ЛИНЕЙНАЯ ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ, функция f(Х) векторного переменного х, обладающая следующими свойствами:

1) f(x+y) = f(x) + f(y), 2) f(hx) = hf(x) (h - число). Л. в.-ф. в n-мер- ном пространстве вполне определяется значениями, принимаемыми ею для п линейно независимых векторов. Скалярную (принимающую числовые значения) Л. в.-ф. называют также линейным функционалом; в n-мерном пространстве она выражается линейной формой, f(x) = = 0.1X1 + пгХг +... + а„х_п от координат x_f, xj ,..., x_n вектора х. Примером скалярной Л. в.-ф. является скалярное произведение вектора х и нек-poro постоянного вектора а:

в пространстве, в к-ром определено скалярное произведение, всякая скалярная Л. в.-ф. имеет такой вид. Векторная (принимающая векторные значения) Л. в.-ф. определяет линейное или аффинное преобразование пространства и называется также линейным оператором, или аффинором. Векторная Л. в.-ф. у = f(x) в n-мерном пространстве выражается в координатах формулами:

Здесь числа at,- (г, j = 1, 2,..., n) составляют матрицу векторной Л. в.-ф. Если определить сумму векторных Л. в.-ф. f(*) и д(х) как Л. в.-ф. f(*) + д(х), а произведение тех же функций, как Л. в.-ф. д {f(x)}, то сумме и произведению векторных Л. в.-ф. будут соответствовать сумма и произведение соответствующих матриц. Примером векторной Л. в.-ф. является Л. в.-ф. вида:

где A1, А2, ...,Аn, a1, a2, ...аn. - постоянные векторы; в n-мерном пространстве, в к-ром определено скалярное произведение, всякая векторная Л. в.-ф. может быть представлена в таком виде.

Функцию нескольких векторных переменных, являющуюся Л. в.-ф. относительно каждого своего аргумента, называют полилинейной (билинейной, трилинейной и т. д.) вектор-функцией. Скалярное и векторное произведения двух переменных векторов могут служить примерами, соответственно скалярной и векторной билинейных вектор-функций. Полилинейные вектор-функции приводят к понятию тензора. О Л. в.-ф. (линейных функционалах и операторах) в бесконечномерном пространстве см. Функциональный анализ.

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ (матем.), соотношение вида

где С., С₂, ..., С_п - числа, из к-рых хотя бы одно отлично от нуля, а и\, иг, ...,и„ - те или иные матем. объекты, для к-рых определены операции сложения и умножения на число. В соотношение (*) объекты и,, иг, ...,и„ входят в 1-й степени, т. е. линейно; поэтому описываемая этим соотношением зависимость между ними наз. линейной. Знак равенства в формуле (*) может иметь различный смысл и в каждом конкретном случае должен быть разъяснён. Понятие Л. з. употребляется во многих разделах математики. Так, можно говорить о Л. з. между векторами, между функциями от одного или неск. переменных, между элементами линейного пространства и т. д. Если между объектами MI, и₂, ..., и„ имеется Л. з., то говорят, что эти объекты л и- нейно зависимы; в противном случае их наз. линейно независимыми. Если объекты и., и₂, ..., и" линейно зависимы, то хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных, т. е.

Непрерывные функции от одного переменного

наз. линейно зависимыми, если между ними имеется соотношение вида (*), в к-ром знак равенства понимается как тождество относительно х. Для того чтобы функции cpi(x), <p₂(x), ..., ф„ (x), заданные на нек-ром отрезке а^х^Ь, были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы обращался в нуль их определитель Грама

где

Если же функции cp_t (x), cp₂(x), ..., ф_п (x) являются решениями линейного дифференциального уравнения, то для существования Л. з. между ними необходимо и достаточно, чтобы вронскиан обращался в нуль хотя бы в одной точке. Линейные формы от т переменных

наз.  линейно зависимыми, если существует соотношение вида (*), в к-ром знак равенства понимается как тождество относительно всех переменных х\, х₂, ..., х_т. Для того чтобы n линейных форм от n переменных были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы обращался в нуль определитель

ЛИНЕЙНАЯ ПОДСТАНОВКА, замена переменных x₁, x₂ ,..., x_m переменными г/i, г/₂, ..., у„ по формулам

atj - постоянные. Линейные преобразования и переход от одной системы координат к другой в векторном пространстве осуществляются Л. п.

ЛИНЕЙНАЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ, состояние распространяющейся электромагнитной волны (напр., световой), при к-ром её электрический вектор Е в каждой точке пространства, занятого волной, совершая колебания, остаётся всё время в одной и той же плоскости, проходящей через направление распространения волны (то же справедливо и по отношению к магнитному вектору волны Л). См. Поляризация света.

ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА в м у з ы к е, система параллельных горизонтальных линий для записи нот; см. Нотное письмо._

ЛИНЕЙНАЯ ТАКТИКА, теория и практика подготовки и ведения боя в линейных боевых порядках при равномерном распределении войск (сил флота) по фронту, существовавшая в 17-18 вв. Получила развитие в связи с оснащением армий огнестрельным оружием и повышением роли огня в бою. Войска для ведения боя располагались в линию, состоявшую из нескольких шеренг (их количество определялось в зависимости от скорострельности оружия), что позволяло одновременно вести огонь из наибольшего количества ружей. Тактика войск сводилась в основном к фронтальному столкновению. Исход сражения во многом решался мощью пехотного огня. Л. т. в Зап. Европе зародилась в кон. 16 - нач. 17 вв. в нидерл. пехоте, где квадратные колонны были заменены линейными построениями. В рус. войсках элементы Л. т. впервые были применены в сражении при Добрыничах (1605). Полное оформление Л.т. получила в шведской армии Густава II Адольфа в период Тридцатилетней войны 1618- 1648, а затем была принята во всех европ. армиях. Этому способствовало увеличение скорострельности мушкета и усовершенствование артиллерии. Густав II Адольф увеличил число мушкетёров до ²/з состава своей пехоты, полностью отказался от глубоких построений и перешёл к строю в 6 и менее шеренг. Превосходство линейного боевого порядка над старым боевым порядком из колонн окончательно определилось в сражениях при Брейтенфелъде (1631) и Лютцене (1632), но одновременно выявились и отрицат. стороны Л. т.: невозможность сосредоточения превосходящих сил на решающем участке боя, способность действовать только на открытой равнинной местности, слабость флангов и трудность осуществления манёвра пехоты, в силу чего решающее значение для исхода боя приобрела кавалерия. Наёмные солдаты удерживались в сомкнутых линиях с помощью палочной дисциплины, а при нарушении строя убегали с поля боя. Классические формы Л. т. получила в 18 в., особенно в прусской армии Фридриха II, к-рый жесточайшей муштрой довёл боевую скорострельность каждой линии до 2- 3 залпов в минуту. Чтобы устранить недостатки Л. т., Фридрих II ввёл косой боевой порядок (батальоны наступали уступом), состоявший из 3 линий батальонов, имевших по 3 шеренги. Конница строилась в 3 линии. Артиллерия размещалась в интервалах между батальонами, на флангах и впереди боевого порядка. Несмотря на достигнутое совершенство, Л. т. войск Фридриха II продолжала оставаться шаблонной и негибкой. Рус. полководцы 18 в. - Пётр I, П. С. Салтыков, П. А. Румянцев, А. В. Суворов, придерживаясь Л. т., искали новые способы ведения бо". Пётр I в линейном боевом порядке создавал резерв, Румянцев начал применять рассыпной строй и каре. Суворов наряду с линейным боевым порядком ввёл колонны, применял каре, рассыпной строй и сочетание всех этих форм боевого построения войск. К кон. 18 в. Л. т. исчерпала свои возможности, франц., рус., затем и др. армии перешли к новой тактике, основанной на сочетании колонн и рассыпного строя. (См. Военное искусство.) Л. т. до кон. 18 в. господствовала также и в ВМФ. Корабли для ведения мор. боя строились в линию, исход боя решался фронтальным столкновением и одновременным ведением огня из орудий большинства кораблей. В конце 18 в. в ВМФ перешли к новой - манёвренной тактике, основы которой были заложены русскими адмиралами Г. А. Спиридовым и Ф. Ф. Ушаковым. (См. Военно-морское искусство.) В современных условиях термин "Л. т." обычно употребляется, когда имеются в виду неповоротливые боевые порядки, отсутствие их глубины, равномерное распределение сил по фронту, неспособность к манёвру с изменением обстановки и др. И. И. Картавцев.

ЛИНЕЙНАЯ ФОРМА, форма первой степени.  Общий вид Л. ф. n переменных

где at, аг, ..., а_п -постоянные. Если xi, x₂, ..., х„ трактовать как координаты вектора х в и-мерном векторном пространстве, то f удовлетворяет условию

(где х,  у - векторы, которое может быть принято за определение.

ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ, функция вида у = kx + b. Основное свойство Л. ф.: приращение функции пропорционально приращению аргумента. Графически Л. ф. изображается прямой линией. При равных масштабах на осях коэффициент k (угловой коэффициент) равен тангенсу угла, образованного прямой с осью Ox ( k = tg ф, см. рис.), а 6 - отрезку, отсекаемому прямой на оси Оу. При Ь = О Л. ф. называется однородной; её график изображает пропорциональную зависимость: у = kx. Л. ф. широко применяется в физике и технике для представления (нередко -приближённо) зависимостей между различными величинами. Рассматривают также Л. ф. многих переменных; однородные Л. ф. многих переменных называют линейными формами. Если и аргумент и функция суть векторы, то однородными Л. ф. являются линейные преобразования.

ЛИНЕЙНАЯ ЭРОЗИЯ, размыв горных пород и почв водой, текущей по устойчивым руслам; Л. э. приводит к образованию рытвин, оврагов, балок, долин. См. Эрозия.

ЛИНЕЙНОГО ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ МЕТОД, один из методов приближённого вычисления корней уравнения (трансцендентного или алгебраического) f(x) = 0. Сущность Л. и. м. заключается в следующем. Исходя из двух близких к корню а значений xo и xi, в к-рых функция f(x) принимает значения разных знаков, берут в качестве следующего приближённого значения хг корня а точку пересечения с осью абсцисс прямой, проходящей через точки (х₀, f(xo)) и (xi, f(Xi)) (см. рис.). Повторяя эту процедуру на более узком интервале [xo, хг], находят следующее приближение х₃ и т. д. Общая формула Л. и. м. имеет вид

Др.  названия Л. и. м.: метод хорд, метод секущих и (устаревшее) правило ложного положения (Regula ralsi).

Лит.: Б е р е з и н И. С.. Жидков Н. П., Методы вычислений, 2 изд., т. 2, М., 1962.

ЛИНЕЙНОЕ ПИСЬМО А и Б, древнейшие письменности о. Крита. В текстах, выполненных Л. п. Б (крито-ми- кенским слоговым письмом), засвидетельствован один из диалектов др.-греч. яз. Надписи, датируемые 15-14 вв. до н. э. и найденные в кон. 19 в. на о. Крите, были впервые опубликованы англ, учёным А. Эвансом в 1909. В 1939 в юж. части Пелопоннеса были найдены таблички с такими же надписями, относящимися примерно к 13 в. до н. э. Дешифровка Л. п. Б принадлежит англ, учёным М. Вентрису и Дж. Чедвику (1953). Знаки крито-микенского письма, соответствующие отд. гласным или группам, состоящим из согласного с последующим гласным, по мнению нек-рых учёных, были, очевидно, заимствованы и приспособлены к нуждам греч. языка. Нек-рые знаки совпадают со знаками кипрского слогового письма (6-2 вв. до н. э.) и Л. п. А, к-рое датируется примерно 18-15 вв. до н. э. Не поддающееся дешифровке Л. п. А, по всей вероятности, не является индоевропейским (см. Критское письмо).

Лит.: Георгиев В., Словарь кри- то-микенских надписей, София, 1955; Лурье С. Я., Язык и культура микенской Греции, М', 1957; Furumark A., Linear A und die altkretische Sprache, В., 1956; Meriggi P., Primi elementi di m-no.co A, Salamanca. 1956; Sundwall J., Minoische Beitrage, "Minos", 1955, № 3, 1956, №4; Chadwick J., У е п t r 1 s M Studies in Mycenaean inscriptions and dialect, L., 1956; их же, Documents in Mycenaean Greek, Camb., 1956; "Minoica", В., 1958; Peruzzi E., Le iscrizioni minoiche, Firenze, 1960.

М. Л. Воскресенский.

ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ переменных x1, x2, ..., x_n - замена этих переменных на новые х1, Х2, ..., хп, через к-рые первоначальные переменные выражаются линейно, т. е. по формулам:

здесь aii и Ь. (г, j = 1,2,..., и) - произвольные числовые коэффициенты. Если bi, Ь₂,..., Ь_п все равны нулю, то Л. п. переменных называют однородным.

Простейшим примером Л. п. переменных могут служить формулы преобразования прямоугольных координат на плоскости

Если определитель D = I ац I, составленный из коэффициентов при переменных, не равен нулю, то можно и новые переменные x'i, x'₂, ..., x'_n линейно выразить через старые. Напр., для формул преобразования прямоугольных координат

и

где а! = - асозсс - bsince, Ъг = asina -> - Ъ cos a. Другими примерами Л. п. переменных могут служить преобразования аффинных и однородных проективных координат, замена переменных при преобразовании квадратичных форм и т. п.

Л. п. векторов (или Л. п. векторного пространства) называют закон, по к-рому вектору х из к-мерного пространства ставят в соответствие новый вектор х', координаты к-рого линейно и однородно выражаются через координаты вектора х :

или коротко

х' = Ах.

Напр., операция проектирования на одну из координатных плоскостей (пусть на плоскость хОу) будет Л. п. трёхмерного векторного пространства: каждому вектору а с координатами х,у, z сопоставляется новый вектор Ь, координаты х', у', z' к-рого выражаются через х, у, z следующим образом : х' = x, у' = у, z' = 0. Пример Л. п. плоскости - поворот её на угол а вокруг начала координат. Матрицу

составленную из коэффициентов Л. п. А, называют его матрицей. Матрицами приведённых выше Л. п. проектирования и поворота будут соответственно

Л. п. векторного пространства можно определить (как обычно поступают) без использования системы координат: соответствие х^гу = Ах называют Л. п., если выполняются условия А (х + у) = Ах + + Ау и А(ах) = аА(х) для любых векторов х и у и любого числа а. В разных системах координат одному и тому же Л. п. будут соответствовать разные матрицы и, следовательно, разные формулы для преобразования координат.

К Л. п. относится, в частности, нулевое Л. п. О, переводящее все векторы в О (нулевой вектор) : Од: = 0 и единичное Л. п. Е, оставляющее все векторы без изменения: Ex = х; этим Л. п. в любой системе координат соответствуют нулевая и единичная матрицы.

