументы назывались истинными. Если посылки и заключения в истинных аргументах относились соответственно как причины и следствия, аргументы наз. д о- казывающими. В общем случае "доказывающие аргументы" стоиков предполагали понятие о естественных законах. Стоики считали их аналитическими и возможность их доказательства посредством аналогии и индукции отрицали. Т. о., развитое стоиками учение о доказательстве шло за пределы Л. в область теории познания, и именно здесь "дедук- тивизм" стоиков нашёл себе филос. противника в лице радикального эмпиризма школы Эпикура - последней наиболее важной для истории Л. школы античности. В споре со стоиками эпикурейцы защищали опыт, аналогию, индукцию. Они положили начало индуктивной Л., указав, в частности, на роль противоречащего примера в проблеме обоснования индукции и сформулировав ряд правил индуктивного обобщения.

Эпикурейской "каноникой" заканчивается история логич. мысли ранней античности. На смену приходит поздняя античность, эклектически сочетающая аристотелизм и стоицизм. Её вклад в Л. ограничивается по существу переводч. и комментаторской деятельностью поздних перипатетиков (Боэт Сидонский, Александр Эгский, Адраст, Термин, Александр Афродизийский, Гален и др.) и неоплатоников (Порфирий, Прокл, Симпликий, Марий Викторин, Апулей, Августин, Боэций, Кассиодор и др.). Из нововведений эллино-римских логиков заслуживают внимания логический квадрат Апулея, дихотомическое деление и объёмная трактовка терминов силлогизма у Порфирия, идеи аксиоматизации Л. и Л. отношений у Галена, зачатки истории Л. у Секста Эмпирика и Диогена Лаэрция, наконец, подготовившие терминологию средневековой Л. переводы греческих текстов на латинский язык, в частности "Введения" Порфирия Ма- рием Викторином и сочинений Аристотеля, входящих в "Органон", Боэцием. (Именно в логическом словаре Боэция впервые, по-видимому, появляются понятия "субъект", "предикат", "связка", в терминах которых на протяжении многих последующих столетий логики анализировали высказывания.) Под влиянием доктрины стоиков, заимствованной неоплатонизмом, Л. постепенно сближается с грамматикой. В энциклопедии той эпохи -"Сатириконе" Марциана Капеллы - в качестве одного из семи свободных искусств Л. объявляется необходимым элементом гуманитарного образования.

Логич. мысль раннего европейского средневековья (7-11 вв.), усваивавшего науч. наследие антич. мира сквозь призму христианского сознания, в творч. отношении значительно беднее эллино- римской. Как самостоят, наука Л. развивается лишь в странах арабской культуры, где философия остаётся относительно независимой от религии. В Европе же складывается в основном схо- ластич. Л. в собственном смысле - цер- ковно-школьная дисциплина, приспособившая элементы перипатетической Л. к нуждам обоснования и систематизации христианского вероучения. Лишь в 12-13 вв., после того как все произведения Аристотеля канонизируются церковной ортодоксией, возникает оригинальная средневековая ("несхоластическая") Л., известная под назв. logica modernorum. Контуры её намечены уже "Диалектикой" Абеляра, но окончательное оформление она получает к кон. 13 - сер. 14 вв. в работах Уильяма Шервуда, Петра Испанского, Иоанна Дунса Скота, Вальтера Бурлея (Бёрли), Уильяма Оккама, Жана Буридана и Альберта Саксонского. В сочинениях этих авторов впервые прослеживаются прообраз "универсума речи" и представление о двояком использовании языка: для выражения мысли о внеязыковых фактах, когда термины "употребляются", и для выражения мысли о самом языке, когда термины "упоминаются" (употребляются автоним- но). Учение о пропозициональных связках и кванторах, символизирующих характер логической связи, служит им естественным основанием для различения между "формой" и "содержанием" суждений. А в связи с задачей однозначного "прочтения" синтаксич. структуры суждения ср.-век. логики неявно используют и понятие "области действия" логических операций. Их учение о "следовании" основывается на различии между материальной импликацией и формальной, или тавтологичной, импликацией: для первой можно указать контрпример, для второй - нет. Поэтому материальная импликация рассматривается как выражение содержательного, или фактич., следования, а формальная - логического. Ср.-век. логики открыли многие известные теперь законы Л. высказываний, к-рая составляла основу их теории дедукции и к-рая, как и у стоиков, считалась более общей, чем аристотелевская силлогистика. В этот же период впервые зародилась идея машинизации процесса логического вывода и были предприняты первые попытки её реализации (Р. Луллий).

Последующие два столетия -эпоха Возрождения-для дедуктивной Л. были эпохой кризиса. Её воспринимали как опору мыслительных привычек схоластики, как Л. "искусственного мышления", освящающую схематизм умозаключений, в к-рых посылки устанавливаются авторитетом веры, а не познания. Руководствуясь общим лозунгом эпохи: "вместо абстракций - опыт", дедуктивной Л. стали противопоставлять Л. "естественного мышления", под к-рой обычно подразумевались интуиция и воображение. Леонардо да Винчи и Ф. Бэкон переоткрывают античную идею индукции и индуктивного метода, выступая с резкой критикой силлогизма. И лишь немногие, подобно падуанцу Я. Дзабарелле (16 в.), пробуют вернуть в методологию науч. мысли традиционную логич. дедукцию, предварительно освободив её от схоластической философской интерпретации.

Книги Дзабареллы оказали заметное влияние на положение Л. в 17 в. Уже у Т. Гоббса и П. Гассенди дедуктивная Л. полностью освобождается от связи с теологией и перипатетич. философией. Несколько раньше основатель точного естествознания Г. Галилей восстанавливает права абстракции. Он обосновывает потребность в абстракциях, к-рые бы "восполняли" данные опытных наблюдений, и указывает на необходимость введения этих абстракций в систему дедукции в качестве гипотез, или постулатов, или аксиом, с послед, сравнением результатов дедукции с результатами наблюдений. Критицизм в отношении схоластики и одновременная реабилитация дедукции, правда, при нек-ром снижении интереса к формальной стороне доказательств, характерны для картезианской, т. е. опирающейся на методологич. идеи Р. Декарта, логики, систематически изложенной в соч. А. Арно и П. Николя "Логика, или Искусство мыслить" (1662), вошедшей в историю под назв. логики Пор- Рояля. В этой книге Л. представлена как рабочий инструмент всех др. наук и практики, поскольку она принуждает к строгим формулировкам мысли.

Картезианская идея mathesis univer- salis стала ведущей в Л. сер. 17 - нач. 18 вв. Особое место в её развитии принадлежит Г. В. Лейбницу. Вслед за Р. Декартом, Т. Гоббсом и логиками Пор-Рояля Лейбниц считал возможным создать "всеобщую символику", своеобразный искусств, язык, к-рый был бы свободен от многозначностей, присущих естеств. разговорным языкам, понимался без словаря и был бы способен точно и однозначно выражать мысли. Такой язык мог бы играть роль вспомогат. междунар. языка, а также служить орудием открытия новых истин из известных. Анализируя категории Аристотеля, Лейбниц пришёл к идее выделения простейших исходных понятий и суждений, к-рые могли бы составить "алфавит человеческих мыслей"; эти первичные неопределяемые понятия, скомбинированные по определённым правилам, должны давать все остальные точно определимые понятия. Лейбниц полагал, что одновременно с таким анализом понятий можно создать универсальный алгоритм, к-рый позволит провести доказательство всех известных истин и составить тем самым "доказательную энциклопедию".

С целью реализации этого замысла Лейбниц дал несколько вариантов а р и- фметизации логики. В одном из них каждому исходному понятию сопоставляется простое число, каждому составному - произведение простых чисел, сопоставленных исходным понятиям, образующим данное составное (эта замечательная по своей простоте идея сыграла впоследствии исключительно важную роль в математике и логике благодаря работам Г. Кантора и К. Гёделя).

К Лейбницу же восходят многие методологически важные фрагменты совр. Л. Так, большое значение он придавал проблеме тождества. Принимая схоластич. принцип индивидуации (принцип "внутреннего различия"), положенный им в основу монадологии, Лейбниц отказался от онтологизации тождества, определяя тождество через сохраняющую истинность взаимозаменимость в контексте и намечая тем самым путь к построению теорий тождества, основанных на а б с т- ракции отождествления.

Хотя Лейбниц непосредственно не занимался индуктивной Л., соответствующая проблематика вполне им учитывалась. В частности, она нашла отражение в проводившемся им различении "истин разума" и "истин факта"; для проверки истин разума, по Лейбницу, достаточно законов аристотелевской Л.; для проверки истин факта, т. е. эмпирич. истин, нужен ещё (сформулированный Лейбницем) достаточного основания принцип. В связи с этим Лейбниц рассматривал поставленную Галилеем проблему подтверждения общих суждений о действительности эмпирич. фактами, явившись тем самым одним из создателей теории т. н. гипотетико-дедуктивного метода.

Исходным пунктом индуктивной Л. нового времени служили методологические идеи Бэкона, но систематически эта логика - Л., исследующая "обобщающие выводы" как заключения, основанные на установлении причинной связи (см, Причинность) между явлениями,- была разработана Дж. С. Миллем (1843), к-рый опирался, в свою очередь, на идеи Дж. Гершеля. Развитая Миллем теория индуктивных умозаключений стала предметом разработки и критики как в Л. 19 в., так и в Л. 20 в. (в частности, в работах рус. логиков М. И. Карин- ского и Л. Б. Рутковского и статистика А. А. Чупрова). При этом она была поставлена в связь с проблематикой теории вероятностей, с одной стороны, и алгебры логики - с другой (начиная уже с работ У. С. Джевонса). Индуктивная Л. 19 в., центральным вопросом к-рой был вопрос о способах обоснования эмпирич. заключений о закономерных (регулярных) связях явлений, в 20 в., с одной стороны, трансформировалась в вероятностную логику, а с другой - вышла за пределы Л. в собственном смысле, приобретя в существенно обогащённом виде новую жизнь в современной математич. статистике и теории планирования эксперимента.

