Системы многих частиц. Тождественные частицы. Квантовомеханич. ур-ние движения для системы N частиц получается соответствующим обобщением ур-ния Шрёдингера для одной частицы. Оно содержит потенциальную энергию, зависящую от координат всех N частиц, и включает как воздействие на них внешнего поля, так и взаимодействие частиц между собой. Волновая функция также является функцией от координат всех частиц. Её можно рассматривать как волну в ЗN-мерном пространстве; следовательно, наглядная аналогия с распространением волн в обычном пространстве утрачивается. Но это теперь несущественно, поскольку известен смысл волновой функции как амплитуды вероятности .

Если квантовомеханич. системы состоят из одинаковых частиц, то в них наблюдается специфическое явление, не имеющее аналогии в классич. механике. В классич. механике случай одинаковых частиц тоже имеет нек-рую особенность. Пусть, напр., столкнулись две одинаковые "классич." частицы (первая двигалась слева, а вторая - справа) и после столкновения разлетелись в разные стороны (напр., первая - вверх, вторая - вниз). Для результата столкновения не имеет значения, какая из частиц пошла, напр., вверх, поскольку частицы одинаковы,- практически надо учесть обе возможности (рис. 7,я и 7,6). Однако в принципе в классич. механике можно различить эти два процесса, т. к. можно проследить за траекториями частиц во время столкновения. В К. м. траекторий, в строгом смысле этого слова, нет, и область столкновения обе частицы проходят с нек-рой неопределённостью, с "размытыми траекториями" (рис. 7,в).

Рис. 7.

В процессе столкновения области размытия перекрываются и невозможно даже в принципе различить эти два случая рассеяния. Следовательно, одинаковые частицы становятся полностью неразличимыми - тождественными. Не имеет смысла говорить о двух разных случаях рассеяния, есть только один случай - одна частица пошла вверх, другая - вниз, индивидуальности у частиц нет.

Этот квантовомеханич. принцип неразличимости одинаковых частиц можно сформулировать математически на языке волновых функций. Обнаружение частицы в данном месте пространства определяется квадратом модуля волновой функции, зависящей от координат обеих частиц, |(1,2)|², где 1 и 2 означают совокупность координат (включая и спин) соответственно первой и второй частицы. Тождественность частиц требует, чтобы при перемене местами частиц 1 и 2 вероятности были одинаковыми, т. е.

|(1,2)|²=|(2,1)|². (23)

Отсюда следует, что может быть два случая:

(1,2) = (2,1), (24,а) (1,2)=-(2,1). (24,6)

Если при перемене частиц местами волновая функция не меняет знака, то она наз. симметричной [случай (24,а)], а если меняет,- антисимметричной [случай (24,6)]. T. к. все взаимодействия одинаковых частиц симметричны относительно переменных 1, 2, то свойства симметрии или антисимметрии волновой функции сохраняются во времени.

В системе из произвольного числа тождеств, частиц должна иметь место симметрия или антисимметрия относительно перестановки любой пары частиц. Поэтому свойство симметрии или антисимметрии является характерным признаком данного сорта частиц. Соответственно, все частицы делятся на два класса: частицы с симметричными волновыми функциями наз. бозонами, с антисимметричными - фермио-нами. Существует связь между значением спина частиц и симметрией их волновых функций: частицы с целым спином являются бозонами, с полуцелым - фермионами (т.н. связь спина и статистики; см. ниже). Это правило сначала было установлено эмпирически, а затем доказано В. Паули теоретически (оно является одной из основных теорем релятивистской К. м.). В частности, электроны, протоны и нейтроны являются фермионами, а фотоны, пи-мезоны, К-мезоны - бозонами. Сложные частицы, состоящие из фермионов, являются фермионами, если состоят из нечётного числа частиц, и бозонами, если состоят из чётного числа частиц; этими свойствами обладают, напр., атомные ядра.