Для Л. п. векторного пространства естественным образом определяются операции сложения и умножения: суммой двух Л. п. А и В называют Л. п. С, переводящее любой вектор х в вектор Сх = Ах + Вх; произведением Л. п. Л и В называют результат их последовательного применения: С = АВ, если Сх = А(Вх).

В силу этих определений совокупность всех Л. п. векторного пространства образует кольцо. Матрица суммы (произведения) Л. п. равна сумме (произведению) матриц Л. п. слагаемых (сомножителей); при этом существен порядок множителей, так как произведение Л. п., как и матриц, не обладает свойством коммутативности. Л. п. можно также умножать на числа: если Л. п. Л переводит вектор х в вектор у = Ах, то аА переводит х в ау. Примеры операций над Л. п.: 1) Пусть А к В означают операции проектирования на оси Ox и Оу в трёхмерном пространстве; А + В будет проектированием на плоскость хОу, а АВ = 0. 2) А я В-повороты плоскости вокруг начала координат на углы ф и г|); АВ будет поворотом на угол ф + х|). 3) Произведение единичного Л. п. Е на число а будет преобразованием подобия с коэффициентом растяжения (или сжатия) ос. Л. п. В называют обратным к Л. п. А (и обозначают А"¹), если ВА = Е (или АВ = Е). Если Л. п. А переводило вектор х в вектор у, то Л. п. Д-¹ переводит у обратно в х. Л. п., обладающее обратным, называют невырожденным; такие Л. п. характеризуются также тем, что определитель их матрицы не равен нулю. Нек-рые классы Л. п. заслуживают особого упоминания. Обобщением поворотов двумерных и трёхмерных евклидовых пространств являются ортогональные (или унитарные - в комплексных пространствах) Л. п. Ортогональные Л. п. не изменяют длин векторов (а следовательно, и углов между ними). Матрицы этих Л. п. в ортонормированной системе координат также наз. ортогональными (унитарными); произведение ортогональной матрицы на её транспонированную даёт единичную матрицу: 2йа(йауй = 2йай,-ййу = 0 при zV-j, 2.йа².й = = .?йа\. = 1 (в_комплексном пространстве .Ейа.ьа;/. = Ъьаыпы = 0, 2й|а^|² = -Sfc|at.|² = 1). Симметрическим (эрмито- в ы м, или самосопряжён- н ы м, - в комплексном пространстве) Л. п. называют такое Л. п., матрица к-рсто_ симметрическая: а. •• = а/. (или a_ti = ац). Симметрические Л. п. осуществляют растяжение пространства с разными коэффициентами по неск. взаимно ортогональным направлениям. С симметрическими Л. п. связана теория квадратичных форм (или эрмитовых форм в комплексном пространстве).

Приведённое выше определение Л. п. в векторном пространстве, не использующее координатную систему, без всяких изменений распространяется и на бесконечномерные (в частности, функциональные) пространства. Л. п. в бесконечномерных пространствах принято называть линейными операторами.

Лит.: Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии..., М., 1968; Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, 3 изд., М., 1970; Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р., Линейная алгебра и многомерная геометрия, М., 1970

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ, математическая дисциплина, посвящённая теории и методам решения задач об экстремумах линейных функций на множествах, задаваемых системами линейных неравенств и равенств; Л. п. является одним из разделов математического программирования.

Типичным представителем задач Л. п. является следующая: найти максимум линейной функции

при условиях

где a, atj и b_t - заданные величины. Задачи Л. п. являются матем. моделями многочисленных задач технико-эко- номич. содержания. Рассмотрим в качестве примера следующую задачу планирования работы предприятия. Для производства однородных изделий необходимо затратить различные производств, факторы - сырьё, рабочую силу, станочный парк, топливо, транспорт и т. д. Обычно имеется неск. отработанных технологич. способов производства, причём в этих способах затраты производств, факторов в единицу времени для выпуска изделий различны. Количество израсходованных производств, факторов и количество изготовленных изделий зависит от того, сколько времени предприятие будет работать по тому или иному технологич. способу. Ставится задача рационального распределения времени работы предприятия по различным технологич. способам, т. е. такого, при к-ром будет произведено максимальное количество изделий при заданных ограниченных затратах каждого производств, фактора. Формализуем задачу. Пусть имеется п технологич. способов производства изделий и т производств, факторов. Введём обозначения: Cj - количество изделий, выпускаемых в единицу времени при работе по у-му технологич. способу; aij - расход /'-го производств, фактора в единицу времени при работе по ;-му технологич. способу; bi - имеющиеся ресурсы г'-го производств, фактора и xj - планируемое время работы по ;'-му технологич. способу. Величина

означает общий расход г'-го производственного фактора при плане x⁽" = = (x⁽'⁾i,x"⁾₂,...,x⁽'⁾-₁). И поскольку ресурсы ограничены величинами bi, то возникают естественные условия (2) и (3). Ставится задача отыскания такого распределения времени (оптимального плана) х* = = (x*i,x*₂,..., х*„)работы по каждому технологич. способу, при к-ром общий объём

продукции  был бы максимальным, то есть задача (1) - (3). Другим характерным примером прикладных задач Л. п. является транспортная задача.

Термин "Л. п." нельзя признать удачным, однако смысл его в том, что в Л. п. решаются задачи составления оптимальной программы (плана) действий. В связи с этим Л. п. можно рассматривать как один из матем. методов в исследованиях операций (см. Операций исследование).

Функцию (1) в Л. п. принято называть целевой функцией, или критерием эффективности, вектор х = (xi, x2,...,x_n) - планом, вектор x* = (x*i, x*₂,...,x*_n)-оптимальным планом, а множество, определяемое условиями (2) - (3), - допустимым, или множеством планов. Одним из осн. методов решения задач Л. п. является симплексный метод. Геометрически его идея состоит в следующем. Допустимое множество (2)-(3) представляет собой выпуклое многогранное множество (если оно ограничено, то - многомерный выпуклый многогранник). Если задача Л. п. имеет решение, то существует вершина х* многогранного множества, являющаяся оптимальным планом. Симплексный метод состоит в таком направленном переборе вершин, при к-ром значение целевой функции возрастает от вершины к вершине. Каждой вершине соответствует система уравнений, выбираемая спец. образом из системы неравенств (2)-(3), поэтому вычислит, процедура симплексного метода состоит в последовательном решении систем линейных алгебраич. уравнений. Простота алгоритма делает этот метод удобным для его реализации на ЭВМ.

Лит.: Ю д и н Д. Б., ГольштейнЕ. Г., Линейное программирование, М-, 1969. В. Г. Карманов.

ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО, то же, что векторное пространство. В функциональном анализе рассматриваются гл. обр. бесконечномерные пространства. Примером бесконечномерного Л. п. может служить пространство всех многочленов (с вещественными или комплексными коэффициентами) при обычном определении сложения и умножения на числа. Одним из первых примеров бесконечного Л. п. были гильбертово пространство и пространство С[а, Ь] непрерывных функций, заданных на отрезке [а, Ь]. Эти пространства являются нормированными, т. е. такими Л. п., в к-рых введена норма элемента x - неотрицательное число ||дг||, обращающееся в нуль лишь при x = 0 и обладающее свойствами \\\х\\ = |Х| \\x\\ и \\х + у\\< < 11x11 + \\У\\ (неравенство треугольника). Число \\х - у || называют расстоянием между элементами х к у (см. также Метрическое пространство). В нормированном Л. п. вводятся понятия открытого шара, предельной точки множества, непрерывности функционала аналогично тому, как это делается в трёхмерном пространстве.

В конечномерном пространстве различные нормы топологически равносильны: последовательность точек, сходящихся при одной норме, сходится и при любой другой. В бесконечномерных пространствах нормы могут быть существенно различны. Напр., при решении задачи П. Л. Чебыгиева о разыскании многочлена, наименее уклоняющегося от нуля (задачи о наилучшем приближении), надо найти такой многочлен (k - 1)-й степени  чтобы

имел наименьшее значение. Вводя в пространство С[0,1] норму формулой

эту задачу можно сформулировать следующим образом: требуется найти многочлен  расстояние к-рого от функции t^k было бы наименьшим. При рассмотрении же многочленов, ортогональных с весом p(t) (см. Ортогональная система функций), естественно рассматривать норму, определённую формулой

и решать задачу о наилучшем приближении в смысле этой нормы. Нормы \\x\\i ^и \\х\\г существенно различны, так как, напр., последовательность функций

по первой норме расходится, а по второй норме при p(t) = 1 сходится к функции

Следует отметить, что хотя все функции х„ (t) были непрерывны, функция x(t) разрывна. Это связано с тем, что пространство непрерывных функций неполно относительно нормы ||x|[₂. При этом нормированное Л. п. наз. полным, если для любой последовательности {х_п} его элементов, удовлетворяющих условию

существует в Л. п. такой элемент х, что данная последовательность сходится к нему, т. е.

Если Л. п. неполно, то к нему можно присоединить новые элементы (пополнить его) так, что оно станет полным. Напр., пополняя пространство непрерывных функций, взятое с нормой j|x|l₂, получают гильбертово пространство L²_P. Полные нормированные Л. п. наз. банаховыми, или В-п ространства- м и, - по имени изучившего их основные свойства С. Банаха.

Обобщением понятия В-пространства является понятие топологического Л. п. Так, называют множество Е, если: 1) оно представляет собой Л. п., 2) оно является топологическим пространством, 3) операции сложения и умножения на числа в Е непрерывны относительно заданной в Е топологии. К числу тополо- гич. Л. п. относятся все нормированные пространства. А. Н. Колмогоров установил (1934) необходимые и достаточные условия нормируемости топологич. Л. п.

Лит.: Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 2 изд., М., 1968; Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 196.3-

ЛИНЕЙНОЕ СУДОХОДСТВО, см. Морские линии.

ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ, уравнение, в к-рое неизвестные входят в 1-й степени (т. е. л и н е и н о) и отсутствуют члены, содержащие произведения неизвестных. Несколько Л. у. относительно одних и тех же неизвестных образуют систему Л. у. Решением системы Л. у. называют набор чисел c_t, c₂,...,c_n, обращающих все уравнения в тождества после подстановки их вместо соответствующих неизвестных. Система Л. у. может иметь как одно единственное решение, так и бесконечное множество решений (неопределённая система); может также оказаться, что система Л. у. не имеет ни одного решения (несовместная система).

Чаще всего встречается случай, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных. Одно Л. у. с одним неизвестным имеет вид:

решением его при а не равно 0 будет число b/a. Система двух Л. у. с двумя неизвестными имеет вид:

где аи, а!₂, а₂., а₂2, bt, bi - какие-либо числа. Решение системы (1) можно получить с помощью определителей:

здесь предполагается, что стоящий в знаменателе определитель D = г|^и д¹² отличен от нуля. В числителях стоят определители, получающиеся из D заменой в нём одного столбца столбцом свободных членов bi, Ь₂: в выражении для первого неизвестного xi заменяется первый столбец, а в выражении для второго неизвестного Х2 - второй.

Аналогичное правило применимо и при решении любой системы n Л. у. с п неизвестными, т. е. системы вида:

здесь a_tj и hi (i,j = 1,2,...,n) - произвольные числовые коэффициенты; числа Ь\, &₂,..., Ьп называют обычно свободными членами. Если определитель D - \ui!\ системы (2), составленный из коэффициентов atj при неизвестных, отличен от нуля, то решение получается следующим образом: ?-е (k = 1,2,..., n) неизвестное хь равно дроби, в знаменателе к-рой стоит определитель D, а в числителе - определитель, полученный из D заменой в нём столбца из коэффициентов при отыскиваемом неизвестном (ft-го столбца) столбцом свободных членов bi, Ьг,...,Ь„. Если D = 0, то система (2) либо не имеет ни одного решения, либо имеет бесконечное множество решений.

Если все bi = 0 (систему Л. у. называют в этом случае однородной), то при D ?± 0 решение системы (2) будет нулевым (т. е. все xi, = 0). В практике часто, однако, встречаются однородные системы Л. у. с числом уравнений на 1 меньше числа неизвестных, т. е. системы вида:

Решение такой системы неоднозначно; из неё, как правило, можно найти только отношение неизвестных:

где Dk - умноженный на (-1)* определитель, полученный из матрицы коэффициентов аи системы (3) вычёркиванием fe-ro столбца (это правило применимо только тогда, когда хотя бы один из определителей DI отличен от 0).

Впервые решение систем (2) было получено Г. Крамером в 1750; правило для нахождения решения этих систем носи! до сих пор название правила Крамера. Построение полной теории систем Л. у. было закончено только спустя 100 лет Л. Кронекером.

Общая система т Л. у. с n неизвестными имеет вид :

Вопрос о совместности системы Л. у. (4), т. е. вопрос о существовании решения, решается сравнением рангов матриц

И

Если ранги совпадают, то система совместна; если ранг матрицы В больше ранга матрицы Л,то система несовместна (теорема Кронекера - Капелли). В случае совместности системы, её решения можно найти следующим образом. Найдя в матрице А отличный от нуля минор наибольшего порядка г, отбрасывают m - г уравнений, коэффициенты к-рых не вошли в этот минор (отбрасываемые уравнения будут следствиями оставшихся, и поэтому их можно не рассматривать); в оставшихся уравнениях переносят направо те неизвестные, коэффициенты к-рых не вошли в выбранный минор (свободные неизвестные). Придав свободным неизвестным любые числовые значения, получают систему из г уравнений с г неизвестными, к-рую можно решить по правилу Крамера. Найденные значения г неизвестных вместе со значениями свободных неизвестных дадут нек-рое ч а- с т н о е (т. е. одно из многих возможных) решение системы (4). Можно, не давая свободным неизвестным конкретных значений, непосредственно выразить через них остальные неизвестные. Так получается общее решение, т. е. решение, в к-ром неизвестные выражены через параметры; давая этим параметрам произвольные значения, можно получить все частные решения системы.

Однородные системы Л. у. можно решать таким же способом. Решения их обладают тем свойством, что сумма, разность и вообще любая линейная комбинация решений (рассматриваемых как п- мерные векторы) также будет решением системы. Другими словами: совокупность всех решений однородной системы Л. у. образует линейное подпространство n-мерного векторного пространства. Систему решений, к-рые сами линейно независимы и позволяют выразить любое другое решение в виде их линейной комбинации (т. е. базис линейного подпространства), называют фундаментальной системой решений однородной системы Л. у.

Между решениями системы Л. у. (4) и соответствующей однородной системы Л. у. (т. е. уравнений с теми же коэффициентами при неизвестных, но со свободными членами, равными нулю) существует простая связь: общее решение неоднородной системы получается из общего решения однородной системы прибавлением к нему к.-л. частного решения неоднородной системы Л, у.