Индуктивная Л. не была, однако, главной линией развития логич. мысли. Этой линией стало развитие строго дедуктивной - математической - логи-. ки, истоки к-рой были заключены уже в соч. Лейбница.' Хотя большая часть логич. наследия последнего оставалась неопубликованной до нач. 20 в., прижизненное распространение его идей оказало заметное влияние на развитие алгебро- логич. методов в Л., в процессе к-рого уже в 19 в. в трудах О. де Моргана, Дж. Буля, нем. математика Э. Шредера, П. С. Порецкого и др. путём применения математического (в основном алгебраического) метода к Л. была построена развитая логическая теория алгебраического характера, на основе которой в дальнейшем сформировалась современная алгебра Л.

Центральной фигурой этого "алгебро- логического" этапа в истории Л. был Буль. Он разработал свою алгебру Л. (термин "алгебра логики" был введён после Буля Ч. Пирсом) как обычную для того времени алгебру, а не как дедуктивную систему в позднейшем смысле. Не удивительно, что Буль стремился сохранить в своей алгебре Л. все арифметич. операции, в том числе вычитание и деление, к-рые оказалось трудно истолковать логически.Алгебра логики Буля (интерпретировавшаяся прежде всего как логика классов, т. е. объёмов понятий) была значительно упрощена и усовершенствована Джевонсом, отказавшимся в Л. от операций вычитания и деления. У Джевонса мы уже встречаем ту алгебраич. систему, к-рая впоследствии получила название "булевой алгебры" (у самого Буля, использовавшего в своей алгебре операцию, соответствующую исключающему логич. союзу "или", т. е. строгую дизъюнкцию, а не распространённую в современной Л. "обычную", слабую, дизъюнкцию, "булевой алгебры" непосредственно не было). Строгие методы решения логич. уравнений были предложены Шредером (1877) и Порецким (1884). Многотомные "Лекции по алгебре логики" (1890-1905) Шредера (вместе с работами Порецкого вплоть до 1907) явились высшей точкой развития алгебры Л. 19 в.

История алгебры Л. началась с попыток перенести в Л. все операции и законы арифметики, но постепенно логики начинали сомневаться не только в правомерности, но и в целесообразности такого переноса. Они выработали специфические именно для Л. операции и законы. Наряду с алгебраическими в Л. издавна применялись геометрические (точнее, графические) методы. Приёмами представления модусов силлогизмов с помощью геометрических фигур владели антич. комментаторы Аристотеля. Использование с этой целью кругов, обычно приписываемое Л. Эйлеру, было из- ! вестно ещё И. К. Штурму (1661) и Лейб- ^: ницу, владевшему и отличными от эйлеровых методами. Способы геометрической интерпретации предложений Л. имелись у И. Г. Ламберта и Б. Больцано. Но особенного расцвета эти методы достигли в трудах Дж. Вечна, разработавшего гра- фич.'аппарат диаграмм (см. Логические диаграммы), фактически полностью эквивалентный Л. классов и носящий уже не только иллюстративный, но и эвристич. характер.

К кон. 19 в. в дедуктивной Л. произошёл глубокий переворот, связанный с работами Дж. Пеано, Пирса и Г. Фреге, к-рые преодолели узость чисто алгебра- ич. подхода прежних авторов, осознали значение математич. Л. для матема- ' тиков и начали применять её к вопросам оснований арифметики и теории множеств. Достижения этого периода, в особенности связанные с аксиоматич. построением Л., в наиболее чёткой форме молено проследить в исследованиях Фреге. Начиная со своей работы "Исчисление понятий" (1879), он развил совершенно строгое аксиоматич. построение исчисления высказываний и предикатов. Его формализованная Л. содержала все осн. элементы совр. логич. исчислений: пропозициональные переменные (переменные для высказываний), предметные перемен- н ы е, кванторы (для к-рых он ввёл спец. символы) и предикаты; он подчёркивал различие между логическими законами и правилами логич. вывода, между переменной и константой, различал (не вводя, правда, особых терминов) язык и метаязык (см. Метатеория, Метаязык), Его исследования (так же как аналогичные работы Пирса) в области логич. структуры естеств. языка и семантики логич. исчислений положили начало проблемам логической семантики. Большой заслугой Фреге явилась разработка системы формализованной арифметики, основанной на развитой им логике предикатов. Эти работы Фреге и выявившиеся в связи с ними трудности послужили исходным пунктом развития современной теории математического доказательства.

Фреге употреблял оригинальную символику, к-рая, в отличие от обычно применяемой одномерной, была двумерной (она не привилась). Совр. система обозначений в Л. восходит к символике, предложенной Дж. Пеано. С нек-рыми изменениями она была воспринята Б. Расселом, создавшим совместно с А. Н. Уайт- хедом трёхтомный труд "Принципы математики" - труд, систематизировавший и развивший далее дедуктивно-аксиома- тич. построение Л. в целях логич. обоснования математич. анализа (см. Логицизм).

С этого сочинения я начавших появляться с 1904 работ Д. Гильберта по математич. Л. естественно датировать начало совр. этапа логич. исследований. М. М. Новосёлов, 3. А. Кузичева, Б. В. Бирюков.

Предмет и метод современной логики. Современная Л. развилась в точную науку, применяющую математич. методы. Она стала, по словам Порецкого, м а- тематической логикой - Л. по предмету, математикой по методу. В этом качестве Л. стала пригодной для правильной постановки и решения логич. проблем математики, в особенности проблем, связанных с доказуемостью и недоказуемостью тех или иных положений математич. теорий. Точная постановка таких проблем требует прежде всего уточнения понятия доказательства. Всякое математич, доказательство состоит в последоват. применении тех или иных логич. средств к исходным положениям. Но логич. средства не представляют собой чего-то абсолютного, раз навсегда установленного. Они вырабатывались в процессе многовековой человеческой практики; "...практическая деятельность человека миллиарды раз должна была приводить сознание человека к повторению разных логических фигур, дабы эти фигуры могли получить значение аксиом" (Ленин В. И., Поли. собр. соч., 5 изд., т. 29, с. 172). Человеческая практика является, однако, на каждом ист. этапе ограниченной, а объём её всё время растёт. Логич. средства, удовлетворительно отражавшие практику человеческого мышления на данном этапе или в данной области, могут оказаться неподходящими на след, этапе или в другой области. Тогда в зависимости от изменения содержания рассматриваемого предмета изменяется и способ его рассмотрения - изменяются логич. средства. Это в особенности относится к математике с её далеко идущими многократными абстракциями. Здесь совершенно бессмысленно говорить о логич. средствах как о чём-то данном в своей совокупности, как о чём-то абсолютном. Зато имеет смысл рассмотрение логич. средств, применяемых в той или иной конкретной обстановке, встречающейся в математике. Их установление для к.-л. данной математич. теории и составляет искомое уточнение понятия доказательства применительно к этой теории. Важность этого уточнения для развития математики выявилась в особенности в связи с проблемами её оснований. Разрабатывая множеств теорию, исследователи столкнулись с рядом своеобразных трудных проблем. Исторически первой из них явилась проблема о мощности континуума, выдвинутая Кантором (1883), к к-рой до 1939 не было найдено подходов (см. Континуума проблема). Другие проблемы, столь же упорно не поддававшиеся решению, встретились в т. н. дескриптивной теории множеств, успешно разрабатываемой сов. математиками. Постепенно становилось всё более ясно, что трудность этих проблем имеет логич. природу, что эта трудность обусловлена неполной выявлен- ностыо применяемых логич. средств и что единств, путём к её преодолению является уточнение этих средств. Выяснилось, т. о., что разрешение этих задач требует привлечения новой математич. науки - математической логики. Надежды, возлагавшиеся на математич. Л. в связи с этими проблемами, оправдались. В особенности это касается проблемы континуума, к-рая может считаться полностью решённой благодаря работам К. Гёделя (1939) и П. Коэна (1963). Первый из них доказал совместимость обобщённой континуум-гипотезы Кантора с аксиомами теории множеств в предположении непротиворечивости последних. Второй при том же предположении доказал независимость континуум-гипотезы от аксиом теории множеств, т. е. её недоказуемость. Аналогичные результаты были получены П. С. Новиковым (1951) в отношении ряда проблем дескриптивной теории множеств. Уточнение понятия доказательства в математич. теории путём установления допускаемых логич. средств является существенным этапом её развития. Теории, прошедшие этот этап, наз. дедуктивными теориями. Лишь для них допускают точную формулировку интересующие математиков проблемы доказуемости и непротиворечивости.

Для решения этих проблем в совр. Л. применяется метод формализации доказательств - один из основных её методов. Сущность его состоит в следующем.

Формулировки теорем и аксиом развиваемой теории полностью записываются в виде формул, для чего употребляется особая символика, пользующаяся, наряду с обычными математич. знаками, знаками для логич. связок, применяемых в математике: "... и ...", "... или ...", "если ..., то ...", "неверно, что ...", "при всяком ...", "существует ... такой, что ...". Всем логич. средствам, с помощью к-рых теоремы выводятся из аксиом, ставятся в соответствие правила вывода новых формул из уже выведенных. Эти правила формальны, т. е. таковы, что для проверки правильности их применений нет надобности вникать в смысл формул, к к-рым они применяются, и формулы, получаемой в результате; надо лишь убедиться, что эти формулы построены из таких-то знаков, так-то расположенных. Доказательство теоремы отображается в выводе выражающей её формулы. Вывод же этот рассматривается как ряд формул, в конце к-рого стоит формула, подлежащая выводу. В выводе всякая формула либо выражает аксиому, либо получается из одной или нескольких предыдущих формул по одному из правил вывода. Формула считается выводимой, если может быть построен её вывод.

Если сопоставление правил вывода применяемым логич. средствам было произведено надлежащим образом, то получают возможность судить о доказуемости теорем в данной теории по выводимости выражающих их формул. Выяснение выводимости или невыводимости той или иной формулы есть задача, не требующая привлечения далеко идущих абстракций, и решать эту задачу часто бывает возможно сравнительно элементарными методами.