Свойства симметрии волновой функции существенно определяют статистич. свойства системы. Пусть, напр., невзаимодействующие тождеств, частицы находятся в одинаковых внешних условиях (напр., во внешнем поле). Состояние такой системы можно определить, задав числа заполнения - числа частиц, находящихся в каждом данном (индивидуальном) состоянии, т. е. имеющих одинаковые наборы квантовых чисел. Но если тождеств, частицы имеют одинаковые квантовые числа, то их волновая функция симметрична относительно перестановки частиц. Отсюда следует, что два одинаковых фермиона, входящих в одну систему, не могут находиться в одинаковых состояниях, т. к. для фермионов волновая функция должна быть антисимметричной. Это свойство наз. принципом запрета Паули. T. о., числа заполнения для фермионов могут принимать лишь значения О или 1. T. к. электроны являются фермионами, то принцип Паули существенно влияет на поведение электронов в атомах, в металлах и т. д. Для бозонов (имеющих симметричную волновую функцию) числа заполнения могут принимать произвольные целые значения. Поэтому с учётом квантовомеханич. свойств тождеств, частиц существует два типа статистик частиц: Ферми - Дирака статистика для фермионов и Базе-Эйнштейна статистика для бозонов. Примером системы, состоящей из фермионов (ферми-системы), является электронный газ в металле, примером бозе-системы - газ фотонов (т. е. равновесное электромагнитное излучение), жидкий ⁴He и др.

Принцип Паули является определяющим для понимания структуры перио-дич. системы элементов Менделеева. В сложном атоме на каждом уровне энергии может находиться число электронов, равное кратности вырождения этого уровня (числу разных состояний с одинаковой энергией). Кратность вырождения зависит от орбитального квантового числа и от спина электрона; она равна (21 + 1) (2s + 1) = 2(2/ + 1). Так возникает представление об электронных оболочках атома, отвечающих периодам в таблице элементов Менделеева (см. Атом).

Обменное взаимодействие. Молекула. Молекула представляет собой систему ядер и электронов, между к-рыми действуют электрич. (кулоновские) силы (притяжения и отталкивания). Т.к. ядра значительно тяжелее электронов, электроны движутся гораздо быстрее и образуют нек-рое распределение отрицат. заряда, в поле к-рого находятся ядра. В классич. механике и электростатике доказывается, что такого типа система не имеет устойчивого равновесия. Поэтому, даже если принять устойчивость атомов (к-рую, как говорилось выше, нельзя объяснить на основе законов классич. физики), невозможно без специфически квантовомеханич. закономерностей объяснить устойчивость молекул. Особенно непонятным с точки зрения классич. представлений является существование молекул из одинаковых атомов, т. е. с т. н. кова-лентной химич. связью (напр., простейшей молекулы - H₂). Оказалось, что свойство антисимметрии электронной волновой функции так изменяет характер взаимодействия электронов, находящихся у разных ядер, что возникновение такой связи становится возможным.

Рассмотрим для примера молекулу водорода H₂, состоящую из двух протонов и двух электронов. Волновая функция такой системы представляет собой произведение двух функций, одна из к-рых зависит только от координат, а другая- только от спиновых переменных обоих электронов. Если суммарный спин двух электронов равен нулю (спины антипараллельны), спиновая функция антисимметрична относительно перестановки спиновых переменных электронов. Следовательно, для того чтобы полная волновая функция в соответствии с принципом Паули была антисимметричной, координатная функция должна быть симметричной относительно перестановки координат обоих электронов. Это означает, что координатная часть волновой функции имеет вид:

~ [_a(1)_b(2) + _b(1)_a(2)], (25)

где _a(i), _b(i) - волновые функции i-гo электрона (i = 1,2) соответственно у ядра а и b.

Кулоновское взаимодействие пропорционально плотности электрического заряда р=е||²=е*. При учёте свойств симметрии координатной волновой функции (25), помимо плотности обычного вида

e|_a(1)|²|_b(2)|², е|_b(1)|²|_a(2)Р,

соответствующих движению отдельных электронов у разных ядер, появляется плотность вида

e_a*(1)_b(1)_b*(2)_a(2), e_b*(1)_a(1)a*(2)_b(2)

Она наз. обменной плотностью, потому что возникает как бы за счёт обмена электронами между двумя атомами. Именно эта обменная плотность, приводящая к увеличению плотности отрицат. заряда между двумя положительно заряженными ядрами, и обеспечивает устойчивость молекулы в случае кова-лентной химической связи.

Очевидно, что при суммарном спине двух электронов, равном 1, координатная часть волновой функции антисимметрична, т. е. в (25) перед вторым слагаемым стоит знак минус, и обменная плотность имеет отрицательный знак; это означает, что обменная плотность будет уменьшать плотность отрицат. электрич. заряда между ядрами, т. е. приводить как бы к дополнит, отталкиванию ядер.