Большой наглядности изложения в теории Л. у. можно добиться, используя геометрич. язык. Привлекая при этом к рассмотрению линейные операторы в векторных пространствах (рассматривая уравнения вида Ах = Ь, А - линейный оператор, х и Ь - векторы), легко установить связь рассматриваемых алгебраич. Л. у. с Л. у. в бесконечномерных пространствах (системы Л. у. с бесконечным числом неизвестных), в частности с Л. у. в функциональных пространствах, напр, линейные дифференциальные уравнения, линейные интегральные уравнения (см. Интегральные уравнения) и др.

Применение правила Крамера при практич. решении большого числа Л. у. может встретить значит, трудности, т. к. нахождение определителей высокого порядка связано со слишком большими вычислениями. Были поэтому разработаны различные методы численного (приближённого) решения систем Л. у. (см. Численное решение уравнении).

Лит.: Энциклопедия элементарной математики, под ред. П. С. Александрова [и др.], кн. 2, М.- Л., 1951; Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н-, Вычислительные методы линейной алгебры, 2 изд., М.- Л., 1963.

ЛИНЕЙНО-ЛЕНТОЧНОЙ КЕРАМИКИ КУЛЬТУРА, археологич. культура эпохи раннего неолита (кон. 5 - нач. 4-го тыс. до н. э.), распространённая в Ср. Европе. Является частью дунайских культур. Характеризуется единообразной керамикой сферич. и полусфе- рич. форм, украшенной орнаментом из лент, состоящих из 2-3 углублённых линий (S-образные спирали, меандры). Линии иногда пересечены ямками ("нотная керамика"). Из орудий характерны колодкообразные топоры. Известны крупные поселения этой культуры: Кёлън-Линденталъ, Билани (Чехия), Флорешты (Мол д. ССР), состоящие из больших столбовых домов и землянок. Население занималось земледелием (пшеница, ячмень) и скотоводством (крупный и мелкий рог. скот, свиньи). Лит.: П а с с е к Т. С., Ч е р н ы ш Е. К., Памятники культуры линейно-ленточной керамики на территории СССР, М., 1963; Hoffman E., Die Kultur der Bandkeramik in Sachsen, Tl 1 - Die Keramik, В., 1963. В. С. Титов.

ЛИНЕЙНЫЕ ВОЙСКА, 1)в 18-19 вв. в армиях различных гос-в Л. в. наз. тяжёлую (линейную) пехоту, действовавшую в сомкнутом строю и наносившую гл. удар, в отличие от лёгкой пехоты, к-рая действовала в рассыпном строю и выполняла вспомогат. задачи. Линейной иногда наз. также тяжёлая кавалерия. 2) Войска в рус. армии, охранявшие гл. обр. пограничные укреплённые линии. Л. в. появились в 1804. К 1856 было 84 линейных батальона: 18 Грузинских, 16 Черноморских, 13 Кавказских, 12 Финляндских, 10 Оренбургских и 15 Сибирских. Все они (кроме Черноморских) сводились в пех. бригады (по 5-7 батальонов), а Финляндские, Оренбургские и Сибирские, кроме того, и в пех. дивизии. В 1858 Грузинские и Черноморские батальоны были переименованы в Кавказские, а в 1867 Оренбургские и часть Сибирских - в Туркестанские. К нач. 20 в. все линейные войска были переформированы в стрелковые и резервные. В 1832-60 существовало Кавказское линейное казачье войско.

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, дифференциальные уравнения вида

где у = у(х) - искомая функция, у^т, г/'""¹',...,;/'-её производные, а р\ (х), р₂(х),...,р„(х) (коэффициенты) и f(x) (свободный член)-заданные функции (см. Дифференциальные уравнения). В уравнение (1) искомая функция у и её производные входят в 1-й степени, т. е. линейно, поэтому оно наз. линейным. Если f (х) = 0, то уравнение (1) наз. однородным, в противном случае - неоднородным. Общее решение г/₀ = Уо(х) однородного Л. д. у. при условии непрерывности его коэффициентов pk (х) выражается формулой:

где d, C₂,..., Сп - произвольные постоянные и !/i(x), y-i (x),..., у_п(х) - линейно независимые (см. Линейная зависимость) частные решения, образующие т. н. фундаментальную систему решений. Критерием линейной независимости решений служит неравенство нулю (хотя бы в одной точке) определителя Вроньского {вронскиана)'.

Общее решение у = у(х) неоднородного Л. д. у. (1) имеет вид:

где УН = уа(х) - общее решение соответствующего однородного Л. д. у. и Y = Y(x) - частное решение данного неоднородного Л. д. у. Функция Y(x) может быть найдена по формуле:

где ун(х) - решения, составляющие фундаментальную систему решений однородного Л. д. у., и Wft(x) - алгебраическое дополнение элемента г/й'"^¹'^) в определителе (2) Вроньского W(x).

Если коэффициенты уравнения (1) постоянны: рк(х) = at,(k = l,2,...,n), то общее решение однородного уравнения выражается формулой:

где

корни т. н. характеристического  уравнения:

nfe - кратности этих корней и С/", Dks - произвольные постоянные.

Пример. Для Л. д. у. характеристическое уравнение имеет вид:  Его корнями являются числа:

Следовательно, общее решение этого уравнения  таково:

Системы Л. д. у. имеют вид:

Общее решение однородной системы Л. д. у. [получаемой из системы (3), если все f-(x) = 0] даётся формулами:

где уц, у_}г ,..., yin-линейно независимые частные решения однородной системы (т. е. такие, что определитель \yik(x)\ ^0 хотя бы в одной точке).

В случае постоянных коэффициентов p_ilt(x) = Oji, частные решения однородной системы следует искать в виде:

где AJ, - неопределённые коэффициенты, а \ь - корни характеристического уравнения

и тли - кратность этих корней. Полный анализ всех возможных здесь случаев проводится с помощью теории элементарных делителей [см. Нормальная (жорданова) форма матриц]. Для решения Л. д. у. и систем Л. д. у. с постоянными коэффициентами применяются также методы операционного исчисления.

Лит.: Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959; Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 2, 20 изд., М., 1967; т. 3, ч. 2, 8 изд., М., 1969; Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения,3 изд., М., 1970.

ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, колебательные системы, свойства к-рых не изменяются при изменении их состояния, т. е. параметры Л. с., характеризующие её свойства (упругость, масса и коэфф. трения механич. системы; ёмкость, индуктивность и активное сопротивление электрич. системы), не зависят от величин, характеризующих состояние системы (от смещений и скоростей в случае механич. системы, напряжений и токов в случае электрич. системы). Параметры реальных систем всегда в той или иной степени зависят от их состояния, напр, коэфф. упругости пружины зависит от величины деформации (отклонения от закона Гука при больших деформациях), активное сопротивление проводника зависит от его темп-ры, к-рая, в свою очередь, зависит от силы протекающего по проводнику тока и т. д. Поэтому реальные системы можно рассматривать как Л. с. только в нек-рых ограниченных пределах изменений их состояния, при к-рых допустимо пренебречь изменениями их параметров. Для очень большого числа реальных систем эти пределы оказываются весьма широкими, поэтому большинство задач можно решать, рассматривая реальные системы как Л. с. Примерами Л. с. могут служить: маятник (при малых амплитудах колебания), электрич. колебательный контур, мостовая измерит, схема, системы автоматич. управления и регулирования и др. В тех случаях, когда в пределах возможных изменений состояний реальной системы уже сказываются изменения её параметров, приходится учитывать нелинейность системы (см. Нелинейные системы).

Л. с. обладают свойствами, существенно упрощающими анализ происходящих в них процессов. Процессы в Л. с. описываются линейными дифференциальными уравнениями (откуда и произошло их название). Причём, в различных по физ. природе Л. с. процессы описываются одинаковыми по структуре уравнениями. На этом основано физ. и, в частности, электрич. моделирование Л. с., а также моделирование на ЦВМ. Л. с. играют большую роль в физике и технике, т. к. без искажения формы воспроизводят внешние воздействия, имеющие характер гармонических колебаний, и, во-вторых, в Л. с. справедлив суперпозиции принцип.

ЛИНЕЙНЫЕ УСКОРИТЕЛИ заряженных частиц, ускорители, в к-рых траектории частиц близки к прямой линии; см. Ускорители заряженных частиц.

ЛИНЕЙНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ, электродвигатель, у к-рого один из элементов магнитной системы разомкнут и имеет развёрнутую обмотку, создающую бегущее магнитное поле, а другой выполнен в виде направляющей, обеспечивающей линейное перемещение подвижной части двигателя. Л. д. постоянного тока состоит из якоря с расположенной на нём обмоткой, служащей одновременно коллектором (направляющий элемент), и разомкнутого магнитопровода с обмотками возбуждения (подвижная часть), расположенными так, что векторы сил, возникающих под полюсами магнитопровода, имеют одинаковое направление. Отличается простотой регулирования скорости перемещения подвижной части. Л. д. переменного тока могут быть асинхронными и синхронными. Якорь асинхронного Л. д. в виде бруска обычно прямоугольного сечения без обмоток закрепляется вдоль пути перемещения подвижной части двигателя, имеющей магнитопровод с развёрнутыми многофазными обмотками, питаемыми от источника переменного тока. Вследствие взаимодействия магнитного поля в магнитопроводе подвижной части с полем якоря возникают силы, к-рые заставляют перемещаться с ускорением подвижную часть Л. д. относительно неподвижного якоря до тех пор, пока скорости перемещения двигателя и бегущего магнитного поля не уравняются. Наиболее перспективно применение асинхронных Л. д. в тяговых электроприводах транспортных машин в сочетании с магнитными и воздушными подушками, что даёт возможность повысить скорость движения поездов до 450- 500 км/ч. Синхронные Л. д. практически не изготовляются. Осн. достоинство Л. д.- способность создавать большие усилия и, как следствие этого, возможность развития значит, ускорений, что особенно важно для транспортных средств, а также отсутствие редуктора в конструкции двигателя.

Лит.: К n u t h I., Electrische Maschi.ien mit geradliniger Bewegung und ihre tech- nische Anwendung, "Electro-Praktiker", 1969, № 1. Ю. М. Иноков.

ЛИНЕЙНЫЙ КОРАБЛЬ, линкор, 1) в парусном военном флоте 17-1-й пол. 19 вв. крупный по размерам трёхмачтовый боевой корабль с 2-3 арт. палубами (деками); имел от 60 до 135 орудий, устанавливавшихся по бортам в линию и до 800 чел. экипажа. Вёл бой, находясь в кильватерной колонне (линии баталии), отчего и получил своё назв., перешедшее по традиции к кораблям парового флота. 2) В паровом броненосном флоте один из осн. классов самых крупных по размерам арт. надводных кораблей, предназначенных для уничтожения в мор. бою кораблей всех классов, а также нанесения мощных арт. ударов по береговым объектам. Л. к. появились во многих флотах мира после рус.-япон. войны 1904-05 взамен броненосцев. Сначала наз. дредноутами. В России назв. класса Л. к. установлено в 1907. Л. к. применялись в 1-й мировой войне 1914-18. К нач. 2-й мировой войны 1939-45 Л. к. имели стандартное водоизмещение от 20 до 64 тыс. т, вооружение - до 12 башенных орудий гл. калибра (от 280 до 460 мм), до 20 орудий противоминной, зенитной или универсальной артиллерии калибра 100- 127 мм, до 80-140 зенитных малокалиберных автоматич. пушек и крупнокалиберных пулемётов. Скорость хода Л. к. - 20-35 узлов (37-64,8 км/ч), экипаж воен. времени - 1500-2800 чел. Бортовая броня достигала 440 мм, вес всей брони составлял до 40% общего веса корабля. На борту Л. к. имелись 1-3 самолёта и катапульта для их взлёта. В ходе войны в связи с возрастанием роли морской, особенно авианосной авиации, а также подводных сил флота и гибелью многих Л. к. от ударов авиации и подводных лодок они утратили значение; после войны во всех флотах почти все Л. к. сданы на слом. Б. Ф. Более.

Линейный корабль "Айова" (США). 1943.

ЛИНЕЙНЫЙ КРЕЙСЕР, подкласс крейсеров с мощным арт. вооружением, появившийся перед 1-й мировой войной 1914-18. Было построено лишь неск. Л. к., имели водоизмещение от 20 до 42 тыс. т, вооружение - 6-9 башенных орудий калибра 280-380 мм, до 20 113-мм орудий, скорость хода 29-30 узлов (53,7-55,5 км/ч). Л. к. применялись в 1-й мировой войне, а три из оставшихся в ВМС Великобритании и во 2-й мировой войне 1939-45. После войны последний уцелевший Л. к. был сдан на слом.

ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР, обобщение понятия линейного преобразования на линейные пространства. Линейным оператором F на. линейном пространстве Е наз. функцию F(x), определённую для всех хеЕ, значения к-рой суть элементы линейного пространства EI, и обладающую свойством линейности:

где хну  - любые элементы из Е, a и (3 - числа.

Если пространства Е и Ei нормированы и величина ограничена, то Л. о. F называют ограниченным, а

его нормой.

Важнейшими конкретными примерами Л. о. в функциональных пространствах являются дифференциальные Л. о.

и интегральные Л. о.

примером Л. о. функций многих переменных может служить Лапласа оператор. Теория Л. о. находит большое применение в различных вопросах матем. физики и прикладной математики. См. также Функциональный анализ, Операторов теория, Спектральный анализ (математический), Собственные значения и собственные функции, Собственные векторы.

ЛИНЕЙНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ, обобщение понятия линейной формы на линейные пространства. Линейным функционалом f на линейном нормированном пространстве Е наз. числовую функцию f(x), определённую для всех х из Е и обладающую следующими свойствами:

1) f(x)  линейна, т. е.

где x и у - любые элементы из Е, а. и р - числа;

2) f(x) непрерывна.

Непрерывность f равносильна требованию, чтобы было ограничено в Я; выражение  называют нормой f и обозначают \\f\\.

В пространстве С [а,Ь] функций a(t), непоеоывных при а<"Ь, с нормой Л.ф. являются, напр.,

выражения:

В гильбертовом пространстве Н Л. ф. суть скалярные произведения (/, x), где I - любой фиксированный элемент пространства Н; ими исчерпываются все Л. ф. этого пространства.

Во многих задачах можно из общих соображений установить, что та или иная величина является Л. ф. Напр., к Л. ф. приводит решение линейных дифференциальных уравнений с линейными краевыми условиями. Поэтому очень существенным является вопрос об общем ана- литич. выражении Л. ф. в разных пространствах.

Совокупность всех Л. ф. данного пространства Е превращается в_ линейное нормированное пространство Е, если определить естественным образом сложение Л. ф. и умножение их на числа. Пространство Е называют сопряжённым к Е; это пространство играет большую роль при изучении Е.