Идея метода формализации доказательств принадлежит Д. Гильберту. Проведение этой идеи стало, однако, возможным благодаря предшествовавшей разработке математич. Л. (см. раздел История логики).

Применение идеи формализации доказательств бывает обычно связано с выделением логической части рассматриваемой дедуктивной теории. Эта логическая часть, оформляемая, как и вся теория, в виде нек-рого исчисления, т. е. системы формализованных аксиом и формальных правил вывода, может тогда рассматриваться как самостоятельное целое.

Простейшими из логич. исчислений являются исчисления высказываний: классическое и интуиционистское. В них употребляются след, знаки: 1) т. н. логические переменные -буквы А, В, С, . . . , означающие произвольные "высказывания" (смысл этого термина объясняется ниже); 2) знаки логич. связок

означающие соответственно "... и ...", "... или ...", "если ..., то ...", "неверно, что ..."; 3) скобки, выявляющие строение формул.

Формулами в этих исчислениях считаются логич. переменные и всякие выражения, получаемый из них путём повторного применения следующих операций: 1) присоединение к ранее построенному выражению знака

слева, 2) написание двух ранее построенных выражений рядом друг за другом со включением одного из знаков
или  между ними и с заключением всего в скобки. Напр., следующие выражения являются формулами:

В  обоих исчислениях высказываний - классическом и интуиционистском - употребляются одни и те же правила вывода.

Правило подстановки. Из формулы выводится новая формула путём подстановки всюду вместо к.-л. логич. переменной произвольной формулы.

Правило вывода заключений. Из формул

выводится формула

Эти правила отражают обычные способы рассуждений: переход от общего к частному и вывод следствий из доказанных посылок.

Различие между двумя исчислениями высказываний проявляется в наборах их аксиом. В то время как в классич. исчислении высказываний в качестве аксиом принимаются все формулы 1-11, в интуиционистском исчислении высказываний лишь первые десять из этих формул принимаются в качестве аксиом. Одиннадцатая формула, выражающая закон исключённого третьего (см. ниже), оказывается невыводимой в интуиционистском исчислении. Чтобы получить представление о выводе формул в исчислениях высказываний, выведем в интуиционистском исчислении формулу

выражающую закон противоречия.

Применим правило подстановки к аксиомам 3 и 4, подставив в них формулу  вместо переменной В:

Подставив затем

в аксиому 10 формулу

вместо А, получим

Подставив

далее в формулу (3) формулу А вместо переменной В, получим

Применив

к формулам (1) и (4) правило вывода заключений, получим

Применив,

наконец, правило вывода заключений к формулам (2) и (5), полу-

чим формулу

к-рая, т. о., выводима в интуиционистском исчислении высказываний.

Формальное различие двух исчислений высказываний отражает глубокое различие в их истолкованиях, различие, касающееся смысла логич. переменных, т. е. самого понимания термина "высказывание". При общепринятом истолковании классич. исчисления высказываний этот термин понимается примерно как "суждение" в смысле Аристотеля (см. Суждение). Предполагается, что высказывание непременно истинно или ложно. Подстановка произвольных высказываний, т. е. суждений, вместо логич. переменных в формулу даёт нек-рую логич. комбинацию этих суждений, рассматриваемую также как суждение. Истинность или ложность этого суждения определяется исключительно истинностью или ложностью суждений, подставляемых вместо логических переменных, согласно следующим определениям смысла логических связок.

Суждение вида

наз. конъюнкцией суждений Р и О. есть суждение истинное, когда истинны оба эти суждения, и ложное, когда ложно хотя бы одно из них. Суждение вида

наз. дизъюнкцией суждений Р и О. ^есть суждение истинное, когда истинно хотя бы одно из этих суждений, и ложное, когда ложны оба. Суждение вида

наз. импликаци- е и суждений Р и О, есть суждение ложное, когда истинно Р и ложно О. и истинное во всех остальных случаях. Суждение вида

наз. отрицанием суждения Р, есть суждение истинное, когда Р ложно, и ложное, когда Р истинно.

Необходимо отметить, что, согласно данному выше определению, импликация не вполне совпадает по смыслу с житейским словоупотреблением связки "если..., то...". Однако в математике эта связка обычно применялась именно в смысле этого определения импликации. Доказывая теорему вида "если Р, то Q", где Р и О суть нек-рые математич. суждения, математик делает предположение об истинности Р и тогда доказывает истинность О- Он продолжает считать теорему верной, если впоследствии будет доказана ложность Р или истинность О будет доказана и без предположения об истинности Р. Опровергнутой он считает эту теорему лишь тогда, когда установлена истинность Р и вместе с тем ложность Q. Всё это вполне согласуется с определением импликации

Необходимо также подчеркнуть принятое в математич. Л. неисключающее понимание дизъюнкции. Дизъюнкция

по определению, истинна и в том случае, когда истинны оба суждения Р и О- Формула

наз. классически общезначимой, если истинно всякое суждение, получаемое из 21 в результате подстановок любых суждений вместо логич. переменных. Классически общезначимой является, напр., формула 11. Её общезначимость есть не что иное, как закон исключённого третьего в следующей форме: "если одно из двух суждений есть отрицание другого, то хотя бы одно из них верно". Этот закон выражает основное свойство суждений: быть истинным или ложным. Обычную формулировку этого закона, включающую и закон противоречия, см. в ст. Исключённого третьего принцип.

Нетрудно проверить, что и все аксиомы 1-11 классически общезначимы и что правила вывода в применении к классически общезначимым формулам дают лишь классически общезначимые формулы. Отсюда следует, что все выводимые формулы классического исчисления высказываний классически общезначимы. Обратное также имеет место: всякая классически общезначимая формула выводима в классическом исчислении высказываний, в чём состоит полнота этого исчисления.

Иная трактовка логич. переменных лежит в основе интуиционистского истолкования исчисления высказываний. Согласно этой трактовке, всякое математич. высказывание требует проведения нек-рого математич. построения с нек-ры- ми заданными свойствами. Высказывание можно утверждать, коль скоро это построение выполнено. Конъюнкцию

двух высказываний Л и В можно утверждать тогда и только тогда, когда можно утверждать как А, так и В.

Дизъюнкцию

можно утверждать тогда и только тогда, когда можно утверждать хотя бы одно из высказываний А и В. Отрицание высказывания А можно утверждать тогда и только тогда, когда у нас есть построение, приводящее к противоречию предположение о том, что построение, требуемое высказыванием А, выполнено. (При этом "приведение к противоречию" считается первоначальным понятием.) Импликацию

можно утверждать тогда и только тогда, когда мы располагаем таким построением, к-рое, будучи объединено с любым построением, требуемым высказыванием А, даёт построение, требуемое высказыванием В.
Формула

наз. интуиционистски общезначимой тогда и только тогда, когда можно утверждать всякое высказывание, получаемое из 21 в результате подстановки любых математич. суждений вместо логич. переменных; точнее говоря, в том случае, когда имеется общий метод, позволяющий при произвольной такой подстановке получать построение, требуемое результатом подстановки. При этом понятие общего метода интуиционисты также считают первоначальным .

Формулы 1-10 являются интуиционистски общезначимыми, тогда как формула И, выражающая классич. закон исключённого третьего, не является таковой.

В известном отношении близкой к интуиционизму является точка зрения конструктивной математики, уточняющая несколько расплывчатые интуиционистские понятия импликации и общего метода на основе точного понятия алгоритма. С этой точки зрения закон исключённого третьего также отвергается. Л. конструктивной математики находится в стадии разработки.

С методом формализации доказательств связано понятие формальной системы. Формальная система включает след, элементы.

1. Формализованный язык с точным синтаксисом, состоящий из точных и формальных правил построения осмысленных выражений, наз.ф ормулами данного языка.

2. Чёткую семантику этого языка, состоящую из соглашений, определяющих понимание формул и тем самым условия их истинности.

3. Исчисление (см. выше), состоящее из формализованных аксиом и формальных правил вывода. При наличии семантики эти правила должны быть согласованы с ней, т. е. при применении к верным формулам давать верные формулы. Исчисление определяет выводы (см. выше) и выводимые формулы - заключительные формулы выводов. Для выводов имеется распознающий алгоритм - единый общий метод, с помощью которого для любой цепочки знаков, применяемых в исчислении, можно узнавать, является ли она выводом. Для выводимых формул распознающий алгоритм может быть и невозможен (примером является исчисление предикатов, см. Логика предикатов).

Об исчислении говорят, что оно н е- противоречиво, если в нём не выводима никакая формула 21 вместе с формулой П 21. Задача установления непротиворечивости применяемых в математике исчислений является одной из главных задач математич. Л. Имея в виду охват той или иной содержательно определённой области математики, исчисление считают полным относительно этой области, если в нём выводима всякая формула, выражающая верное утверждение из этой области. Другое понятие полноты исчисления связано с требованием иметь для всякого утверждения, формулируемого в данном исчислении, либо его доказательство, либо его опровержение. Первостепенное значение в связи с этими понятиями имеет теорема Гёделя, утверждающая несовместимость требований полноты с требованием непротиворечивости для весьма широкого класса исчислений. Согласно теореме Гёделя, никакое непротиворечивое исчисление из этого класса не может быть полным относительно арифметики: для всякого такого исчисления может быть построено верное арифметич. утверждение, формализуемое, но не выводимое в исчислении. Эта теорема, не снижая значения математич. Л. как мощного организующего средства в науке, убивает надежды на эту дисциплину как на нечто способное осуществить охват математики в рамках одной формальной системы. Надежды такого рода высказывались многими учёными, в том числе основоположником математического формализма Гильбертом.