T. о., симметрия волновой функции приводит к "дополнительному" обменному взаимодействию. Характерна зависимость обменного взаимодействия от спинов электронов. Непосредственно спины не участвуют во взаимодействии - источником взаимодействия являются электрич. силы, зависящие только от расстояния между зарядами. Но в зависимости от ориентации спинов волновая функция, антисимметричная относительно полной перестановки двух электронов (вместе с их спинами), может быть симметричной или антисимметричной относительно перестановки только положения электронов (их координат). А от типа симметрии координатной части волновой функции зависит знак обменной плотности и, соответственно, эффективное притяжение или отталкивание частиц в результате обменного взаимодействия. Так, не участвуя непосредственно динамически во взаимодействии, спины электронов благодаря квантовомеханической специфике свойств тождественных частиц фактически определяют химическую связь.

Обменное взаимодействие играет существ, роль во MH. явлениях. Оно объясняет, напр., ферромагнетизм: благодаря обменному взаимодействию спиновые, а следовательно, и магнитные моменты атомов ферромагнетика выстраиваются параллельно друг другу. Огромное число явлений в конденсированных телах (жидкости, твёрдом теле) тесно связано со статистикой образующих их частиц и с обменным взаимодействием. Условие антисимметрии волновой функции для фермионов приводит к тому, что фермио-ны при большой плотности как бы эффективно отталкиваются друг от друга (даже если между ними не действуют никакие силы). В то же время между бозонами, к-рые описываются симметричными волновыми функциями, возникают как бы силы притяжения: чем больше бозонов находится в к.-л. состоянии, тем больше вероятность перехода др. бозонов системы в это состояние (подобного рода эффекты лежат, напр., в основе явлений сверхтекучести и сверхпроводимости, принципа работы квантовых генераторов и квантовых усилителей).
 

Математическая схема квантовой механики. Нерелятивистская К. м. может быть построена на основе немногих формальных принципов. Математич. аппарат К. м. обладает логич. безупречностью и изяществом. Чёткие правила устанавливают соотношение между элементами математич. схемы и физич. величинами.

Первым основным понятием К. м. является квантовое состояние. Выбор математич. аппарата К. м. диктуется физическим принципом суперпозиции квантовых состояний, вытекающим из волновых свойств частиц. Согласно этому принципу, суперпозиция любых возможных состояний системы, взятых с произвольными (комплексными) коэффициентами, является также возможным состоянием системы. Объекты, для к-рых определены понятия сложения и умножения на комплексное число, наз. векторами. T. о., принцип суперпозиции требует, чтобы состояние системы описывалось нек-рым вектором - вектором состояния (с к-рым тесно связано понятие амплитуды вероятности, или волновой функции), являющимся элементом линейного -"пространства состояний". Это позволяет использовать математич. аппарат, развитый для линейных (векторных) пространств. Вектор состояния обозначается по П. Дираку |>.

Кроме сложения и умножения на комплексное число, вектор |> может подвергаться ещё двум операциям. Во-первых, его можно проектировать на др. вектор, т. е. составить скалярное произведение |> с любым др. вектором состояния |'>; оно обозначается как <'|> и является комплексным числом, причём

<'|>=<I'>*. (26) Скалярное произведение вектора |> с самим собой, <|>, - положит, число; оно определяет длину (норму) вектора. Длину вектора состояния удобно выбрать равной единице; его общий фазовый множитель произволен. Различные состояния отличаются друг от друга направлением вектора состояния в пространстве состояний.

Во-вторых, можно рассмотреть операцию перехода от вектора |> к др. вектору |'> (или произвести преобразование |>->|'>· Символически эту операцию можно записать как результат действия на вектор |> нек-рого линейного оператора L:

При этом вектор |'> может отличаться от |> "длиной" и "направлением". Линейные операторы, в силу принципа суперпозиции состояний, имеют в К. м. особое значение; в результате воздействия линейного оператора на суперпозицию произвольных векторов |₁> и |₂> получается суперпозиция преобразованных векторов:

Важную роль для оператора L играют такие векторы |> = |>, для к-рых |'> совпадает по направлению с I), . е.

Векторы |> наз. собственными векторами оператора L, а числа  - его собственными значениями. Собств. векторы |_х> принято обозначать просто |>, т. е. |> = = |>. Собств. значения  образуют либо дискретный ряд чисел (тогда говорят, что оператор L имеет дискретный спектр), либо непрерывный набор (непрерывный спектр), либо частично дискретный, частично непрерывный.