С понятием Л. ф. связано понятие слабой сходимости. Последовательность {x_n} элементов линейного нормированного пространства называют слабо сходящейся к элементу x, если

для любого Л. ф. f. См. также Функциональный анализ.

ЛИНЕЙНЫХ ЗНАКОВ СПОСОБ, один из картографических способов изображения. Л. з. с. изображаются линии местности (напр., водоразделы, тектонич. разломы, линии связи, политико-адм. границы и др.), объекты линейного протяжения, не выражающиеся в масштабе карты (напр., реки и дороги и др.), граничные полосы (напр., береговая зона, зональные границы почв и растительности и др.).

ЛИНЕЙЧАТАЯ ГЕОМЕТРИЯ, раздел геометрии, в к-ром рассматриваются в качестве элементов пространства прямые линии. Как известно, прямая в пространстве определяется четырьмя постоянными - коэффициентами а, Ъ, р, q в уравнениях x = az + р, у = bz 4- q. Следовательно, величины а, о, р, q можно рассматривать как координаты прямой. Если эти координаты являются функциями одного, двух или трёх параметров, то соответствующие совокупности прямых образуют линейчатые поверхности и т. н. конгруэнции и комплексы прямых. Эти гео- метрич. образы и являются объектом изучения Л. г. Примером линейчатой поверхности может служить однополост- ный гиперболоид, примером конгруэнции - совокупность общих касательных к двум к.-л. поверхностям, примером комплекса прямых - совокупность касательных к одной к.-л. поверхности. Для изучения линейчатых поверхностей, конгруэнции и комплексов прямых с единой точки зрения в Л. г. вводятся так называемые линейные однородные координаты прямой. Пусть заданы две точки MI(XI, г/i, Zi) и M₂(x₂, г/₂, z₂), тогда линейными однородными координата-

ми прямой, проходящей через эти точки, называют шесть чисел, пропорциональных  (или равных) числам:

Числа  являются компонентами вектора а - компоненты момента этого вектора относительно начала координат. Легко проверить, что числа удовлетворяют соотношению

Таким  образом, каждой прямой соответствуют шесть определяемых с точностью до постоянного множителя чисел |i, удовлетворяющих соотношению (1), и обратно, числа g. (не все равные нулю), связанные условием (1), определяют единственным образом нек-рую прямую (как её координаты в указанном выше смысле).

Одно однородное линейное уравнение

определяет линейный комплекс - совокупность прямых, заполняющих пространство так, что через каждую точку пространства проходит пучок прямых, лежащих в одной плоскости. Таким образом, каждой точке ("полюсу") пространства можно поставить в соответствие плоскость ("полярную плоскость"), содержащую все прямые комплекса, проходящую через эту точку. Это соответствие называют нулевой системой; оно аналогично соответствию полюсов и полярных плоскостей поверхности 2-го порядка. Если полярные плоскости всех точек пространства проходят через одну прямую (о с ь), то комплекс состоит из всех прямых, пересекающих ось; его называют специальным линейным комплексом. В этом случае коэффициенты уравнения (2) удовлетворяют условию

Система  двух однородных линейных уравнений вида (2) определяет линейную конгруэнцию - совокупность прямых, пересекающих две данные прямые (к-рые могут быть и мнимыми). Три однородных линейных уравнения определяют линейчатую поверхность, являющуюся в этом случае либо однополост- ным гиперболоидом, либо гиперболич. параболоидом.

Линейные однородные координаты прямой были введены Ю. Плюккером в 1846. Он же подробно изучил теорию линейного комплекса. В дальнейшем Л. г. разрабатывалась в работах Ф.Клейна и рус. математика А. П. Котельнико- ва. Дифференциальная геометрия конгруэнции, начатая Э. Куммером в 1860, получила большое развитие в трудах итал. математиков Л. Бианки, Г. Сан- ниа и франц. математика А. Рибокура. На основе созданного в 1895 Котельни- ковым "винтового" исчисления сов. математиком Д. Н. Зейлигером развита теория линейчатых поверхностей и конгруэнции. Проективная теория конгруэнции построена в 1927 сов. математиком С. П. Финиковым.

Лит.: Зейлигер Д. Н., Комплексная линейчатая геометрия. Поверхности и конгруэнции, Л.- М., 1934; Фиников С. П., Теория поверхностей, М.- Л., 1934; его ж е, Проективно-дифференциальная геометрия, М.- Л., 1937; его же, Теория конгруэнции, М.- Л., 1950; Каган В. Ф., Основы теории поверхностей в тензорном изложении, ч. 1 - 2, М. - Л., 1947 - 48; Клейн ф., Высшая геометрия, пер. с нем., М.- Л., 1939; Zindler K.,Lini- engeometrie, Bd 1 - 2, Lpr., 1902-06. Э. Г. Лозняк.

ЛИНЕЙЧАТАЯ ПОВЕРХНОСТЬ, совокупность прямых, зависящая от одного параметра; Л. п. можно описать движением прямой (образующей) по нек-рой линии (направляю- щ е и). Л. п. разделяются на развёртывающиеся и косые.

Развёртывающиеся Л. п. могут быть посредством изгибания наложены на плоскость. Любая развёртывающаяся поверхность является либо цилиндром, либо конусом, либо поверхностью, состоящей из касательных к нек-рой пространственной кривой (L) (рис. 1). Эту кривую называют ребром возврата развёртывающейся поверхности. Плоскость Р, пересекающая ребро возврата (L), образует в сечении с поверхностью кривую ЛВС с точкой возврата В (см. Особые точки). Ребро возврата является особой линией развёртывающейся поверхности, вдоль к-рой две её полости Si и S₂ касаются друг друга. Развёртывающиеся поверхности характеризуются также тем, что касательная плоскость к ним в различных точках одной и той же образующей неизменна. Отсюда следует, что совокупность всех касательных плоскостей развёртывающейся Л. п. представляет собой однопа- раметрич. семейство. Иначе говоря, развёртывающаяся Л. п. является огибающей однопараметрич. семейства плоскостей.

У косой Л. п. касательные плоскости в различных точках одной и той же образующей различны. При перемещении точки касания вдоль образующей касательная плоскость вращается вокруг образующей. Полный поворот касательной плоскости, когда точка касания проходит всю образующую, равен 180°. На каждой образующей имеется такая точка, что для каждой из двух частей, на к-рые она делит образующую, полный поворот касательной плоскости равен 90°. Эту точку (на рис. 2-точка О) называют центром образующей. Тангенс угла между касательными плоскостями к поверхности в центре О и к.-л. другой точке О' той же образующей пропорционален расстоянию ОО'. Множитель пропорциональности наз. параметром распределения Л. п. Абсолютная величина полной кривизны Л. п. достигает на данной образующей наибольшего значения в центре образующей и убывает при удалении от центра по образующей. Геометрич. место центров образующих носит назв. линии с ж а- т и я, или стрикционной линии. Напр., у геликоида - Л. п., описываемой равномерным винтовым движением прямой вокруг нек-рой оси (к-рую движущаяся прямая пересекает под прямым углом), - линией сжатия является ось (АВ на рис. 2). Л. п. 2-го порядка - гиперболический параболоид, однопс- лостный гиперболоид - имеют две различные системы прямолинейных образующих (из однополостных гиперболоидов сконструирована радиомачта системы В. Г. Шухова, находящаяся в Москве на Шаболовке). Две системы прямолинейных образующих имеют только Л. п. 2-го порядка.

Изгибаемые друг на друга Л. п. можно катить одну по другой так, что в процессе качения они будут иметь общую образующую. На этом основано применение Л. п. в теории механизмов. См. также Линейчатая геометрия.

Лит.: Фиников С. П., Теория поверхвестей, М.- Л., 1934; П о г о р е л о в А. В., Дифференциальная геометрия, 5 изд., М., 1969. Э. Г. Позняк.

ЛИНЕЙЧАТЫЕ СПЕКТРЫ, спектры оптические, состоящие из отдельных спектральных линий', типичны для свободных атомов.

ЛИНЕН (Lynen) Феодор (р.6.4.1911, . Мюнхен), немецкий биохимик. Чл. Герм, академии естествоиспытателей "Лео- тюльдина" (1959) и Нац. АН США (1962). Окончил Мюнхенский ун-т, доктор философии (1937). С 1954 директор Ин-та химии клетки Об-ва им. Макса Планка в Мюнхене. Осн. работы по биохимии обмена веществ, окислению жирных к-т в организме, активированию ацетата. Нобелевская пр. (1964) совм. с К. .Блод'ом за исследование биосинтеза холестерина и жирных кислот.

ЛИНЕТОЛ, препарат из группы анти- холинэстепазных средств, получаемый из льняного масла. Содержит смесь этиловых эфиров ненасыщенных жирных кислот (олеиновой, линолевой, линоле- новой), а также насыщенные кислоты. Применяют внутрь для профилактики и лечения атеросклероза и наружно при ожогах и лучевых поражениях кожи.

ЛИНЗА (нем. Linse, от лат. lens - чечевица), прозрачное тело, ограниченное двумя поверхностями, преломляющими световые лучи; является одним из осн. элементов оптических систем. Наиболее употребительны Л., обе поверхности к-рых обладают общей осью симметрии, а из них - Л. со сферич. поверхностями, изготовление к-рых наиболее просто. Менее распространены Л. с двумя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии; их поверхности цилиндрические или тороидальные. Таковы Л. в очках, предписываемых при астигматизме глаза, Л. для анаморфотных насадок и т. д.

Материалом для Л. чаще всего служит оптич. и органич. стекло. Спец. Л., предназначенные для работы в ультрафиолетовой области спектра, изготовляют из кристаллов кварца, флюорита, фтористого лития и др., в инфракрасной - из особых сортов стекла, кремния, германия, флюорита, фтористого лития, йодистого цезия и др.

Описывая оптич. свойства осесиммет- ричной Л., обычно рассматривают лучи, падающие на неё под малым углом к оси, составляющие т. н. параксиальный пучок лучей. Действие Л. на эти лучи определяется положением её кардинальных точек - т. н. главных точек Н и Н', в которых пересекаются с осью главные плоскости Л., а также переднего и заднего главных фокусов F и F' (рис. 1). Отрезки HF = f и H'F' = = f' наз .фокусными расстояния м и Л. (в случае, когда среды, с к-рыми граничит Л., обладают одинаковыми показателями преломления, f всегда равно - f'); точки О пересечения поверхностей Л. с осью наз. её в е р ш и-- нами, расстояние между вершинами - толщиной Л.

Геометрич. величины, характеризую-, щие отдельные Л. и системы Л., принято считать положительными, если направления соответствующих отрезков совпадают с направлением лучей света На Преломления на поверхностях Л. изменяют направления падающих на неё лучей. Если Л. преобразует параллельный пучок в сходящийся, её наз. собирающей; после прохождения рассеивающей Л. параллельный пучок превращается в расходящийся. В главном фокусе F' собирающей Л. пересекаются лучи, к-рые до преломления были параллельны её оси. Для такой Л. f' всегда положительно. В рассеивающей Л. F' - точка пересечения не самих лучей, а их воображаемых продолжений в сторону, противоположную направлению распространения света. Поэтому для них всегда f'<0. В частном случае тонких Л. внешнее отличие собирающих и рассеивающих Л. заключается в том, что у первых толщина краёв меньше толщины в центре Л., у вторых- наоборот.

Мерой преломляющего действия Л. служит её оптическая сила Ф - величина, обратная фокусному расстоянию (Ф = 1/f') и измеряемая в диоптриях (м-¹). У собирающих Л. Ф>0, поэтому их ещё именуют положительными. Рассеивающие Л. (Ф<0) наз. отрицательными. Употребляют и Л. с Ф = 0 -т. н. афокальные Л. (их фокусное расстояние равно бесконечности). Они не собирают и не рассеивают лучей, но создают аберрации (см. Аберрации оптических систем) и применяются в зеркально-линзовых (а иногда и в линзовых) объективах как компенсаторы аберраций.

Л., ограниченная сферическими поверхностями. Все параметры, определяющие оптич. свойства такой Л., мсгут быть выражены через радиусы кривизны TI и г₂ её поверхностей, толщину Л. по оси d и показатель преломления её материала п. Напр., оптич. сила и фокусное расстояние Л. задаются соотношением

Радиусы TI и Г₂ считаются положительными, если направление от вершины Л. до центра соответствующей поверхности совпадает с направлением лучей (на рис. 1 TI >0, Г₂<0). Следует оговорить, что формула (1) верна лишь применительно к параксиальным лучам. При одной и той же оптич. силе и том же материале форма Л. может быть различной. На рис. 2 показано неск. Л. одинаковой оптич. силы и различной формы. Первые три - положительны, последние три - отрицательны. Л. наз. тонкой, если её толщина d мала по сравнению с ri и Г₂. Достаточно точное выражение для оптич. силы такой Л. получают, отбрасывая второй член в (1).

Положение главных плоскостей Л. относительно её вершин тоже можно определить, зная TI, r₂, n и d. Расстояние между главными плоскостями мало зависит от формы и оптич. силы Л. и приблизительно равно  В случае тонкой Л. это расстояние мало и практически можно считать, что главные плоскости совпадают.

Когда положение кардинальных точек известно, положение изображения оптического точки, даваемого Л. (см. рис. 1), определяется формулами:

где V - линейное увеличение Л. (см. Увеличение оптическое), I ч Г - расстояния от точки и её изображения до оси (положительные, если они расположены выше оси), x - расстояние от переднего фокуса до точки, х' - расстояние от заднего фокуса до изображения. Если tat' - расстояния от главных точек до плоскостей предмета и изображения соответственно, то (т. к. х - t - f, x' = t' -f):

ила

В тонких Л. t и t' можно отсчитывать от соответствующих поверхностей Л.

Из (2) и (3) следует, что по мере приближения изображаемой точки (действительного источника) к фокусу Л. расстояние от изображения до Л.- увеличивается; собирающая Л. даёт действительное изображение точки в тех случаях, когда эта точка расположена перед фокусом; если точка расположена между фокусом и Л., её изображение будет мнимым; рассеивающая Л. всегда даёт мнимое изображение действительной светящейся точки (подробнее см. в ст. Изображение оптическое).

Лит.: Элементарный учебник физики, под ред. Г. С. Ландсберга, 6 изд., т. 3, М., 1970; Тудоровский А.И., Теория оптических приборов, 2 изд., т. 1, М.- Л., 1949. Г- Г. Слюсарев.

ЛИНЗА (геол.), форма залегания горных пород и руд в виде чечевицы с уменьшающейся к краям мощностью. Размеры Л. различны и колеблются от нескольких м длины и нескольких см мощности до 1 км и более длины и нескольких десятков м мощности. См. также Залегание горных пород.