В 70-е гг. 20 в. получила развитие идея полуформальной системы. Полуформальная система - это также система некоторых правил вывода. Однако некоторые из этих правил могут иметь существенно иной характер, чем правила вывода формальной системы. Они, например, могут допускать выведение новой формулы после того, как с помощью интуиции создалось убеждение в выводимости любой формулы такого-то вида. Сочетание этой идеи с идеей ступенчатого построения математической Л. лежит в основе одного из совр. построений логики конструктивной математики. В приложениях математич. Л. часто применяются исчисления предикатов - классическое и интуиционистское.

Математич. Л. органически связана с кибернетикой, в частности с математич. теорией управляющих систем и математической лингвистикой. Приложения математич. Л. к релейно-контактным схемам основаны на том, что всякая двухполюсная релейно-контактная схема в след, смысле моделирует нек-рую формулу 21 классич. исчисления высказываний. Если схема управляется п реле, то столько же различных пропозициональных переменных содержит И, и если обозначить через Si суждение "Реле номер i сработало", то цепь будет тогда и только тогда замкнута, когда будет верен результат подстановки суждений 23( вместо соответствующих логич. переменных в 21. Построение такой моделируемой формулы, описывающей "условия работы" схемы, оказывается особенно простым для т. н. П - с х е м, получаемых из элементарных одноконтактных цепей путём параллельных и последоват. соединений. Это связано с тем, что параллельные и последоват. соединения цепей моделируют соответственно дизъюнкцию и конъюнкцию суждений. Действительно, цепь, полученная путём параллельного (последовательного) соединения цепей Ц₁ и Ц₂, тогда и только тогда замкнута, когда замкнута цепь U,i или (и) замкнута цепь Ц₂. Применение исчисления высказываний к релейно-контактным схемам открыло плодотворный подход к важным проблемам совр. техники. Это же применение обусловило постановку и частичное решение многих новых и трудных проблем математич. Л., к числу к-рых в первую очередь относится т. н. п р о- б л е м а минимизации, состоящая в разыскании эффективных методов нахождения простейшей формулы, равносильной данной формуле.

Релейно-контактные схемы являются частным случаем управляющих схем, применяемых в совр. автоматах. Управляющие схемы иных типов, в частности схемы из электронных ламп или полупроводниковых элементов, имеющие ещё большее практич. значение, также могут быть разрабатываемы с помощью математич. Л., к-рая доставляет адекватные средства как для анализа, так и для синтеза таких схем. Язык математич. Л. оказался также применимым в теории программирования, создаваемой в связи с развитием машинной математики. Наконец, созданный математич. Л. аппарат исчислений оказался применимым в математической лингвистике, изучающей язык математическими методами. А. А.Марков.

Научные учреждения и издания. Преподавание и исследовательская работа по Л. являются неотъемлемой частью научной и культурной жизни большинства стран мира. В СССР н.-и. работа в области Л. ведётся в основном в н.-и. центрах Москвы, Ленинграда, Новосибирска, Киева, Кишинёва, Риги, Вильнюса, Тбилиси, Еревана и др. городов отделениями математич. ин-тов АН СССР и союзных республик, ин-тами философии, кафедрами Л. ун-тов и нек-рых др. вузов. Публикации работ по Л. в СССР осуществляются: в непе- риодич. изданиях в форме тематич. сборников и монографий (в частности, начиная с 1959 в серии "Математическая логика и основания математики"), в непе- риодич. изданиях "Трудов Математич. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР" (с 1931), в сборниках "Алгебра и логика" (Новосибирск, с 1962), в "Записках" науч. семинаров по Л., в математич. и филос. журналах. В реферативном журн. "Математика" и в реферативных журналах Ин-та научной информации по обществ, наукам АН СССР систематически освещаются работы советских и за_рубеж- ных авторов по Л. Из спец. зарубежных изданий, освещающих проблематику Л., наиболее известны: международная монография, серия "Studies in Logic..." (Amst., с 1965) и журналы: "The Journal of Symbolic Logic" (Providence, с 1936); "Zeit- schrift fur mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik" (В., с 1955); "Archiv fur mathematische Logik und Grundlagenforschung" (Stuttg., с 1950); "Logique et analyse" (Louvain, с 1958); "Journal of philosophical logic" (Dordrecht, с 1972); "International logic review" (Bologna, с 1970); "Studia Logica"(Warsz., с 1953); "Notre Dame Journal of formal Logic" (Notre Dame, с I960).

Осн. организац. работу, связанную с обменом науч. информацией в области Л., осуществляет пользующаяся поддержкой ООН Лссо1..;иаи,ия символической логики. Ассоциация организует междунар. конгрессы по Л., методологии и философии науки. Первый такой конгресс состоялся в 1960 в Станфорде (США), второй - в 1964 в Иерусалиме, третий - в 1967 в Амстердаме, четвёртый - в 1971 в Бухаресте. 3. А. Кузияева, М. М. Новосёлов.

Лит.: Основные классические работы. Аристотель, Аналитики первая и вторая, пер. с греч., М-, 1952; L е i b- n iz G. W., Fragmente zur Logik, В., 1960; Кант И., Логика, пер. с нем.. П., 1915; Милль Дж. С., Система логики силлогистической и индуктивной, пер. с англ., 2 изд., М., 1914; De Morgan A., Formal logic or the calculus of inference, necessary and probable, L., 1847 (перепечатка, L., 1926); Boole G., The mathematical analysis of logic, being an essay toward a calculus of deductive reasoning, L.- Camb., 1847 (перепечатка, N. Y., 1965); Schroder E., Der Operationskreis des Logikkalkuls, Lpz., 1877; Frege G.. Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachge- bildete Formelsprache des reinen Denkens, Halle, 1879; Джевонс С., Основы науки. Трактат о логике и научном методе, пер. с англ., СПБ, 1881; П о р е ц к и и П. С., О способах решения логических равенств и об обратном способе математической логики, Казань, 1884; Whitehead A. N.. Russell В., Principia mathematica, 2 ed.,. v. 1-3, Camb., 1925-27.

История. Владиславлев М., Логика, СПБ, 1872 (см. "Приложение"); Троицкий М., Учебник логики с подробным указанием на историю и современное состояние этой науки в России и в других странах, т. 1 - 3, М., 1885 - 88; Яновская С. А., Основания математики и математическая логика, в кн.: Математика в СССР за тридцать лет, М.- Л., 1948; её же, Математическая логика и основания математики, в кн.: Математика в СССР за сорок лет, т. 1, М., 1959; П о п о в П. С., История логики нового времени, М., 1960; Котарбиньский Т., Лекции по истории логики, Избр. произв., пер. с польск., М., 1963, с. 353-606; Стяжкин Н. И., Формирование математической логики, М.,. 1967; Prantl К., Geschichte der Logik im Abendlan.de, Bd 1-4, Lpz., 1855 - 70; Bochenski I. M., Formale Logik, Munch.. 1956;Minio Paluello L., Twelfth century logic. Texts and Studies, v. 1-2, Roma, 1956 - 58; ScholzH., Abriss der Geschichte der Logik, Freiburg - Munch., 1959;. Lewis C. I., A survey of symbolic logic, N. Y., 1960; I 0 r g e n s e n J., A treatise of formal logic: Its evolution and main branches with its relation to mathematics and philosophy, v. 1-3, N. Y., 1962; К n e a 1 e W., Kneale M., The development of logic.. 2 ed., Oxf., 1964; D u m i t r i u A., Istoria Iqgicii, Buc., 1969; В 1 a n с h e R., La lo- gique et son histoire. D'Aristote a Russell, P., 1971; BerkaK., К r e i s e r L., Logik - Texte. Kommentierte Auswahl zur Geschichte der modernen Logik, В., 1971.

Учебные курсы. Гильберт Д., А к- к е р м а н В., Основы теоретической логики, пер. с нем., М., 1947; Таре кий А., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948; Новиков П. С., Элементы математической логики, М., 1959; Ч ё р ч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960; Гудстейн Р. Л., Математическая логика, пер. с англ., М., 1961; Г ж е- горчик А., Популярная логика. Общедоступный очерк логики предложений, пер. с польск., М., 1965; Мендельсон Э., Введение в математическую логику, пер. с англ., М., 1971; М а р к о в А. А., О логике конструктивной математики, М., 1972.

Некоторые монографии. К л и н и С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; ГейтингА., Интуиционизм, пер. с англ., М., 1965; К а р р и X. Б., Основания математической логики, пер. с англ., М., 1969; HilbertD., В е г- nays P., Grundlagen der Mathematik, Bd 1-2, В., 1934-39; Markov A. A., Essai de construction d'une logique de la mathe- matique constructive, Brux., 1971.

Энциклопедии и словари. Философская энциклопедия, т. 1 - 5, М., 1960-70; Кондаков Н. И., Логический словарь, М., 1971; Encyclopedia of Philosophy,v. 1-8, N.Y., 1967; Mala encyklopedia Logiki, Wroctaw - Warsz.- Krakow, 1970.

Библиография. Примаковский А. П., Библиография по логике. Хронологический указатель произведений по вопросам логики, изданных на русском языке в СССР в 18-20 вв., М., 1955; И вин А. А., Примаковский А. П., Зарубежная литература по проблемам логики (1960- 1966), "Вопросы философии", 1968, № 2; Church A., A bibliography of symbolic logic, "The Journal of Symbolic Logic", 1936, v. 1, № 4; е г о ж е, Additions and corrections to "A bibliography of symbolic logic", там же, 1938, v. 3, № 4; Beth E. W., Symbolische Logik und Grundlegung der exakten Wissenschaften, Bern, 1948 (Bibliog- raphische Einfuhrung in das Studium der Philosophic, Bd 3); Brie G. A. de, Biblio- graphia Philosophica. 1934-1945, Bd 1-2, Brux.,_ 1950-54; Kung G., Bibliography of soviet works in the field of mathematical logic and the foundations of mathematics, from 1917 - 1957, "Notre Dame Journal of F9rmal Locic", 1962, >fe 3; H a n g g i J., Bibliographie der Sovjetischen Logik, Bd 2, Winterthur, 1971.

ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ, раздел математической логики, посвящённый изучению логич. форм сложных высказываний, образованных из элементарных высказываний с помощью связок, аналогичных союзам "и", "или", "если..., то...", отрицания ("не") и др.

ЛОГИКА КЛАССОВ, раздел логики, основным предметом рассмотрения в к-ром служат классы (множества) предметов, задаваемые характеризующими их свойствами, общими для всех входящих в данный класс элементов. В рамках совр. формальной (математической) логики Л. к. может пониматься, с одной стороны, как такое усиление (расширение) логики высказываний, при к-ром "элементарные высказывания" уже не рассматриваются только как нерасчленяемое далее "целое", а каждое из них имеет субъектно-предикатную форму [т. е. может рассматриваться на содержательном уровне как нераспространённое повествовательное предложение, в к-ром различаются подлежащие (subjects) и сказуемые (predicates)]. Другая - отличающаяся от только что указанной по форме, но эквивалентная по существу,- трактовка Л. к. состоит в истолковании её как частного случая логики предикатов, а именно логики одноместных предикатов, точнее логики, оперирующей с объёмами понятий, содержания к-рых выражаются соответствующими одноместными предикатами. Имеется, наконец, ещё одна, изоморфная (см. Изоморфизм) первым двум, интерпретация Л. к., в соответствии с к-рой объектами её рассмотрения являются множества (классы) к.-л. предметов - вне зависимости от каких бы то ни было свойств, общих для их элементов,- и операции над множествами (см. Логические операции). Иными словами, Л. к. в этом случае можно отождествить с алгеброй множеств (см. Алгебра логики), в к-рой рассматриваются произвольные множества и обычные теоретико- множеств. операции. Сопоставляя (взаимнооднозначно) множествам (классам) высказывания о принадлежности к.-л. предмета данному множеству, пересечению множеств - конъюнкцию соответствующих высказываний, объединению - дизъюнкцию, а дополнению - отрицание, получают упомянутый выше изоморфизм алгебры высказываний и алгебры множеств (Л. к.). Рассматривая реализацию Л. к. на одноэлементной области, сводят вопрос об истинности (ложности) формул Л. к. к соответствующим вопросам для логики высказываний, подобно к-рой Л. к. оказывается, т. о., разрешимой. Отсюда нетрудно получить и разрешимость логики одноместных предикатов; а поскольку, как было указано, она по существу совпадает с Л. к., последнюю не рассматривают обычно в виде специальной теории, трактуя её как фрагмент логики предикатов. См. ст. Логика и лит. при ней. Ю. А. Гастев.

ЛОГИКА НАУКИ, в специальном смысле дисциплина, применяющая понятия и технич. аппарат совр. логики к анализу систем науч. знания. Термин "Л. н." часто употребляется также для обозначения законов развития науки (логика науч. развития), правил и процедур науч. исследования (логика исследования), учения о психологич. и методологич. предпосылках науч. открытий (логика науч. открытия).

Л. н. как специальная дисциплина начала развиваться во 2-й пол. 19 в. и окончательно оформилась в 1-й четв. 20 в. под влиянием идей Г. Фреге, Б. Рассела и Л. Витгенштейна. Интенсивно Л. н. занимались участники Венского кружка под рук. М. Шлика и члены Берлинского об-ва науч. философии под рук. Г. Рей- хенбаха, а также др. философы, естествоиспытатели и математики (К. Поппер, В. Дубислав и др.). Так как в подавляющем большинстве они стояли на позициях неопозитивизма, то на протяжении многих лет было широко распространено мнение, что Л. н. является специфически позитивистским подходом к филос. и методологич. анализу науч. знания. Однако в действительности неопозитивистская интерпретация Л. н. представляет собой частный вариант её филос. истолкования.

В разработке совр. Л. н. активное участие принимают философы и логики, стоящие на позициях диалектич. материализма, а также представители неопозитивизма, прагматизма и неотомизма, философии лингвистич. анализа и др. направлений. Интенсивные исследования по Л. н. ведутся в СССР, США, Польше, Великобритании, ГДР, ФРГ и Италии. Круг осн. проблем Л. н. охватывает: 1) изучение логич. структур науч. теорий; 2) изучение построения искусств, (формализованных) языков науки; 3) исследование различных видов дедуктивных (см. Дедукция) и индуктивных (см. Индукция) выводов, применяемых в естеств., социальных и технич. науках; 4) анализ формальных структур фундаментальных и производных научных понятий и определений; 5) рассмотрение и совершенствование логич. структуры исследоват. процедур и операций и разработка логич. критериев их эвристической эффективности; 6) исследование логико-гносеологического и логико-методологического содержания редукции научных теорий, процессов абстрагирования, объяснения, предвидения, экстраполяции и т. п., наиболее часто применяемых во всех сферах научной деятельности.

Важным средством логич. анализа систем науч. знания является применение методов формализации. Преимущество метода формализации заключается в том, что он позволяет выявить логич. связи и отношения и точно фиксирует правила, гарантирующие получение наиболее достоверных знаний из исходных посылок данной теории, выступающих после определённой логич. обработки в качестве аксиом рассматриваемого формализма. В случае дедуктивных теорий речь идёт о правилах необходимого следования. Дедуктивное построение теории чаще всего встречается в математике, теоретич. физике, теоретич. биология и в нек-рых других тяготеющих к ним науч. дисциплинах. Правила индуктивных теорий характеризуют различные формы вероятностного следования. Индуктивные теории характерны для большинства эмпи- рич. наук, в к-рых по тем или иным причинам возникают ситуации неопределённости, связанные с неполнотой информации о связях, свойствах и отношениях исследуемых объектов.

Создание формализованных систем позволяет исследовать ряд важнейших логич. свойств содержат, теорий, отображённых в данном формализме. К ним прежде всего относятся непротиворечивость, полнота и независимость исходных постулатов данной теории.

Обнаружение общности логич. структур различных в содержательном смысле научных теорий открывает большие возможности для перенесения идей и методов одной теории в область другой, для обоснования возможности сведения одной теории к другой и выявления их общих понятийных и методологических предпосылок. Это важно для унификации и упрощения систем научного знания, особенно в условиях быстрого возникновения и развития новых научных дисциплин.

Особое место в Л. н. занимают проблемы, связанные с эмпирич. обоснованием и проверкой естественнонауч. и социальных теорий и гипотез. Интенсивные исследования в этой области показали несостоятельность раннего неопозитивистского принципа полной верифицируе- мости (см. Верификация), так же как и критерия фальсифицируемости. Затруднения, возникшие в неопозитивистской Л. н., привлекли внимание мн. логиков и философов к проблеме связи и взаимодействия логич. структур со структурами предметно-экспериментальной прак- тич. деятельности, что обусловило целый ряд новых подходов к Л. н. Этим в значит, степени объясняется наметившийся среди зарубежных логиков интерес к принципам теории познания диалектич. материализма.

Особый интерес приобретают исследования по логич. семантике, посвящённые изучению смыслов и значений теоретич. и эмпирич. терминов в языках различных наук. Обнаружение того, что т. н. предикаты, с помощью к-рых выражаются понятия и формулируются законы определённых научных теорий, не сводятся исчерпывающим образом к предикатам наблюдения, фиксирующим результаты непосредств. науч. наблюдений и экспериментов, выдвинуло целый ряд сложных проблем. Важнейшими среди них являются проблемы логич. анализа словарей различных наук, правил перевода языка теории на язык наблюдений, исследования взаимодействия и соотношения естеств. и искусств, языков и т. д. В связи с этим особую важность приобретают работы по изучению семантики общенауч. терминов, таких, как "система", "структура", "модель", "измерение", "вероятность", "факт", "теория" и т. д. Многозначность и различные способы их употребления, обнаружившиеся в связи с быстрым развитием кибернетики, структурной лингвистики, теории систем и т. п., делают логико-методологич. анализ важнейшей предпосылкой эффективной реорганизации и эвристич. полезности подобных понятий.

Последний период (с кон. 50-х гг.) был переломным для развития Л. н. не только вследствие осознания принципиальной ограниченности её неопозитивистской интерпретации, но также и в силу того, что в этот период были сделаны наиболее значит, шаги для распространения идей и методов логич. анализа на область социальных наук. Интенсивные исследования ведутся в сфере изучения языка, структур и правил рассуждения правовых, этич. и отчасти социологич. теорий. Достигнуты значит, результаты в логике решений, логике норм и оценок, логике систем и т. д. В этих отраслях совр. Л. н. широкое распространение находят технич. и понятийные средства тех разделов символич. логики, к-рые принято называть неклассическими (различные виды многозначных логик, модальные логики, логика вероятностных и ста- тистич. рассуждений и т. п.). Однако применение Л. н. к ряду обществ, дисциплин наталкивается на значит, трудности, связанные, с одной стороны, со сложностью закономерностей и теоретич. структур этих наук, а с другой - с недостаточной разработанностью или отсутствием адекватного математич. аппарата. Поэтому дальнейшее развитие Л. н. требует усиления исследований в области символической логики во всех её разнообразных видах.

В СССР исследования по Л. н. наиболее интенсивно ведутся в институтах философии АН СССР, АН УССР, АН Груз. ССР, на философских ф-тах Московского, Ленинградского и Тбилисского университетов.

Лит.: Проблемы логики научного познания, М., 1964; Логика научного исследования, М., 1965; Зиновьев А. А., Основы логической теории научных знаний, М., 1967; его же, Логика науки, М., 1971; К о п- н и н П. В., Логические основы науки, К., 1968; Попович М. В., О философском анализе языка науки, К., 1966; его же, Лопка i наукове шзнання, К.,1971; Ра- китов А. И., Анатомия научного знания. (Популярное введение в логику и методологию науки), М., 1969; его же, Курс лекций по логике науки, М., 1971; Smart Н. R., The logic of science, N. Y.- L., 1931; Northrop F. S. C., The logic

of the sciences and the humanities, N. Y., 1948; Popper K. R., The logic of scientific discovery, N. Y., 1959; Harre R., An introduction to the logic of the sciences, L.- N. Y., 1966; Durbin P. R., Logic and scientific inquiry, Milwaukee, 1968. А. И. Рахитов.

ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ, раздел логики, посвящённый изучению отношений между объектами различной природы. В естеств. языках отношения выражаются сказуемыми предложений, имеющих более одного подлежащего (или подлежащее и одно или несколько дополнений). В зависимости от числа этих подлежащих (или подлежащих и дополнений) говорят о бинарных (двуместных, двучленных), тернарных (трёхместных, трёхчленных), вообще к-арных (и-ме- стных, n-членных) отношениях. В формализованных языках математич. логики аналогом понятия отношения служит понятие (многоместного) предиката; соответственно современная модификация Л. о. наз. логикой предикатов. На языке теории множеств и алгебры "-местным отношением наз. класс упорядоченных систем из п элементов; если, напр., упорядоченная пара <x, y> принадлежит нек-рому отношению R, то говорят, что x находится в отношении R к у. Для понимаемых таким образом отношений определяются понятия области определения данного отношения (множество первых элементов входящих в него пар) иобласти значений (множество их вторых элементов) и аналогично тому, как это делается в теории множеств, вводятся операции объединения (суммы) и пересечения (произведения) отношений. В получающейся "алгебре отношений" (термин, также употребляемый как синоним термина "Л. о.") роль "единицы" играют т. н. отношения эквивалентности, т. е. отношения, обладающие свойствами рефлексивности (для всех x имеет место xRx), симметричности (из xRy следует г/Rx) и транзитивности (из xR^ и yRz следует xRz). К этому важнейшему классу отношений принадлежит, напр., равенство чисел, подобие многоугольников, параллельность прямых и т. п. Другой важнейший класс отношений - т. н. отношения порядка (рефлексивные и транзитивные, но несимметричные -"нестрогий" порядок; транзитивные, но нерефлексивные и несимметричные -"строгий" порядок; примерами могут соответственно служить отношения "не больше" и "меньше" для чисел или отрезков). В терминах отношений (и с использованием аппарата алгебры отношений) вводятся многие важнейшие понятия логики и математики, в частности понятия функции и операции. Ю. А. Гастев.

ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ, раздел математич. логики, изучающий логич. законы, общие для любой области объектов исследования (содержащей хоть один объект) с заданными на этих объектах предикатами (т. е. свойствами и отношениями). В результате формализации Л. п. принимает вид различных исчислений. Простейшими логич. исчислениями являются исчисления высказываний. В более сложных исчислениях предикатов описываются логич. законы, связывающие объекты исследования с отношениями между этими объектами.

В классичееком исчислении предикатов употребляются следующие знаки: 1) т, н. предметные переменные - буквы х, у, г, . . ., к-рые содержательно рассматриваются как неопределённые имена объектов исследования теории; 2) предикатные переменные - знаковые комплексы вида

(т, п, I - натуральные числа), причём, напр.,

означает произвольное п-мест- ное отношение между объектами; 3) знаки для логич. связок: конъюнкции

дизъюнкции

импликации

отрицания

означающие соответственно "... и ...", "... или ...", "если ..., то ...", "неверно, что ...";
4) знаки для кванторов

(квантор всеобщности),

(квантор существования), означающие соответственно "для всех ..." и "существует ... такое, что ...";
5) запятая, скобки (для уточнения строения формул). Если

есть n-местная предикатная переменная, a x1, . . ., х„ - предметные переменные, то выражение

(X₁, . . ., Хn) есть, по определению, атомарная (элементарная) формула. Индекс п у предикатной переменной в атомарной формуле обычно опускается. Содержательно О (xi, . . ., x_n) означает высказывание, гласящее, что объекты xi, . . ., x_n связаны отношением Q. Формулами считаются атомарные формулы, а также выражения, получаемые из них посредством следующих операций образования новых формул из уже полученных: 1) если
- формулы, то

- также формулы; 2) если - формула и x - предметная переменная, то
- формулы. Определением формулы заканчивается описание языка исчисления предикатов.

Вхождение предметной переменной x в формулу
наз. связанным, если x входит в часть
вида
или или стоит непосредственно после знака квантора. Несвязанные вхождения переменной в формулу наз. свободными. Если найдётся хоть одно свободное вхождение х в
то говорят, что переменная x входит свободно в
или является параметром ф. Интуитивно говоря, формула
с параметрами выражает нек-рое условие, к-рое превращается в конкретное высказывание, если (конкретизировав предварительно область объектов) приписать определённые значения входящим в формулу параметрам и предикатным буквам. Связанные же переменные не имеют самостоят, значения и служат (вместе с соответствующими кванторами) для обозначения общих утверждений или утверждений существования. Если- формула, a x и у - предметные переменные, то через
будет обозначаться результат замещения всех свободных вхождений x в ф на у (а если при этом у оказалось на месте х в части формулы вида
или
то следует дополнительно заменить все связанные вхождения у в эту часть на переменную, не входящую в Ф; это делается для того, чтобы не допустить искажения смысла при замене x на у).

Пусть - произвольные формулы, а х

и у - предметные переменные. Тогда формулы след, видов принимаются в качестве аксиом классич. исчисления предикатов:

В исчислении предикатов употребляются след, три правила вывода. 1) Правило вывода заключений: из формули  выводится формула 
Два кванторных правила вывода: 2) из формулы
где не содержит свободно х, можно вывести
3) из формулы
где  не содержит свободно х, можно вывести

В отличие от др. формулировок исчисления (см., напр., Логика, раздел Предмет и метод современной логики), здесь Ф, ij) и п не принадлежат языку рассматриваемого исчисления, а обозначают его произвольные формулы; поэтому каждая из записей 1 - 13 есть аксиомная схема, "порождающая" при подстановке вместо греч. буквы нек-рую конкретную аксиому; спец. правил подстановки при этой формулировке не надо.

Интуиционистское исчисление предикатов отличается от классического лишь тем, что закон исключённого третьего (аксиома 11) исключается из числа аксиом. Различие двух исчислений отражает различие в их истолкованиях. Истолкование логич. связок

в исчислениях предикатов таково же, как и в соответствующих исчислениях высказываний. Что касается истолкования кванторов, то в классич. исчислении предикатов кванторы трактуются с точки зрения актуальной бесконечности. Точнее, каждая формула получает значение "истина" или "ложь", если определить модель исчисления предикатов, т. е. определить множество объектов, приписать каждой предикатной букве формулы нек-рое отношение на этом множестве и приписать всем параметрам формулы нек-рые объекты в качестве значений. Формула наз. классически общезначимой, если она в любой модели принимает значение "истина". Как показал К. Гёделъ, в классич. исчислении предикатов выводимы все классически общезначимые формулы, и только они. Эта теорема Гёделя и представляет собой точное выражение идеи формализации логики: в классич. исчислении предикатов выводятся все логич. законы, общие для всех моделей.

В интуиционистском же истолковании утверждение, что нек-рая формула истинна, требует проведения нек-рого мате- матич. построения. Напр.,

истинно с интуиционистской точки зрения, только если имеется общий метод, позволяющий находить для каждого х соответствующее у. Истинность

предполагает наличие метода для определения истинного члена дизъюнкции

для каждого значения параметра х. Напр., классически общезначимые формулы, выражающие закон исключённого третьего

или закон пронесения отрицания через всеобщность

интуиционистски необщезначимы (теория моделей развивается, однако, и для интуиционистского исчисления предикатов ).

Л. п. является обычным базисом для построения логич. исчислений, предназначенных для описания тех или иных дисциплин (прикладных исчислений). С этой целью язык исчисления предикатов "конкретизируется": к нему добавляют предикатные символы и знаки операций, выражающие специфич. отношения и операции рассматриваемой дисциплины. Напр., если мы стремимся описать истинные суждения арифметики натуральных чисел, то можно добавить операции сложения, умножения, отношение делимости и т. п. Затем, кроме аксиом и правил вывода исчисления предикатов (логических постулатов), в исчисление вводятся аксиомы, выражающие специфич. законы изучаемого предмета (прикладные, специфич. аксиомы). Таким образом строится, напр., формальная арифметика.

Помимо классич. и интуиционистского исчислений предикатов, имеются и др. логич. системы, описывающие логич. законы, выразимые иными логич. средствами или с иных методологич. позиций. Сюда относятся исчисления модальной логики, вероятностной логики, индуктивной логики и др.

Лит.: К л и н и С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957. А. Г. Драгалин.

ЛОГИНОВ Евгений Фёдорович [10(23). 10.1907, Гельсингфорс, ныне Хельсинки,-7.10.1970, Москва], советский военачальник, маршал авиации (1967). Чл. КПСС с 1939. В Советской Армии с 1926. Окончил Воен- но - теоретическую школу ВВС (1926), военную школу лётчиков (1928), Высшую военную академию им. К. Е. Ворошилова (1949). В 1926-42 лётчик, командир звена, отряда, эскадрильи, помощник командира авиабригады. Во время Великой Отечеств, войны 1941- 1945 командовал авиационной дивизией и авиационным корпусом дальнего действия. После Великой Отечеств, войны нач. ф-та и зам. нач. Военно-воздушной академии (1950-54), на ответственной работе в войсках; зам. Главкома ВВС и генерал-инспектор Гл. инспекции Мин-ва обороны (1954-59), нач. Гл. управления Гражд. возд. флота (1959-1964), с 1964 министр Гражд. авиации СССР. Деп. Верх. Совета СССР 7-го созыва. Канд. в чл. ЦК КПСС (с 1966), чл. ЦК КПСС с 1968. Награждён 4 орденами Ленина, 3 орденами Красного Знамени, орденами Кутузова 1-й степени, Суворова 2-й степени, Александра Невского, Красной Звезды и медалями. Е. Ф. Логинов.

ЛОГИСТИКА (от греч. logistikl - искусство вычислять, рассуждать), 1) синоним (несколько архаический) термина, математическая логика. 2) Наименование этапа в развитии математич. логики, представленного работами Б. Рассела и его школы (см. Логицизм). В антич. математике Л. называли "искусство" вычислений и геометрич. измерений, противопоставлявшееся "теоретич." математике.