ЛИНЗА акустическая, устройство для изменения сходимости звукового пучка (фокусировки звука). Подобно оптич. линзам, акустич. Л. ограничены двумя рабочими поверхностями и выполняются из материала, скорость звука в к-ром отлична от скорости звука в окружающей среде, с тем, чтобы показатель преломления n отличался от единицы. Для достижения наибольшей прозрачности волновое сопротивление этого материала должно быть близко к волновому сопротивлению среды, а вязкие потери в нём -минимальны. Акустич. Л. могут быть твёрдыми, жидкими и газообразными, в последних двух случаях твёрдая оболочка Л. должна обладать наибольшей прозрачностью. Для работы в жидких средах материалом Л. являются пластмассы (п = 0,5-0,8), хлороформ, четы- рёххлористый углерод (" = 1,3-1,4). Для работы в газах, напр, в воздухе, наряду с линзами, наполненными водородом или углекислым газом, применяются т. н. неоднородные акустич. Л., объём к-рых заполнен шариками, сетками и т. п. Неоднородные рассеивающие воздушные Л. применяются для улучшения характеристик направленности громкоговорителей. Твёрдые и жидкие Л. служат для получения звуковых изображений, для целей дефектоскопии, медицинской диагностики, а также для концентрации ультразвука при различных его технологич. и биологич. применениях.

Лит-: Бергман Л., Ультразвук и его применение в науке и технике, пер. с нем., 2 изд., М., 1957.

ЛИНЗОВАЯ АНТЕННА, антенна, диаграмма направленности к-рой формируется за счёт разности фазовых скоростей распространения электромагнитной волны в воздухе и в материале линзы. Л. а. применяется в радиолокац. и измерит, устройствах, работающих в диапазоне сантиметровых волн. Л. а. состоит из собственно линзы и облучателя. Форма линзы зависит от коэфф. преломления п (отношения фазовых скоростей распространения радиоволн в вакууме и линзе). При п > 1 Л. а. (как и линза в оптике) называется замедляющей) а при n < 1 - ускоряющей (последняя не имеет аналогов в оптике). В качестве облучателя Л. а. обычно используется рупорная антенна, создающая сферич. фронт волны, или антенные решётки, создающие цилиндрич. фронт волны.

Замедляющие Л. а. изготавливаются из высококачеств. однородных диэлектрич. материалов с малыми потерями (полистирол, фторопласт и др.) или из т. н. искусств, диэлектриков. Последние представляют собой систему метал- лич. частиц различной формы, расположенных в воздухе или в однородном диэлектрике с относит, диэлектрич. проницаемостью, близкой к единице. Коэфф. преломления таких искусств, диэлектриков может изменяться в широких пределах при весьма малых потерях. Ускоряющие Л. а. выполняются из ме- таллич. пластин определённой формы и не имеют аналогов в оптике. Их принцип действия объясняется зависимостью фазовой скорости электромагнитной волны, распространяющейся между параллельными металлич. пластинами, от расстояния между ними, если вектор её электрич. поля параллелен пластинам. В этом случае фазовая скорость больше скорости света и коэфф. преломления меньше единицы. Для уменьшения массы и объёма Л. а. применяется зонирование её поверхностей, позволяющее также значительно уменьшить толщину Л. а. Форма и высота профилей отд. участков (зон) линзы выбираются так, чтобы электромагнитные волны, преломлённые соседними зонами линзы, выходили из неё со сдвигом фаз 360 °; в этом случае поле в раскрыве Л. а. остаётся синфазным. В апланатических Л.а. иЛюнеберга линзе возможно управление диаграммой направленности (сканирование) без существ, искажения формы диаграммы направленности. О. Н. Терешин, Г. К. Галимов.

ЛИНЗОВЫЙ ТЕЛЕСКОП, астрономический оптич. инструмент, в к-ром изображение небесных светил строится линзовым объективом; то же, что рефрактор.

ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА, плоские линии, декартовы прямоугольные координаты к-рых удовлетворяют алгеб- раич.  уравнению 2-й степени

Уравнение (*) может и не определять действительного геометрия, образа, но для сохранения общности в таких случаях говорят, что оно определяет м н и- м у ю Л. в. п. В зависимости от значений коэффициентов общего уравнения (*) оно может быть преобразовано с помощью параллельного переноса начала и поворота системы координат на нек-рый угол к одному из 9 приведённых ниже канонических видов, каждому из к-рых соответствует определённый класс линий. Именно, нераспадающиеся линии:

- эллипсы,

- гиперболы,

- параболы,

- мнимые эллипсы;

распадающиеся линии: _ пары пересекающихся  прямых,

- пары мнимых пересекаю щихся прямых,

- пары параллельных прямых,

- пары мнимых параллель ных прямых,

- пары совпадающих парал лельных прямых.

Исследование вида Л. в. п. может быть проведено без приведения общего уравнения к канонич. виду. Это достигается совместным рассмотрением значений т. н. основных инвариантов Л. в. п. - выражений, составленных из коэффициентов уравнения (*), значения к-рых не меняются при параллельном переносе и повороте системы координат:

Так, напр., эллипсы, как нераспадающиеся линии, характеризуются тем, что для них Д=^ 0; положительное значение инварианта 6 выделяет эллипсы среди других типов нераспадающихся линий (для гипербол 8 < О, для парабол S = 0). Различить случаи действительного или мнимого эллипсов позволяет сопоставление знаков инвариантов Д и S: если Д и S разных знаков, эллипс действительный; эллипс мнимый, если Д и S одного знака.

Три основные инварианта Д, 8 и S определяют Л. в. п. (кроме случая параллельных прямых) с точностью до движения евклидовой плоскости: если соответствующие инварианты Д, 8 и S двух линий равны, то такие линии могут быть совмещены движением. Иными словами, эти линии эквивалентны по отношению к группе движений плоскости (метрически эквивалентны).

Существуют -классификации Л. в. п. с точки зрения др. групп преобразований. Так, относительно более общей, чем группа движений,- группы аффинных преобразований - эквивалентными являются любые две линии, определяемые уравнениями одного канонич. вида. Напр., две подобные Л. в. п. (см. Подобие) считаются эквивалентными. Связи между различными аффинными классами Л. в. п. позволяет установить классификация с точки зрения проективной геометрии, в к-рой бесконечно удалённые элементы не играют особой роли. Действительные нераспадающиеся Л. в. п.: эллипсы, гиперболы и параболы образуют один проективный класс - класс действительных овальных линий (овалов). Действительная овальная линия является эллипсом, гиперболой или параболой в зависимости от того, как она расположена относительно бесконечно удалённой прямой: эллипс пересекает несобственную прямую в двух мнимых точках, гипербола - в двух различных действительных точках, парабола касается несобственной прямой; существуют проективные преобразования, переводящие эти линии одна в другую. Имеется всего 5 проективных классов эквивалентности Л. в. п. Именно,

невырождающиеся линии (xi, ягj, хз - однородные координаты):

- действительный овал,

- мнимый овал, вырождающиеся линии:

- пара действительных прямых,

- пара мнимых прямых,

- пара совпадающих действительных прямых.

Кроме аналитического способа определения Л. в. п., то есть заданием уравнения, существуют и др. способы. Напр., эллипс, гипербола и парабола могут быть получены как сечения конуса плоскостью - конические сечения.

Лит.: Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии..., М., 1968; Ефимов Н. В., Краткий курс аналитической геометрии, 5 изд., М., 1960. А. Б. Иванов.

ЛИНИИ РАДИОСВЯЗИ, сочетание передающей и приёмной антенн радиостанций и среды, в к-рой распространяются радиоволны. Л. р. различаются по видам радиосвязи.

ЛИНИИ СВЯЗИ УПЛОТНЕНИЕ, метод построения системы связи, обеспечивающий одновременную и независимую передачу сообщений от многих отправителей к такому же числу получателей. В таких системах многоканальной связи (многоканальной передачи) общая линия связи "уплотняется" десятками - сотнями индивидуальных каналов, по каждому из к-рых происходит обмен информацией единственной пары абонентов (см. рис.).

Схема системы многоканальной передачи сообщений: ИС-/, КС-2,..., ИС-N- источники информации; ai(t), вг(.О, ...,a_N(.t) - сообщения, посылаемые соответствующими (индексам) источниками информации; Mi, Mz, ..., M_N -индивидуальные передатчики (модуляторы); iiW), JaW), ..-, •y.v(O-канальные сигналы, полученные преобразованием соответствующими (индексам) модуляторами сообщений а.(О, aatt), ..., arj(t); СУ - устройство, суммирующее канальные сигналы; s(t) - групповой сигнал, образованный суммированием канальных сигналов; М - групповой передатчик, преобразующий групповой сигнал s(t) в линейный сигнал s_a(t); П - групповой приёмник, преобразующий линейный сигнал s_a (t) в групповой сигнал s(t)\ П[, П₂,..., Ilfj - канальные, или индивидуальные, приёмники, выделяющие из группового сигнала s(t) соответственно (индексам) канальные сигналы fidOi J₂(t), .... fN^t), преобразуемые затем в соответствующие (индексам) сообщения ai(f), a₂(O, ..-, "и-ХО-ПС-/, ПС-2,.,,, ПС-Л7 - получатели сообщений.

Наибольшее применение в системах многоканальной связи находят частотное и временное уплотнения. При частотном уплотнении каждому канальному сигналу отводится определённая область частот в общей полосе пропускания линии связи. На приёмной стороне из общего спектра частот группового сигнала индивидуальными частотными фильтрами (см. Электрический фильтр) выделяются спектры частот канальных сигналов. При временном уплотнении, являющемся логическим развитием импульсных систем связи, линия связи или групповой тракт связи посредством электронных коммутаторов предоставляется поочередно для передачи сигналов каждого канала. На приёмной стороне устанавливается аналогичный коммутатор, к-рый поочерёдно и в той же последовательности (синхронно и синфазно) подключает групповой тракт к приёмникам соответствующих каналов. Все канальные сигналы имеют одинаковую ширину спектра частот, но передаются по линии связи поочерёдно. Системы связи с частотным и временным уплотнениями применяют на магистральных кабельных линиях, радиорелейных линиях и т. д.

Перспективны, особенно при связи между большим числом подвижных объектов (самолётов, автомобилей и т. п.) и при использовании в тракте передачи искусств, спутника Земли, многоканальные асинхронноадресные системы связи со статистич. уплотнением по форме сигналов. В этой системе каждому каналу присваивается определённая или изменяющаяся по заданной программе форма сигнала, к-рая и является отличит, признаком ("адресом") к.-л. абонента. Разделение сигналов различных каналов осуществляется "согласованными" с формой канальных сигналов электрич. фильтрами.

Лит-: Назаров М. В., Кувшинов Б. И., Попов О. В., Теория передачи сигналов, М., 1970; Дальняя связь, под ред. А. М. Зингеренко, М., 1970. М. В. Назаров.

ЛИНИИ ТОКА, 1) векторного поля р, линии, в каждой точке к-рых касательная имеет направление вектора поля в этой точке (см. Векторное поле). Дифференциальные ур-ния Л. т. имеют вид:

где  - координаты вектора поля, - координаты точки Л. т. 2) В гидроаэромеханике, линия, в каждой* точке к-рой касательная к ней совпадает по направлению со скоростью частицы жидкости в данный момент времени. Совокупность Л. т. позволяет наглядно представить в каждый данный момент времени поток жидкости, давая как бы моментальный фотогра- фич. снимок течения. Они могут быть сделаны видимыми с помощью взвешенных частиц, внесённых в поток (напр., алюминиевый порошок в воде, дым в

Канальные передатчики вместе с суммирующим устройством образуют аппаратуру уплотнения; групповой передатчик, линия связи и групповой приёмник составляют групповой тракт передачи; групповой тракт передачи, аппаратура уплотнения и индивидуальные приёмники образуют систему многоканальной связи. Необходимым и достаточным условием разделимости сигналов индивидуальных каналов является условие их линейной независимости. Математически это условие выражается тождеством

к-рое выполняется только в единственном случае, когда все коэфф. С одновременно равны нулю. Физически это означает, что сигнал любого канала не может быть образован линейной комбинацией сигналов всех остальных каналов. При фотографировании таког потока с короткой выдержкой получает ся изображение Л. т. (см. рис.).

ЛИНИЙ ДВИЖЕНИЯ СПОСОБ, один из картографических способов изобра жения. Л. д. с. применяется для изобра жения пути перемещения объектов i явлений (напр., морских течений, пере лётов птиц, маршрутов путешествий перевозок грузов и т. п.), а также дл указания политико-экономич. связей, за висимостей и воздействий (напр., направ лений экспорта и импорта товаров, пла нов военных операций и др.).

ЛИНИМЕНТЫ (лат., ед. ч. linimentum от linio - мажу, натираю), одна из ле карственных форм; жидкие леч. мазь плавящиеся при темп-ре тела. Втираю в кожу или наносят на поражённые места

ЛИНИЦКАЯ (по мужу - Загорская) Любовь Павловна (27.12.1866 слобода Преображенская, ныне Василь ковского р-на Днепропетровской обл.,- 5.2.1924, Киев), украинская советска: актриса. Сценич. деятельность начал, в 1886. Работала в труппах Н. К. Садов ского, в товариществе под рук. И. А Марьяненко и др. Игра Л. отличалас: героич. пафосом и одновременно психо логич. глубиной. Роли: Маруся Богу славка, Свиридиха, ("Маруся Богу слав ка", "Оборона Буши" Старицкого) Татьяна, Варька ("Бондаривна", "Бес таланная" Карпенко-Карого), Наталь. ("Лымеривна" Мирного) и др. Разобла чительной остротой отмечены комедий ные роли - Проня Прокоповна ("За дву мя зайцами" Старицкого) и др.

Лит.: Любов Павл1вна Л^ннцька. Нариси Кшв, 1957.

ЛИНИЯ (от лат. linea), геометрическо< понятие, точное и в то же время доста точно общее определение к-рого пред ставляет значит, трудности и осущест вляется в различных разделах геометри.? различно.

1) В элементарной геометрии рассмат риваются прямые Л., отрезки пря мых, ломаные Л., составленные и; отрезков, и нек-рые кривые Л. Каж дый вид кривых Л. определяется тем или иным специальным способом (напр., окружность определяется как геометрич. место точек, имеющих заданное расстояние R от заданной точки О - центра окружности). Иногда в учебниках дают определение Л. как границы куска поверхности (поверхность определяется при этом как граница тела) или как траектории движущейся точки. Но в рамках элементарной геометрии эти определения не получают отчётливой формулировки.