Г. В. Лейбниц употреблял термины logistica и logica mathematica как синонимы для разрабатывавшегося им calculus ratiocinator-исчисления умозаключений, идеи к-рого получили впоследствии более полное воплощение в современной математической логике. Термин "Л." имеет ряд производных: логистический метод (способ изложения формальной логики посредством построения формализованных языков), логистическая система (то же, что формальная система, исчисление) и др.

Лит.: Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960. Ю. А. Гастев.

ЛОГИЦИЗМ, направление в основаниях математики и философии математики, основным тезисом к-рого является утверждение о "сводимости математики к логике", т. е. возможности (и необходимости) определения всех исходных математич. понятий (в рамках самой математики не определяемых) в терминах "чистой" логики и доказательства всех математич. предложений (в том числе аксиом) опять- таки логич. средствами. Идеи Л. были выдвинуты ещё Г. В. Лейбницем, но в развёрнутом виде эта доктрина впервые была сформулирована Г. Фреге, предложившим сведение основного математич. понятия - понятия натурального числа- к объёмам понятий и детально разработавшим логич. систему, средствами к-рой удавалось доказать все теоремы арифметики. Поскольку к тому времени в математике была практически завершена работа по сведению (в том же смысле, что и выше) основных понятий математич. анализа, геометрии и алгебры к арифметике (посредством частичного сведения их друг к другу и выражения их понятий в терминах множеств теории), то, как считал Фреге, логицистич. программа была тем самым в основном выполнена. Но ещё до выхода в свет 2-го тома работы Фреге "Основные законы арифметики" (1893-1903) Б. Рассел обнаружил в системе Фреге противоречие (называемое обычно парадоксом Рассела, см. Парадокс). Сам Рассел, однако, разделял основные тезисы программы Л.; он предпринял попытку "исправления" системы Фреге и "спасения" её от противоречий. Решение этой задачи потребовало большой работы по последо- ват. и детальной формализации не только математики, но и кладущейся в её основание (согласно программе Л.) логики. Итогом этой работы явился написанный Расселом (совместно с А. Н. Уайтхедом) трёхтомный труд "Principia Mathematica" (1910-13). Главным новшеством системы Рассела - Уайтхеда (ниже РМ) явилось построение логики в виде "ступенчатого исчисления", или "теории типов". Формальные объекты этой теории разделялись на т. н. типы (ступени), и эта "иерархия типов" (а в др. модификациях системы РМ - ещё дополнит. "иерархия уровней") позволила избавиться от всех известных парадоксов. Однако для построения классич. математики средствами РМ к этой системе пришлось присоединить нек-рые аксиомы (см. Типов теория), содержательно характеризующие важные свойства данного конкретного "мира математики" (и, конечно, соответствующего ему мира реальных вещей), а вовсе не являющиеся "аналитич. истинами", или, по Лейбницу, истинами, верными "во всех возможных мирах". Итак, не вся расселовская математика выводима из логики. Но более того, эта математика и не есть вся математика: как показал К. Гёделъ (1931), системы типа РМ (и все, не уступающие им по силе) существенно неполны - их средствами всегда можно сформулировать содержательно истинные, но не разрешимые (не доказуемые и не опровержимые) математич. утверждения (см. Аксиоматический метод, Метаматематика).

Т. о., программа Л. "чисто логического" обоснования математики оказалась невыполнимой. Тем не менее и результаты Рассела, и работы др. учёных, предложивших позднее различные усовершенствования системы РМ (напр., работы амер. математика У. ван О. Куайна), оказали громадное положительное влияние на развитие математической логики и науки в целом, способствуя формированию и уточнению ряда важнейших логико-математических и общеметодологических идей и построению соответствующего точного математического аппарата.

Лит.: К л и н и С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, гл. 3; Френкель А., Бар-Хиллел И., Основания теории множеств, пер. с англ., М., 1966, гл. 3. Ю. А. Гостев.

ЛОГИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ в Ц В М, поразрядная операция над кодами произвольной длины по правилам алгебры логики. Л. о. производится над всеми цифрами кодов одна и та же, при этом каждая цифра результата зависит не более чем от одной цифры одного или неск. кодов. В ЦВМ Л. о. выполняются в большинстве случаев над двоичными кодами. К числу осн. и наиболее распространённых Л. о. относятся операции отрицания, конъюнкции, дизъюнкции и эквивалентности (см. табл. при ст. Алгебра логики). Эти Л. о. достаточно просто реализуются фи- зич. элементами ЦВМ, а более сложные Л. о. могут быть программно сведены, напр., только к трём Л. о.: отрицания, конъюнкции и дизъюнкции. Примеры использования Л. о.: отрицание-инвертирование при преобразовании прямого кода в обратный или дополнит, код; конъюнкция - логич. умножение для "выделения" любых частей кода; дизъюнкция - логич. сложение при формировании новых команд из неск. др. команд; эквивалентность - равнозначность при определении поразрядного тождества кодов. К Л. о. часто относят также сдвиг, проверку равенства числа нулю, проверку знака числа, получение абсолютной величины числа и др. В универсальных ЦВМ Л. о. обеспечивают управление ходом выполнения программ и взаимосвязь в программах, формирование новых команд, перекодирование данных, поиск информации по логич. шкалам и др. Л. о. являются основой для создания специализированных логич. цифровых машин, для решения задач анализа переключательных схем с целью их минимизации и задач синтеза, т. е. составления и подбора элементарных схем, посредством к-рых можно создавать более сложные схемы для реализаций заданных функций. А. В. Гусев.

ЛОГИЧЕСКАЯ СЕМАНТИКА, раздел логики, посвящённый изучению з н а ч е- ний и смыслов понятий и суждений и их формальных аналогов - интерпретаций выражений (термов и формул) различных исчислении (формальных систем). Т. о., к задачам Л. с. в первую очередь относится уточнение понятий "значение", "смысл,", "интерпретация", а в связи с этим и понятий "истинность", "определимость", "выразимость", "следование", "модель" и др. (вплоть до столь общих и первичных понятий, как "множество", "предмет", "соответствие"). Важные семантич. проблемы возникают в связи с различием между содержанием и объёмом понятий, между смыслом и (истинностным) значением суждений. Свойства (напр., равносильность, следование), связанные с содержанием понятий и смыслом суждений, наз. интенсиональными; свойства, связанные с объёмом понятий и истинностным значением суждений, наз. экстенсиональными. Суждения и понятия, интенсионально равносильные, равносильны и экстенсионально; обратное, вообще говоря, неверно (напр., высказывания "Волга впадает в Каспийское море" и "2 X 2 = 4" равносильны экстенсионально, но не интенсионально; любая пара равносильных в обычном понимании суждений иллюстрирует предыдущее утверждение; см. ниже об аналитической и синтетической истинности).

Основное для Л. с. отношение между выражением и его интерпретацией при более детальном анализе оказывается не двухместным, а трёхместным: понятие интерпретации "расслаивается" на экстенсиональный и интенсиональный уровни. Следуя традиции, идущей от автора первых фундаментальных работ по л. с. Г. Фреге, австр. логика Р. Кар- напа и совр. амер. логика А. Чёрча, каждому собственному имени (в широком смысле включающем, напр., количеств, числительные и любые существительные с определёнными артиклями или указах, местоимениями) сопоставляют, с одной стороны, обозначаемый (называемый) им предмет (иначе, д е- н о т а т, или номинат), ас другой - выражаемый этим именем смысл (или концепт). Члены этого "семантического треугольника" определяются в первую очередь для естеств. языков и только затем уже, с нек-рыми ограничениями, переносятся на формализованные языки. Отношения между именем, денотатом и концептом, вообще говоря, не однозначны; так, имена-олоиимы имеют несколько различных концептов, а одному и тому же концепту могут соответствовать различные имена-синонимы; неоднозначно и т. н. отношение называния между именем и денотатом (пример, восходящий к Фреге: имена "Утренняя звезда" и "Вечерняя звезда", имеющие общий денотат - планету Венера, но разные концепты). Однако концепт полностью определяет денотат (если, конечно, таковой существует; напр., имя "Пегас" имеет смысл, но не имеет денотата). В отличие от естеств. языков, формализованные языки строятся, как правило, таким образом, чтобы каждое имя имело в точности один смысл; синонимия же, напротив, сохраняется и в большинстве формализованных языков, причём синонимы, по определению, связываются отношением типа равенства (эквивалентности, тождества); устранение синонимии оказывается в ряде случаев принципиально невозможным ввиду отсутствия алгоритма установления тождества произвольных выражений ("слов") в достаточно широком классе формализованных языков.

Основы систематич. построения совр. Л. с. заложены в работах А. Тарского, уделявшего главное внимание анализу и возможностям точного определения понятий "истина", "выполнимость", "определимость", "обозначение" и т. п. Оказалось, что все эти понятия определяются для формализованных языков средствами более богатых языков, играющих для первых ("объектных", или "предметных", языков) роль метаязыков. (Для определения соответствующих понятий для неформализованных языков их следует прежде всего формализовать, после чего придерживаться той же схемы.) Метаязык может быть, в свою очередь, формализован, и для определения его семантич. понятий (истины и др.) приходится подниматься ещё на один метаязыко- вый уровень и т. д. Смешение же языка и метаязыка (на любом уровне) неминуемо приводит к семантическим парадоксам.