2) Представление о Л. как траектории движущейся точки может быть сделано вполне строгим при помощи идеи параметрического представления Л. Напр., вводя на плоскости прямоугольные координаты (x, у), можно параметрически задать окружность радиуса R с центром в начале координат уравнениями

Когда параметр  t пробегает отрезок О < t =S 2л, точка (x, у) описывает окружность. Вообще, Л. на плоскости задают параметрическими уравнениями вида

где  - произвольные функции., непрерывные на к.-н. конечном или бесконечном интервале Д числовой оси if. С каждым значением параметра t (из интервала Д) уравнения (*) сопоставляют нек-рую точку М, координаты к-рой определяются этими уравнениями. Л., заданная параметрически уравнениями (*), есть множество точек, соответствующих всевозможным значениям t из Д , при условии, что эти точки рассматриваются в определённом порядке, именно: если точка М\ соответствует значению параметра t_t, а точка М₂ - значению t₂, то Mi считается предшествующей М₂, если ti < ?₂. При этом точки, отвечающие различным значениям параметра, всегда считаются различными.

Аналогично, в трёхмерном пространстве Л. задаётся параметрически тремя уравнениями вида

где -произвольные функции, непрерывные на к.-н. интервале. В произвольном топологическом пространстве Т (к-рое, в частности, может быть плоскостью, поверхностью, обычным трёхмерным пространством, функциональным пространством и т. п.) Л. параметрически задают уравнением вида

где <р - функция действительного переменного г, непрерывная на к.-л. интервале, значения к-рой суть точки пространства Т. Считают, что два параметрических представления задают о д- ну и ту же Л., если они определяют один и тот же порядок следования её точек (в смысле, указанном выше). В анализе и топологии рассматривают обычно случай, когда область изменения параметра t есть отрезок а -^ t < b. В этом случае условие того, чтобы два параметрич. представления

изображали одну и ту же Л., заключается в существовании непрерывной и строго возрастающей функции

для к-рой

Такое понимание термина "Л." наиболее естественно в большинстве вопросов анализа (напр., в теории криволинейных интегралов) и механики. Так как Л. здесь рассматривается вместе с порядком, в к-ром пробегает её точки переменная точка М при возрастании f, то при этом естественно возникает вопрос о числе прохождений переменной точки Л. через к.-л. точку пространства. Кроме простых точек, проходимых один раз, Л. может иметь кратные точки, к-рые проходятся несколько раз (отвечающие различным значениям параметра).

Напр., при изменении t в пределах  точка с координатами

описывает строфоиду (см. табл. 1, рис. 5), попадая в положение х = О, у = 0 два раза при t = - 1 и ? = + 1. 3) Из аналитич. геометрии известен и другой способ задания Л. на плоскости уравнением

в пространстве - двумя уравнениями

Ограничиваясь случаем плоскости, укажем лишь, как строится понятие алгебраической Л. (кривой)- Л., определяемой уравнением

где F(x, у) - целая  алгебраическая функция, т. е. многочлен к.-л. степени п ^ 1. В этом случае считают, что два многочлена Fi(x, у) и F₂(x, у) определяют одну и ту же алгебраич. Л. в том и только в том случае, когда существует такая постоянная с =^ 0, что выполняется тождественно соотношение

Таким ооразом,  все многочлены, определяющие одну и ту же Л., имеют одну и ту же степень n, называемую порядком соответствующей Л. Напр., в аналитич. геометрии принято считать, что уравнение

определяет Л.  второго порядка, а именно, дважды взятую прямую x - у = 0.

В связи с последним примером необходимо заметить, однако, что часто целесообразно ограничиваться рассмотрением неприводимых алгебраич. Л., т. е. таких Л., для к-рых многочлен не допускает представления F = GH, где G и Н - отличные от постоянных многочлены. Далее, в пункте 4, имеется в виду только этот случай.

Говорят, что точка (хо, г/₀) кривой F(x, у) = 0 имеет кратность т, если разложение F(x, у) по степеням

начинается с членов степени т (по совокупности переменных  ). В случае то = 2, т. е. в  случае двойной точки где многоточие означает, что далее следуют члены высших порядков. При помощи дискриминанта можно определить тип двойной точки (см. Особые точки).

4) Часто, особенно при изучении алгебраич. Л., целесообразно стать на точку зрения комплексной проективной геометрии, т. е. рассматривать, наряду с точками евклидовой действительной плоскости (или пространства), точки бесконечно удалённые и мнимые. Только при таком подходе (и надлежащем учёте кратности пересечения) становится верным, напр., утверждение, что две Л. порядков п к т пересекаются в тп точках. В случае т = 1 это приводит к возможности определить порядок Л. как число n точек её пересечения с прямой.

С проективной точки зрения естественно задавать Л. на плоскости однородным уравнением 

между однородными координатами xi, x₂, xs её точек. В силу принципа двойственности с этим заданием равноправно задание Л. уравнением связывающим однородные координаты прямых, касающихся Л. Таким образом, наряду с порядком Л. (степенью уравнения F = 0) естественно возникает понятие класса Л.- степени уравнения Ф = 0. Класс алгебраич. Л. можно также определить как число касательных, к-рые можно провести к Л. из произвольной точки. О параметрич. представлении Л. см. также У пику реальные кривые.

5) Рассмотренные выше (в пунктах 2-4) уточнения и обобщения понятия Л. существенно связаны с соответствующим алгебраич. и аналитич. аппаратом. В отличие от этого, современная топология выдвинула задачу уточнения представления о Л. как о множестве точек, независимо от алгебраич. или аналитич. способов задания этого множества.

Если исходить из параметрич. задания Л. в виде непрерывной функции где t пробегает отрезок а ^ ? s; о, но интересоваться только полученным множеством точек без учёта порядка их следования, то приходят к понятию Л., сформулированному в 80-х гг. 19 в. К. Жорданом (см. Жордана кривая). Оказывается, что таким непрерывным образом отрезка может быть любой локально связный континуум, в частности квадрат, треугольник, куб и т. п. (см. Пеано кривая). Поэтому теперь обычно предпочитают говорить не о Л. в смысле Жордана, а о локально связных, или жор- дановых, континуумах. Взаимно однозначный непрерывный образ отрезка называют простой дугой, или жор- дановой дугой. Взаимно однозначный непрерывный образ окружности называют простой замкнутой Л. Простые дуги и простые замкнутые Л. не исчерпывают, однако, точечных множеств, заслуживающих наименования Л.

Избегая и чрезмерной общности, и чрезмерного сужения понятия Л., в современной топологии пользуются понятием Л., введённым в 1921 П. С. Уры- соном, к-рый определяет Л. (кривую) как произвольный континуум размерности единица. Континуум имеет размерность единица, если при любом Е > 0 он может быть представлен в виде суммы конечного числа замкнутых множеств диаметра, меньшего е, обладающих тем свойством, что никакие три из этих замкнутых множеств не имеют общей точки (см. также Размерность в геометрии). Континуум, лежащий на плоскости, будет Л. в смысле Урысона тогда и только тогда, когда он не содержит внутренних точек. Этим свойством характеризовал ранее (70-е гг. 19 в.) Л., лежащие на плоскости, Г. Кантор. Хотя определение Кантора применимо только к Л., лежащим на плоскости, иногда и общие Л. в смысле Урысона называют "канторовыми кривыми". Л. Н. Колмогоров.

6) Ещё математики древности изучали линии второго порядка (эллипс, гиперболу и параболу). Ими же был рассмотрен ряд отдельных замечательных алгебраич. Л. более высокого порядка, а также нек-рые трансцендентные (неалгебраические) Л. Система- тич. изучение Л. и их классификация стали возможными с созданием аналитической геометрии (Р. Декарт).

Из Л. третьего порядка наиболее известны: Декартов лист (табл. 1, рис. 1). Ур-ние в прямоугольных координатах: x³ + У³ - Заху = 0. Впервые кривая определяется в письме Р. Декарта к П. Ферма в 1638. Полная форма кривой с наличием асимптоты, проходящей через точки (-а, 0) и (0, -а), была определена позднее (1692) X. Гюйгенсом и И. Бер- нулли. Название "декартов лист" установилось в нач. 18 в. Локон Аньези (табл. 1, рис. 2). Пусть имеется круг с диаметром ОС=а и отрезок BDM, построенный так, что Алгебраические кривые третьего порядка: / - декартов лист; 2 - локон Аньези; 3 - кубическая парабола; 4 - полукубическая парабола: 5 - строфоида; 6 - циссоида Диоклеса OB : BD = ОС : ВМ; геометрическое место точек М представляет собой локон Аньези (или верзиеру). Ур-ние в прямоугольных координатах: у = = а³/(а² + x²). Исследование этой Л. связано с именем итал. женщины-математика Марии Аньези (1748). Кубическая парабола (табл. 1, рис. 3). Ур-ние в прямоугольных координатах: у - x³. Полукубическая парабола (табл. 1, рис. 4), парабола Н е и л я. Ур-ние в прямоугольных координатах:  Названа по имени англ, математика У. Нейля (1657), нашедшего длину её дуги.

Строфоида (от греч. strophes - кручёная лента и eidos - вид) (табл. 1, рис. 5). Пусть имеется неподвижная прямая АВ и точка С вне её на расстоянии СО = а; вокруг С вращается прямая, пересекающая АВ в переменной точке N. Если от точки N отложить по обе стороны прямой АВ отрезки NM = NM' = NO, то геометрическое место точек М и М' для всех положений вращающегося луча CN и есть строфоида. Уравнение в прямоугольных координатах:  в полярных координатах:  Впервые строфоиду исследовал Э.Торричелли (1645), название было введено в сер. 19 в. Циссоида Диоклеса (табл. 1, рис. 6) (греч. kissoeides, от kissos - плющ и eidos - вид), геометрическое место точек М, для к-рых ОМ = PQ (Р - произвольная точка производящего круга с диаметром а). Уравнение в прямоугольных координатах: у² - = л;³/(а-х); в полярных координатах: р = a sin²cp/cos(p. Древние греки рассматривали только ту часть циссоиды, к-рая находится внутри производящего круга. Вместе с дугой окружности эта часть образует фигуру, напоминающую лист плюща (откуда название); наличие бесконечных ветвей было установлено в 17 в. франц. математиком Ж. П. Ро- бервалем и независимо от него белы, математиком Р. Ф. Слгозом.

Из Л. четвёртого и более высоких порядков наиболее известны: Кардиоида (от греч. kardi'a - сердце и eidos - вид) (табл. 2, рис. 1), кривая, описываемая к.-л. точкой М окружности радиуса а, катящейся без скольжения по неподвижной окружности того же радиуса. Ур-ние в прямоугольных координатах: (x² + у² - 2ax)² = = 4а (х² + у²); в полярных координатах: р = 2й (1 + cos ф).

Конхоида Ником еда (от греч. konchoeides - похожий на раковину) (табл. 2, рис. 2), кривая, получающаяся при увеличении или уменьшении каждого радиус-вектора точек данной прямой на одну и ту же величину d, т. о., ОМ = ОР - d или ОЛ-Г = ОР+ d. Если расстояние от полюса О до данной прямой равно а, то ур-ние в прямоугольных координатах: (х-а)² (x² + z/²)-d²x² = = 0, в полярных координатах: р = = а/cos ф ± d. Впервые рассматривалась древнегреческим геометром Нико- медом (около 250-150 до нашей эры), который использовал её для решения задач о трисекции угла и удвоении куба.

Лемниската Бернулли (табл. 2, рис. 3)(от naT.lemniscatus, буквально- украшенный лентами), кривая, имеющая форму восьмёрки; геометрическое место точек, произведение расстояний к-рых от фокусов Ft (- а, 0) и F₂ (а, 0) равно в². Ур-ние в прямоугольных координатах: (х² + у²)² - 2а² (x² - г/²) =0, в полярных координатах: р² = 2а² cos 2<p. Впервые рассматривалась Я. Бернулли (1694). Лемниската является частным случаем овалов Кассини и синус-спиралей.

Овалы Декарта (табл. .< рис. 4), геометрические места точек М расстояния к-рых от двух фиксированны точек Fi и F₂, называемых фокусами умноженные на данные числа, имею постоянную сумму с, то есть mMFi H + nMFi = с. Ур-ние в прямоугольны координатах:

где г, Ink - нек-рые постоянные, свя занные с параметрами т, п и d; в полярных  координатах-

Помимо фокусов Fi и F₂, имеется и тре тий фокус Fa, равноправный с каждьп из них. При т = 1, п = 1 овал Декар та превращается в эллипс; при т = 1 i п =-1 -в гиперболу. Частным случа ем овала является также улитка Паска ля. Овалы впервые исследовались Р. Де картом (1637).

Овалы Кассини (табл. 2 рис. 5), геометрические места точек М, про изведение расстояний к-рых от двух дан ных точек постоянно. Пусть Fi и F: точки на оси абсцисс, FiF₂ = 26, а про изведенне MFi-MFi = а². Ур-ние в прямоугольных координатах:

Если  то овал Кассини - выпуклая кривая; если тс кривая имеет вид овала с двумя утолщениями; приа=Ь овал Кассини превращается в лемнискату, наконец, при Ь>а овал Кассини является двусвязной кривой. Впервые рассмотрена Дж. Кассини (17 в.).

Алгебраические кривые четвёртого и более высоких порядков: /- кардиоида; 2 - конхоида Никомеда; 3 - лемниската Бернулли; 4 - овалы Декарта: у - овалы Кассини; 6 - улитка Паскаля; 7 - астроида; 8 - розы; 9 - синус-спираль.

Таблица 2 Улитка Паскаля (табл. 2, рис. 6), геометрическое место точек М и М', расположенных на прямых пучка (центр к-рого О лежит на окружности радиуса R) на расстоянии а по обе стороны от точки Р пересечения прямых с окружностью; т. о., РМ = РМ' = а. Ур-ние в прямоугольных координатах:

в полярных координатах: При а = 2R петля стягивается в точку, в этом случае улитка Паскаля превращается в кардиоиду. Назв. по имени франц. учёного Э. Паскаля (1588-1651), впервые изучавшего её.

Астроида (от греч. astron - звезда и eidos -вид) (табл. 2, рис. 7), кривая, описываемая точкой подвижной окружности, к-рая касается изнутри неподвижной окружности вчетверо большего радиуса и катится по ней без скольжения. Ур-ние в прямоугольных координатах:  где а - радиус неподвижной окружности. Астроида - линия 6-го порядка.

Розы (табл. 2, рис. 8), кривые, полярное ур-ние к-рых: р = а sin тер; если т - рациональное число, то розы - алгебраич. Л. чётного порядка. При т нечётном роза состоит из т лепестков, при т чётном - из 2т лепестков; при т рациональном лепестки частично покрывают друг друга.

Синусоидальные спирали, синус-спирали (табл. 2, рис. 9), кривые, полярное ур-ние к-рых р™ = а"'созгаср; если т - рациональное число, то эти Л.- алгебраические. Частные случаи: т = 1 - окружность, т = - 1 - прямая, т = 2 - лемниската Бернулли, т = - 2 - равнобочная гипербола, т = Чг - кардиоида, т = = - Чг - парабола. При целом т > О Л. состоит из т лепестков, каждый из к-рых лежит внутри угла, равного я/т, при рациональном т > О лепестки могут частично покрывать друг друга; если т < 0, то Л. состоит из т бесконечных ветвей.

Большой интересный класс составляют трансцендентные Л. К ним относятся графики тригонометрических функций (синусоида, тангенсоида), логарифмической функции, показательной функции, гиперболических функций, а также следующие Л.:

Квадратриса (табл. 3, рис. 1). Пусть прямая MN равномерно вращается против часовой стрелки вокруг точки О, а прямая А'В' равномерно движется справа налево, оставаясь параллельной ОС. Далее, пусть за время движения А'В' от АВ до ОС прямая MN поворачивается на прямой угол и переходит из положения ОА = г в положение ОС. Геометрическое место точек Р пересечения прямых MN и А'В' и есть квадрат- риса. Ур-ние в прямоугольных координатах:  в полярных  ординатах: Часть квадрат- рисы, заключённая в квадрате ОАВС, была известна древнегреч. математикам. Открытие квадратрисы приписывается Гиппию Элидскому (5 в. до н. э.), использовавшему её для решения задачи о трисекции угла. Динострат (4 в. до н. э.) с помощью квадратрисы выполнил квадратуру круга.

Трактриса (табл. 3, рис. 2), кривая, для к-рой длина отрезка касательной от точки касания М до точки Р пересечения с данной прямой есть величина постоянная, равная а. Ур-ние в прямоугольных координатах: 

Цепная линия (табл. 3, рис. 3), кривая, форму к-рой принимает гибкая однородная и нерастяжимая тяжёлая нить, концы к-рой закреплены в двух точках. Ур-ние в прямоугольных координатах:

Циклоида (от греч. kykloeides - кругообразный) (табл. 3, рис. 4), кривая, к-рую описывает точка Р, расположенная на расстоянии а от центра круга радиуса г, катящегося без скольжения по прямой линии. Если Р лежит на окружности круга (г = а), получают обыкновенную циклоиду (рис. 4а), если она лежит внутри круга (т> а),- укороченную циклоиду (рис. 46), если точка вне круга (т < а), - удлинённую циклоиду (рис. 4в). Две последние Л. называют трохоид а- м и. Ур-ние в параметрич. форме:

Среди трансцендентных Л. особый класс составляют спирали (от греч. speira, букв.- витое), плоские кривые линии, бесчисленное множество раз обходящие нек-рую точку, с каждым обходом приближаясь к ней или с каждым обходом удаляясь от неё. Если выбрать эту точку за полюс системы координат, то полярное ур-ние спирали  таково, что  или
при всех ф. Из спиралей наиболее известны:

Архимедова спираль (табл. 3, рис. 5), кривая, описываемая точкой, равномерно движущейся по прямой в то время, как эта прямая равномерно вращается в плоскости вокруг точки О. Ур-ние в полярных координатах: р = аф, где а - постоянная. Эта спираль изучалась Архимедом (3 в. до н. э.) в связи с задачами трисекции угла и квадратуры круга.

Гиперболическая спираль (табл. 3, рис. 6), кривая, описываемая точкой М, движущейся по вращающейся прямой ОА, так, что её расстояние от центра вращения меняется обратно пропорционально углу поворота. Уравнение в полярных координатах: 

Жезл (табл. 3, рис. 7), кривая, ур-ние к-рой в полярных координатах:  Каждому значению ф соответствуют два значения р - положительное и отрицательное. Кривая состоит из двух ветвей, каждая из к-рых асимптотически приближается к полюсу.

Логарифмическая спираль (табл. 3, рис. 8), кривая, уравнение которой в полярных координатах:  Была известна многим математикам 17 в.

Спираль Корню (табл. 3, рис. 9), клотоида, кривая, состоящая из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. Ур-ние в параметрич. форме: 

Трансцендентные кривые:/ - квадратриса; 2 - трактриса; 3 - цепная линия; 4 - циклоида; 5 - архимедова спираль; 6 - гиперболическая спираль; 7 - жезл; 8 - логарифмическая спираль; 9 - спираль Корню; 10 - si-ci-спираль.

Таблица 3 Циклоидальные кривые: 1 а, б - гипоциклоиды; 2а, б - эпициклоиды; 3d •- удлинённая гипоциклоида; Зб - укороченная гипоциклоида; 4а - удлинённая эпициклоида; 46 - укороченная эпициклоида.

Использовалась франц. физиком М. А. Корню (1874) для графич. решения нек-рых задач дифракции света.

Si-ci-спираль (табл. 3, рис. 10), кривая, параметрическое ур-ние к-рой имеет вид

si (S) и ci (t) - интегральный синус' и интегральный косинус.

К циклоиде по способу построения примыкает класс циклоидальных кривых, к-рые могут быть как алгебраическими, так и трансцендентными. Среди них: Гипоциклоида (табл. 4, рис. 1а, б), кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без скольжения по другой окружности внутри её. Ур-ние в параметрич. форме:

где А - радиус неподвижной, а а - подвижной окружности. Вид кривой зависит от отношения А/а.

Эпициклоида (табл. 4, рис. 2 а,б), кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без скольжения по другой окружности вне её. Ур-ние получится из ур-ния гипоциклоиды заменой а на -а.

Удлинённая гипоциклоида (эпициклоида), кривая, описываемая точкой, лежащей вне окружности, к-рая катится без скольжения по другой окружности внутри (вне) её (табл. 4, рис. За, 4а). Аналогично определяется укороченная гипоциклоида (эпициклоида) (табл. 4, рис 36, 46). Удлинённые и укороченные гипоциклоиды и эпициклоиды иногда паз. гипо- и эпитрохоидами. В.И.Битюцков, Ю.А.Горькое, А.Б.Иванов.

Лит.: Маркушевич А. И., Замечательные кривые, 2 изд., М.- Л., 1952; С а в е л о в А. А., Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (Справочное руководство), М., 1960; Пархоменко А.С., Что такое линия, М., 1954; П о г о- р е л о в А. В., Дифференциальная геометрия, 5 изд., М., 1969; У о к е р А., Алгебраические кривые, пер. с англ., М., 1952; L о- r i a G., Spezielle algebraische und transzen- dente ebene Kurven. Theorie und Geschichte, 2 Auf!., Bd 1-2, Lpz.- В., 1910-11.

ЛИНИЯ в генетике, размножающиеся половым путём родственные организмы, к-рые происходят, как правило, от одного предка или одной пары общих предков и воспроизводят в ряду поколений одни и те же наследственно устойчивые признаки. Характерные для Л. признаки искусственно поддерживаются путём отбора и близкородственного скрещивания. Различают чистые линии - генотипи- чески однородное потомство самоопыляющихся растений, у к-рых почти все гены находятся в гомози- готном состоянии, и и н- бредные Л. - потомство перекрёстноопыляющегося растения, полученное путём принудит, самоопыления, или группа животных, полученная при близкородственном разведении (см. Инбридинг). Чем теснее родство родителей, тем выше степень гомозиготности потомства. И в чистых, и в инбредных Л. постоянно возникающие мутации нарушают гомозиготность. Поэтому для сохранения гомозиготности по генам, определяющим осн. свойства Л., необходимо вести отбор. В животноводстве различают генеалогическую Л., т. е. группу животных, происходящую от общего предка, и заводскую Л.- однородную, качественно своеобразную, поддерживаемую отбором и подбором с использованием инбридинга группу высокопродуктивных животных, происходящую от выдающегося родоначальника и схожую с ним по конституции и продуктивности (см. Разведение по линиям). Чистые и инбредные Л. служат основой для получения высокопродуктивных гибридов в растениеводстве и животноводстве. В медико-биол. исследованиях важную роль играют Л. лабораторных животных, сохраняющие константность по определённым признакам.

Лит.: И о г а н с е н В. Л., О наследовании в популяциях и чистых линиях, пер. с нем., М.- Л., 1935; Медведев Н. Н., Практическая генетика, М., 1966. Ю. С. Демин, Е. Я. Борисенко-

ЛИНИЯ АПСИД в астрономии, отрезок прямой, соединяющий апсиды, т. е. две точки эллиптич. орбиты небесного тела: наиболее близкую к центральному телу и наиболее удалённую от него. Эти точки лежат на концах большой оси эллипса, к-рая, следовательно, и есть Л. а. В орбитах планет Солнечной системы Л. а. ограничены перигелием и афелием, в орбитах Луны и искусств, спутников Земли - перигеем и апогеем, в орбитах двойных звёзд - периастром и апоастром.

ЛИНИЯ ЗАДЕРЖКИ, устройство, предназначенное для задержки сигналов на нек-рый заданный промежуток времени. Время задержки т определяется длиной пути в Л. з. электромагнитной или звуковой волны, делённой на скорость её распространения (кроме искусств, линий с сосредоточенными постоянными). Л. з. применяют в устройствах цветного телевидения, осциллографич. устройствах со ждущей развёрткой, радиолокац. станциях с селекцией подвижных целей, в устройствах оптимальной фильтрации сложных радиолокац. сигналов, в кодирующих, декодирующих и селекторных устройствах, в запоминающих устройствах и в устройствах управления ЭВМ и т. д. Л. з. изготавливаются с т от долей до десятков тысяч мксек. Они имеют один или несколько выходов с различными т (многоотводные Л. з.), и т может быть постоянным либо зависеть от частоты сигнала (дисперсионные Л. з.). Разработаны также Л. з. с регулировкой т (переменные Л. з.), с подстраиваемым т (магнитоупругие Л. з.), с малым температурным коэффициентом г (термостабильные Л. з.), с внутренним усилением сигнала (активные Л. з. с фонон- фотонным или фонон-магнонным взаимодействием; см. Квазичастицы).

Для получения малых т (доли мксек) используются электрич. линии с распре- дел. параметрами - проводные линии, полосковые линии, коаксиальные кабели (особенно с внешним спиральным проводником), радиоволноводы и др. При большой длине линии (неск. десятков метров) затухание и дисперсия волн в ней, связанные с электрич. потерями, искажают форму передаваемого сигнала. Полоса пропускания таких Л. з. не превышает 10 Мгц. Большее х (порядка 0,1 - 20 мксек) получается в электрич. искусственной линии с сосредоточ. постоянными, представляющей собой цепочку звеньев, состоящих из катушек индуктивности и конденсаторов. В такой линии х зависит от числа звеньев, схемы соединения катушек индуктивности и конденсаторов в отд. звене, значений индуктивности и ёмкости.

Для получения т порядка 10 мксек - 10 мсек применяют ультразвуковые Л. з. (УЛЗ). В них подводимые электрич. сигналы вначале преобразуются в ультразвуковые с помощью пьезоэлектрич. или магнитнострикционного преобразования (см. Электроакустические преобразователи) и через спец. согласующие слои (из индия, эпоксидных смол, клеёв и др.) передаются в звукрпровод. Зву- копроводы могут быть объёмные (в виде многогранников), волноводные (из ленты или проволоки, обычно свёрнутой в спираль) и многоотводные (бруски из пьезо- активных материалов с нанесёнными на них электродами). В звукопроводе сигналы распространяются со скоростью приблизительно в 10⁵ раз меньшей скорости распространения электрических сигналов и с помощью выходного преобразователя, аналогичного входному, преобразуются в электрические. В качестве звукопроводов применяются спец. сталь, магниево-алюминиевые сплавы, монокристаллы хлористого натрия и калия, бромистого калия и др., плавленый кварц и т. д. Для получения больших т: в малых объёмах звукопровод часто изготавливают в виде многогранника (объёмный звукопровод), в к-ром длина пути ультразвуковых волн значительно увеличивается из-за многократного внутреннего отражения волн от стенок.

Наиболее распространены разнообразные электрич. Л. з. с сосредоточ. параметрами, отд. типы волноводных УЛЗ и УЛЗ с объёмными звукопроводами, особенно с т = 64 мксек для цветных телевизоров.

Наилучшие параметры имеют УЛЗ с объёмными звукопроводами из монокристаллов или плавленого кварца (t порядка 1-5 мсек, рабочие частоты 20- 60 Мгц, полоса пропускания 5-15 Мгц, затухание сигнала порядка 40-70 дб, уровень ложных сигналов 35-40 дб).

Лит..* Э в е л е т Д ж., Обзор ультразвуковых линий задержки, работающих на частотах ниже 100 Мгц, "Труды Института инженеров по электротехнике и радиоэлектронике", 1965, т. 53, № 10; М э з о н У., Ультразвуковые линии задержки с многократными отражениями, в кн.; Физическая акустика, т. 1, ч. А, М., 1966; Мэй Д., Волноводные ультразвуковые линии задержки, там же. Е. И. Каменский, В. М. Родионов.

ЛИНИЯ ПЕРЕМЕНЫ ДАТЫ, условная линия, проведённая на поверхности земного шара для разграничения мест, имеющих при одинаковом показании часов календарные даты, разнящиеся на один день. Л. п. д. проведена в большей части по меридиану 180° долготы так, что она нигде не проходит по суше (см. карту при ст. Поясное время). К В. от неё календарное число на 1 день меньше, чем к 3. Л. п. д. служит для правильного счёта дней месяца при путешествиях. Путешественник, движущийся на В., проходит пункты, где часы, идущие по местному (или поясному) времени, имеют всё большее показание по сравнению с местным (поясным) временем точки отправления. Постепенно переводя стрелки своих часов вперёд, к концу кругосветного путешествия путешественник насчитывает лишние сутки. При кругосветном путешествии с В. на 3.- наоборот, теряет одни сутки. Во избежание этой ошибки на корабле или самолёте, пересекающем Л. п. д., двигаясь с 3. на В., в счёте календарных дат возвращаются на 1 сут назад; напр., подойдя к Л. п. д. в 10 ч 2 мая, после её пересечения считают 10 ч 1 мая. При движении с В. на 3. к календарной дате прибавляют 1 сут, так что, подойдя к Л. п. д. с В. в 10 ч 2 мая, после её пересечения считают 10 ч 3 мая.

ЛИНИЯ ПОЛОЖЕНИЯ в навигации и геодезии, линия, во всех точках к-рой та или иная величина, измеренная по наблюдениям для определения положения наблюдателя на земной поверхности, имеет то же значение, что и в точке наблюдений. Такими величинами могут быть: расстояние между опорной и определяемой точками (Л. п.- окружность); высота небесного светила в нек-рый момент времени (Л. п.- также окружность); азимут направления с опорной точки на определяемую (Л. п. - ортодромия) или направления с определяемой точки на опорную (Л. п.- сфе- рич. кривая 4-го порядка). Пересечение двух (или более) Л. п., проложенных на карте, позволяет определить местоположение наблюдателя. См. также Позиционная линия.