Вслед за амер. логиком У. ван О.Куай- ном различают свойства языковых выражений, характеризуемые в терминах произвольных интерпретаций (моделей) данного языка и инвариантные относительно перехода от одной интерпретации к другой, и языковые свойства, определяемые в терминах к.-л. одной интерпретации. Первый круг вопросов относят к теории смысла, второй - к теории референции (теории обозначени я). Понятия смысла (концепта), синонимии, осмысленности, семантич. следования относятся к теории смысла; эта область Л. с. находится по существу в самой начальной стадии развития. Теория референции, оперирующая понятиями истины (истинности), обозначения, именования и т. п., сравнительно богата результатами, из которых следует отметить теорему Тарского о неопределимости предиката истинности любой непротиворечивой языковой системы её собств. средствами. Значение теоремы Тарского, устанавливающей определённую ограниченность выразит, средств формальных языков, во многом аналогично роли знаменитой теоремы К. Гёделя [о принципиальной дедуктивной неполноте (см. Полнота в логике) достаточно богатых логико-математич. исчислений] для метаматематики; сами конструкции доказательств обоих замечат. предложений обнаруживают глубокие аналогии, в совокупности же они дают весьма сильное орудие метаматематич. доказательств (проблемы непротиворечивости, полноты и неполноты и др.).

Следуя  традиции, идущей ещё от Г. В. Лейбница, предложения к.-л. языка, истинные во всех его моделях ("во всех возможных мирах"), принято наз. аналитически истинными (соответственно предложения, не истинные ни в одной модели, - аналитически ложными), в отличие от синтетически (или фактически) истинных предложений, истинность к-рых, так сказать, зависит от свойств "данного мира" (иными словами, это предложения, не являющиеся ни аналитически истинными, ни аналитически ложными: они выполняются в нек-рых, но не во всех моделях данного языка). Для полных языков понятие аналитич. истинности, носящее семантич. характер, удаётся описать в чисто синтаксич. терминах - через доказуемость. Для языков же неполных (а именно таковы все языки, представляющие наибольший интеpec для науки) подобного сведения Л.с. к синтаксису непосредственно провести не удаётся.

Идея Лейбница о различении "возможных миров" и "действительного мира" как основы для построения Л. с. развивалась также голл. логиком Э. В. Бегом, англ, логиком А. Н. Прайором, фин. логиком Я. Хинтиккой и особенно амер. логиком С. А. Крипке, который ввёл понятие модельной структуры; модельная структур а-это совокупность множества всех моделей классич. логики высказываний ("все возможные миры"), конкретной модели из этого множества ("действительный мир") и рефлексивного бинарного отношения на множестве моделей, связывающего общезначимость (тождеств, истинность) произвольного предложения в одной модели с возможностью этого же предложения в другие модели. В зависимости от дополнительных свойств такого отношения (симметричность и транзитивность порознь и вместе) моделью "действительного мира" оказываются различные системы модальной логики. Совр. исследования в области Л. с. привлекают также идеи и представления многозначной логики, аксиоматической теории множеств и абстрактной алгебры.

Идеи, методы и результаты Л. с. находят применение в разнообразных областях прикладной лингвистики и семиотики (автоматич. дешифровка, машинный перевод, автоматич. реферирование), при построении теории семантич. информации, в вопросах эвристич. программирования (см. Эвристика), в исследовании проблем распознавания образов и др. ки- бернетич. вопросов. См. также Семантика.

Лит.: К а р и а п Р., Значение и необходимость, пер. с англ., М., 1959; Ч ё р ч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, введение; Ф и н н В. К., О некоторых семантических понятиях для простых языков, в сб.: Логическая структура научного знания, М., 1965, с. 52-74; F r e g e G., Uber Sinn und Bedeu- tung, "Zeitschrift fur Philosophic und philo- sophische Kritik", 1892, Bd 100, S. 25-50; Tar sky A., Logic, semantics, metamathe- tnatics, Oxf., 1956; Q u i n e W. V. O., From a logical point of view, Camb. (Mass.), 1953; К e m e n у J. G., A new approach to semantics, "Journal of Symbolic Logic", 1956, v. 21, Mb 1, p. 1-27, № 2, p. 149-61; Martin R. M., Truth and denotation, L., 1958; Rogers R., A survey of formal semantics, "Synthese", 1963, v. 15, № 1. Ю. А. Гастев, В. К. Финн.

ЛОГИЧЕСКИЕ ДИАГРАММЫ, графический (геометрический, точнее - топологический) аппарат математической логики. Идея Л. д. была известна ещё в ср. века, развивалась затем Г. В. Лейбницем, но впервые достаточно подробно и обоснованно была изложена Л. Эйлером в "Письмах ... к немецкой принцессе" (1768) - т. н. круги Эйлера. Отношения между классами (объёмами понятий) с тех пор принято изображать с помощью систем взаимно пересекающихся кругов (или любых других одно- связных областей); объединению классов соответствует при этом объединение (теоретико-множественное, см. Множеств теория) изображающих их областей, пересечению - пересечение, дополнению (до универсального класса) - дополнение до нек-рой "стандартной" объемлющей области (напр., прямоугольника). Отношению включения между изображаемыми классами при этом соответствует одноимённое отношение между их изображениями (причём случаи, когда объемлющий класс совпадает с объемле- мым и когда он существенно шире последнего, здесь не различаются). В дальнейшем идея Л. д. была развита и усовершенствована; особенно отчётливый вид она приобрела в работах Дж. Венна. (Оригинальный метод построения Л. д. был предложен также англ, математиком Ч. Доджсоном, известным как детский писатель под псевдонимом Л. Кэрролл). Аппарат диаграмм Венна основан на центральной для алгебры логики идее разложения логич. функций на "конституэнты"; он позволяет решать единообразным методом ряд задач логики высказываний и логики одноместных предикатов (см. Логика предикатов): обзор следствий из данных посылок, решение логич. уравнений (при любом конечном числе переменных) и др., вплоть до простого и изящного решения разрешения проблемы. Аппарат Л. д. распространён и на классич. исчисление многоместных предикатов, а также оказывается весьма удобным средством для решения ряда задач из приложений математич. логики к теории автоматов.

Лит.: Кутюра Л., Алгебра логики, пер. с франц., Одесса, 1909; К у з и- чев А. С., Диаграммы Венна. История и применения. М., 1968 (см. лит.); V е n n J., Symbolic logic, 2 ed., L.- N. Y., 1894. Ю. А. Гостев.

ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ, л о г и- ческие связки, логические операторы, функции, преобразующие высказывания или пропозициональные формы (т. е. выражения логики предикатов, содержащие переменные и обращающиеся в высказывания при замене последних к.-л. конкретными их значениями) в высказывания или пропозициональные формы. Л. о. можно разделить на две осн. группы: кванторы и пропозициональные (сентенциональные) связки. Кванторы играют для формализованных языков матем. логики ту же роль, к-рую играют для естественного языка т. н. "количественные" ("кванторные") слова: "все", "любой", "некоторый", "существует", "единственный", "не более (менее) чем", количественные числительные и т. п. Характерной особенностью кванторов является - в случае нефиктивного их применения - понижение числа свободных переменных в преобразуемом выражении: применение квантора к выражению, содержащему n свободных переменных, приводит, вообще говоря, к выражению, содержащему n - 1 свободную переменную, в частности, пропозициональную форму с одной свободной переменной применение квантора (по этой переменной) преобразует в высказывание.

Пропозициональные связки (в отличие от кванторов, введение к-рых знаменует переход к логике предикатов) употребляются уже в самой элементарной части логики - в логике высказываний. В формализованных логич. и логико-матем. языках они выполняют функции, вполне аналогичные функциям союзов и союзных слов, употребляемых для образования сложных предложений в естественных языках. Так, отрицание п истолковывается как частица "не", конъюнкция & истолковывается как союз "и", дизъюнкция V - как (неразделительное) "или", импликация г> - как оборот "если..., то...", эквиваленция ~ - как оборот "тогда и только тогда, когда" и т. п. При этом, однако, соответствие между Л. о. и средствами естественного языка отнюдь не взаимно однозначно. Во-первых, потому, что высказывания, по определению, могут принимать лишь два "истинностных значения": "истину" ("и") и "ложь" ("л"), так что пропозициональные Л. о. можно рассматривать как различные функции, отображающие нек-рую область из двух элементов в себя; поэтому число различных га- местных (т. е. от n аргументов) Л. о. определяется из чисто комбинаторных соображений - оно равно 2". Во-вторых, в формализованных языках матем. логики игнорируются любые смысловые (и тем более стилистические) оттенки значений союзов, кроме тех, что непосредственно опредачяют истинностное значение получающегося сложного предложения. В свою очередь, в качестве Л. о. рассматриваются подчас и такие связки, содержательные аналоги к-рых в обычном языке, как правило, не имеют специальных наименований; таков, напр., "штрих Шеффера"  в нижеследующей таблице, где приведён полный перечень всех 2²² = 16 двуместных пропозициональных Л. о. (в первых двух столбцах помещены истинностные значения нек-рых "исходных" высказываний р и .7, в остальных - значения высказываний, образуемых из них посредством указанных сверху Л. о.).

Поскольку в табл. сведены все мыслимые двуместные Л. о., соответствующие всевозможным "четырёхбуквенным словам" из "и" и "л", записанным по вертикали в её столбцах, то естественно, что среди этих 17 Л. о. есть и "вырожденные" случаи: первые две "связки" вообще не зависят ни от каких "аргументов" - это константы "и" и "л" (понятно, что таких "нульместных" связок имеется ровно 2² = 2), далее идут 2²¹ =4 "одноместных связок" (каждая из к-рых зависит лишь от одного из аргументов р или q) и только затем уже 16-2-4 = 10 собственно двуместных Л. о. Можно далее рассматривать 2²" = 256 трёхместных Л. о. и т. д.; оказывается, однако, что уже небольшой части приведённых Л. о. достаточно для того, чтобы посредством их с у- перпозиций (т. е. последовательного применения) выразить любые n-местные Л. о. для любого натурального п. Такими функционально полными наборами связок являются, напр., п и&, 1 и V, 1 и => и даже одна-единственная связка . Поскольку логика высказываний может быть изоморфно (см. Изоморфизм) интерпретирована в терминах логики классов, для каждой Л. о. имеется аналогичная теоретико-множественная операция; совокупность таких операций над множествами (классами) образует т. н. алгебру множеств. См. Алгебра логики.

Лит.: Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, §§ 05, 06 и 15. Ю. А. Гостев.