ЛИНИЯ СВЯЗИ, совокупность технич. устройств и физич. среды, обеспечивающая распространение сигналов от передатчика к приёмнику. Л. с. является составной частью канала связи (канала передачи). Иногда в состав канала связи включается неск. Л. с. (на различных участках протяжённого канала связи используются кабельные, радиорелейные и др. Л. с.). Чаще одна и та же Л. с. применяется для передачи сигналов, принадлежащих неск. каналам связи (см. Линии связи уплотнение). В зависимости от характера сигналов, используемых для передачи сообщений, различают элект- рич., звуковые (акустич.) и оптич. Л. с. На ранних этапах развития электрич. связи физич. средой служила пара проводов, соединявшая передатчик и приёмник (проводная связь). Позже, с появлением систем беспроволочной связи (радиосвязи), Л. с. стали определять как совокупность передающей, приёмной антенн и среды, в к-рой происходит распространение радиоволн. Осн. характеристика таких Л. с.- диапазон рабочих частот, обеспечивающих передачу сигналов с допустимым ослаблением. По Л. с. с применением стальных проводов можно передавать сигналы с частотами до 25- 30 кгц, по возд. Л. с. с применением проводов из цветных металлов - до 140- 150 кгц, по симметричному кабелю - до 500-550 кгц, по коаксиальному кабелю - до 12-15 Мгц; магистральные коротковолновые Л. с. работают в диапазоне частот 3-30 Мгц, волноводные - на частотах неск. сотен Мгц и десятков Ггц и т. д.

Применение оптич. и акустич. Л. с. ограничено гл. обр. сильным поглощением оптич. и акустич. волн средой, в к-рой они распространяются (см. Звукоподводная связь и Оптическая связь).

Лит.: Куликов В. В., Современные системы беспроводной дальней связи, М., 1968; Калашников Н. И., Системы связи через искусственные спутники Земли, М., 1969; Назаров М. В., Кувшинов Б. И., Попов О. В., Теория передачи сигналов, М., 1970; Дальняя связь, под ред. А. М. Зингеренко, М., 1970. М. В. Назаров.

ЛИНИЯ УЗЛОВ в астрономии, прямая, по к-рой плоскость орбиты небесного тела пересекает осн. плоскость, проведённую через центральное тело. В качестве осн. плоскости выбирают при изучении движения планет, комет и др. тел Солнечной системы плоскость эклиптики; при изучении движения Луны и искусств, спутников Земли - обычно плоскость экватора Земли и т. п. Точки пересечения Л. у. с небесной сферой, центр к-рой расположен в центральном теле, наз. узлами орбиты.

ЛИНИЯ ЭЛЕКТРОПЕРЕДАЧИ (ЛЭП), сооружение, состоящее из проводов и вспомогат. устройств, предназначенное для передачи или распределения электрич. энергии. ЛЭП, являясь осн. звеном энергосистемы, вместе с электрич. подстанциями образует электрические сети.

Одна из первых опытных ЛЭП (постоянного тока) напряжением 1,5-2 кв Мисбах-Мюнхен (протяжённостью 57 км ) была сооружена в 1882 франц. учёным М. Депре. В 1891 впервые в мире была осуществлена электропередача трёхфазным переменным током на 170 км по ЛЭП Лауфен - Франкфурт, спроектированной и построенной М. О. Доливо-Доб- роволъским. ЛЭП работала при напряжении 15 кв, передаваемая мощность 230 ква, кпд ок. 75%. Первые кабельные линии (подземные, радиус действия - 1 км, напряжение - 2 кв) в России появились в кон. 70-х гг. 19 в.; электроэнергия, поступавшая в кабельную сеть, использовалась гл. обр. для освещения частных домов. В начале 20 в. в связи с электрификацией пром-сти и общим повышением уровня потребления электроэнергии появились кабельные линии напряжением 6,6, 20 и 35 кв; в 1922 была пущена первая линия на НОкв (Каширская ГРЭС - Москва). Быстрое развитие и совершенствование ЛЭП обусловлены созданием развитых электрич. сетей и объединением их в электроэнергетич. системы. Различают воздушные ЛЭП, провода к-рых подвешены над землёй или над водой, и подземные (подводные) ЛЭП, в к-рых используются гл. обр. силовые кабели.

По воздушным ЛЭП электрич. энергия передаётся на значит, расстояния по проводам, прикреплённым к опорам (столбам) с помощью изоляторов. Воздушные ЛЭП являются одним из осн. звеньев совр. энергосистем. Напряжение в линии зависит от её протяжённости и передаваемой по ней мощности. Для воздушных ЛЭП применяют неизолированные провода (однопроволочные, многопроволочные и полые) из меди, алюминия, сталеалюми- ния, реже стальные (гл. обр. при электрификации сел. местностей). Важнейшие характеристики воздушных ЛЭП: / - длина пролёта линии (расстояние между соседними опорами); f - наибольшая стрела провеса провода в пролёте; h - наименьшее (габаритное) допустимое расстояние от низшей точки провода до земли; \ - длина гирлянды изоляторов; а - расстояние между соседними проводами (фазами) линии; Н - полная высота опоры. Конструктивные параметры воздушной ЛЭП зависят от номинального напряжения линии, от рельефа и клима- тич. условий местности, а также от тех- нико-экономич. требований.

Допустимое расстояние от низшей точки'.провода до земли составляет в ненаселённой местности 5-7 м, а в населённой 6-8 м.

На воздушных ЛЭП применяют различные по конструкции опоры (см. Опоры линий электропередачи). Провода воздушных ЛЭП должны обладать хорошей проводимостью, механич. прочностью, стойкостью против атм. и химич. воздействий (см. Провод для воздушных линий электропередачи). Для защиты воздушных ЛЭП от атм. перенапряжений, возникающих при грозовых разрядах в линию или вблизи неё, применяют грозоза- щитные тросы или разрядники, к-рые устанавливают на ЛЭП с напряжением до 35 кв (см. Защита электрической сети).

Для воздушных ЛЭП (переменного тока) в СССР принята след, шкала напряжений: 35, 110, 150, 220, 330, 400, 500 и 750 кв. Напряжение 35 кв широко используется для создания центров питания электрич. сетей (6 и 10 кв); общая протяжённость ЛЭП на 35 кв к 1972 составляла 189 тыс. км. Распределит, сети большинства энергосистем имеют напряжение 110 кв; протяжённость ЛЭП 110 кв - 197 тыс. км. Напряжение 150 кв используется в распределит, сетях энергосистемы Днепроэнерго и примыкающих к ней районов соседних энергосистем - Киевской, Харьковской и Одесской, а также частично в Кольской энергосистеме; общая протяжённость ЛЭП 150 кв - 6,2 тыс. км. ЛЭП протяжённостью порядка 100 км сооружают на напряжение 220-330 кв; их общая длина ок. 70 тыс. км. Напряжение 400 кв в 1972 использовалось только в Объединённой энергосистеме (ОЭС) Юга для связи с энергосистемами стран - членов СЭВ. ЛЭП с напряжением 500 кв сооружают гл. обр. для передачи электроэнергии на большие расстояния (св. 100 км); общая протяжённость ЛЭП 400-500 кв - ок. 15 тыс. км. В 1972 на напряжении 750 кв действовала только одна опытная ЛЭП Конаковская ГРЭС - Москва; первая пром. передача 750 кв сооружается в ОЭС Юга. Развитие сетей с напряжением 750 кв приведёт к превращению сети 330 кв в распределительную. Примером крупнейшей ЛЭП может служить ЛЭП 500 кв Волжская ГЭС им. 22-го съезда КПСС - Москва общей протяжённостью 2060 км (в одно- цепном исчислении). За рубежом одна из крупнейших ЛЭП - электропередача 500 кв (переменного тока) между энергосистемами Северо-Запада и Юго-Запада Тихоокеанского побережья США общей протяжённостью 1070 км (в одноцепном исчислении); ЛЭП 765 кв действует в США в энергосистеме American Electric Power (AEP), а в Канаде эксплуатируется ЛЭП на 735 кв ГЭС Маникуаган- Квебек - Монреаль.

Основные конструктивные характеристики воздушных ЛЭП в СССР
 

	Параметр линии	Напряжение линии, кв
		до 1	35-110	220-500	750
	Пролёт 1, м	40-50	150-200	400-450	400-450
	Высота опор Н, м	8-9	13-14	25-30	30-35
	Расстояние а, м	0,5	3-4	7-12	15-17

Подземная ЛЭП состоит из одного или неск. кабелей, стопорных, соединит, и концевых муфт (заделок) и крепёжных деталей, а ЛЭП, содержащая маслонапол- ненный или газонаполненный кабель, снабжается также подпитывающей системой и сигнализацией давления масла (газа). Подземные ЛЭП широко применяются при прокладке электрич. сетей на территории городов и пром. предприятий. Но их стоимость в 2-3 раза выше стоимости воздушных ЛЭП. Кабели прокладываются в земле, в траншеях на глубине 0,8-1,0 м, в кабельных каналах, блоках или тоннелях. Наиболее экономична подземная прокладка кабелей - до 6 кабелей в одной траншее при расстоянии между кабелями 0,2-0,3 м. В одном тоннеле допускается прокладка не менее 20 кабелей.

В СССР стандартизированные номинальные напряжения и сечения токопро- водящих жил и проводов кабельных и воздушных ЛЭП совпадают (кроме номиналов 150 и 750 кв). Распределит, кабельные линии выполняются на напряжения 1, 3, 6, 10 и 20 кв; питающие кабельные линии выполняют на 35 кв и выше. Иногда кабельные сети 35 и 110 кв называют распределительными в связи с их большой разветвлённостью.

Кабельные линии используются, как правило, при создании сетей электроснабжения городов, крупных пром. предприятий и ряда др. объектов. В СССР для сетей городского электроснабжения наиболее распространены системы напряжений 110/35/6/0,4 кв и 110/35/10/0,4 кв, 110/10/ 0,4 кв, реже 110/6/0,4 кв.

В 60-х гг. 20 в. для передачи электроэнергии на расстояния всё большее значение стали приобретать воздушные и подводные ЛЭП постоянного тока. В СССР работает воздушная ЛЭП постоянного тока при напряжении ± 400 кв. Ведутся (1973) исследования по созданию ЛЭП переменного тока 1150-1200 кв и постоянного тока ±750 кв (см. Высоких напряжений техника). Проводятся поисковые работы в области создания новых видов ЛЭП: криогенных, криорезистор- ных, работающих в атмосфере элегаза, полуразомкнутых, разомкнутых, высокочастотных ЛЭП, линий, у к-рых в качестве проводникового материала используется натрий, и др.

Лит.: Правила устройства электроустановок, 3 изд., М.- Л., 1964; Электрические системы, под ред. В. А. Веникова, т. 2- 3, М., 1970-71; Крюков К. П., Новгородцев Б. П., Конструкции и механический расчёт линий электропередачи, Л., 1970; Электрификация СССР, под общ. ред. П. С. Непорожнего, М., 1970; Б е- лоруссов Н. И., Электрические кабели и провода, М., 1971. Ю. Н. Астахов.

ЛИНКОЛЬН (Lincoln) Авраам (12.2. 1809, Ходженвилл, шт. Кентукки,-15.4. 1865, Вашингтон), гос. деятель США. Род. в трудовой семье фермера, потомка первых амер. поселенцев. С юношеских лет работал подёнщиком на окрестных фермах, был плотогоном, лесорубом, землемером, почтовым служащим. Одновременно занимался самообразованием. В 1836 сдал экзамен и стал адвокатом. Честность и неподкупность, острый ум и блестящие ораторские способности привели к быстрому росту его авторитета. В 1834-41 Л.- чл. законодат. собрания шт. Иллинойс, в 1847-49 чл. палаты представителей конгресса США. Во время захватнической войны США против Мексики 1846-48 внёс в конгресе США резолюцию, направленную на прекращение этой войны. В 1854- один из организаторов Респ. партии. Деятельность Л. отражала интересы прогрессивных кругов буржуазии Сев. штатов и мел- кобурж. элементов страны. Он выступал за расширение гражд. и политич. прав нар. масс, был сторонником предоставления избират. прав женщинам.

Являясь решительным противником рабства и сторонником освобождения рабов, выступая против попыток распространения рабовладельч. системы на всю терр. США, Л., однако, полагал, что вопрос о рабовладении входит в компетенцию отд. штатов и федеральное пр-во не вправе заниматься его рассмотрением. В 1860 Л.был избран президентом США. Несмотря на умеренную программу Л. в вопросе о рабстве, его избрание стало сигналом к отделению Юж. рабовладельческих штатов от Союза и к началу Гражданской войны в США 1861-65.

На первом этапе войны Л. считал, что её цель - разгром мятежников-рабовладельцев и восстановление единства страны. К. Маркс и Ф. Энгельс критиковали Л. за медлительность и непоследовательность в вопросе об уничтожении рабства, отражавшие колебания буржуазии, указывали на необходимость вести войну по-революционному. В хо; войны под давлением широких нар. ма< и радикальных республиканцев, предст; влявших наиболее революц. часть буржу; зии, Л. изменил свою позицию и провё ряд мероприятий по переходу к револкм методам ведения войны. В мае 1862 бы принят закон о гомстедах (см. Гомстес акт). 1 янв. 1863 стала законом проклг мация Л. об освобождении негров-рабо! Прокламация ознаменовала завершени эволюции политич. взглядов Л. От не литики ограничения рабства той терри торией, на к-рой оно было распространи но, он перешёл к новому курсу - н, уничтожение рабства. В 1864 Л. был пере избран президентом США на 2-й срок Переход пр-ва Л. к ведению войны по революционному привёл к воен. разгро му рабовладельцев и уничтожению раб ства на всей терр. США. 14 апр. 1865 Л был смертельно ранен актёром Дж. Бут сом, агентом рабовладельцев и их союз никое в Сев. штатах. Убийство Л. н< было только актом мести со стороны реакции. Оно было рассчитано на то, чтобы лишить противников рабства их выдающегося руководителя в период, когда после окончания гражд. войны началась т. н. Реконструкция Юга, отмеченная новым резким обострением борьбы за права негров. Л. является нац. героем амер. народа, носителем революц. традиций, к-рые используются всеми передовыми людьми США в борьбе против реакции, за интересы нар. масс.

Соч.; Complete works, ed. by J. Nicolay and J. Hay, v. 1-12, N. Y-, 1905.

Лит.: Иванов Р. Ф., А. Линкольн и гражданская война в США, М., 1964; П е т~ ров Д. Б., А. Линкольн - великий гражданин Америки,. М., 1960; Сэндберг К., Линкольн, пер. с англ., М., 1961; Nicolay J. a n d Hay J., A. Lincoln. A history, v. 1-10, [N. Y.L 1917. P. Ф. Иванов.