Очень важный для К. м. класс операторов составляют линейные эрмитовы операторы. Собств. значения  эрмито-вого оператора L вещественны. Собств. векторы эрмитового оператора, принадлежащие различным собств. значениям, ортогональны друг к другу, т.е. <|'> = 0. (30) Из них можно построить ортогональный базис ("декартовы оси координат") в пространстве состояний. Удобно нормировать эти базисные векторы на 1, <|> = 1. Произвольный вектор |> можно разложить по этому базису:

При этом:

что эквивалентно теореме Пифагора; если |> нормирован на 1, то

Принципиальное значение для построения математич. аппарата К. м. имеет тот факт, что для каждой физич. величины существуют нек-рые выделенные состояния системы, в которых эта величина принимает вполне определённое (единственное) значение. По существу это свойство является определением измеримой (физической) величины, а состояния, в к-рых физич. величина имеет определённое значение, наз. собственными состояниями этой величины.

Согласно принципу суперпозиции, любое состояние системы может быть представлено в виде суперпозиции собств. состояний к.-л. физич. величины. Возможность такого представления математически аналогична возможности разложения произвольного вектора по собств. векторам линейного эрмитового оператора. В соответствии с этим в К. м. каждой физ. величине, или наблюдаемой, L (координате, импульсу, моменту количества движения, энергии и т. д.) ставится в соответствие линейный эрмитов оператор L. Собств. значение  оператора L интерпретируются как возможные значения физич. величины L проявляющиеся при измерениях. Если вектор состояния |> - собств. вектор оператора L, то физич. величина L имеет определённое значение. В противном случае L принимает различные значения  с вероятностью |с_х|², где с_х - коэфф. разложения |> по |>:

Коэфф. c_x= <|> разложения |> в базисе |> наз. также волновой функцией в -представлении. В частности, волновая функция (x) представляет собой коэфф. разложения |> по собственным векторам оператора координаты

Среднее значение L наблюдаемой L в данном состоянии определяется коэффициентами Cx, согласно общему соотношению между вероятностью и средним значением

Значение L можно найти непосредственно через оператор L и вектор состояния |> (без определения коэффициентов сх) по формуле:

Вид линейных эрмитовых операторов, соответствующих таким физич. величинам, как импульс, момент количества движения, энергия, постулируется на основе общих принципов определения этих величин и соответствия принципа, требующего, чтобы в пределе h->0 рассматриваемые физич. величины принимали "классические" значения. Вместе с тем в К. м. вводятся нек-рые линейные эрмитовы операторы (напр.,отвечающие преобразованию векторов состояния при отражении осей координат, перестановке одинаковых частиц и т. д.), к-рым соответствуют измеримые физич. величины, не имеющие классич. аналогов (напр., чётность).

С операторами можно производить алгебраич. действия сложения и умножения. Но, в отличие от обыкновенных чисел (к-рые в К. м. наз. с-числа-ми), операторы являются такими "числами" (q-числами), для к-рых операция умножения некоммутативна. Если L и M - два оператора, то в общем случае их действие на произвольный вектор |> в различном порядке даёт разные векторы: LM|><>ML|>, т. е. LM <> ML. Величина LM - ML обозначается как [L, M] и наз. коммутатором. Только если два оператора переставимы (коммутируют), т. е. [L, M] = О, у них могут быть общие собств. векторы и, следовательно, наблюдаемые L и M могут одновременно иметь определённые (точные) значения  и . В остальных случаях эти величины не имеют одновременно определённых значений, и тогда они связаны соотношением неопределённостей. Можно показать, что, если [L, M] = с, то LМ>|с|/2, где L, и М - среднеквадратичные отклонения от средних для соответствующих величин.

Возможна такая математич. формулировка, в к-рой формальный переход от классич. механики к К. м. осуществляется заменой с-чисел соответствующими -числами. Сохраняются и ур-ния движения, но теперь это ур-ния для операторов. Из этой формальной аналогии между К. м. и классич. механикой можно найти основные коммутационные (перестановочные) соотношения. Так, для координаты и импульса [х,р] =ih. Отсюда следует соотношение неопределённостей Гейзенберга px>>h/2. Из перестановочных соотношений можно получить, в частности, явный вид оператора импульса, в координатном (х-) представлении. Тогда волновая функция есть (x), а оператор импульса - дифференциальный оператор

Можно показать, что спектр его собств. значений непрерывен, а амплитуда вероятности <х|р> есть де-бройлевская волна (|р> - собств. вектор оператора импульса р). Если задана энергия системы как функция координат и импульсов частиц, Н(р, х), то знание коммутатора [х, р] достаточно для нахождения [H, р], [H, х], а также уровней энергии как собств. значений оператора полной энергии H.

На основании определения момента количества движения М_z = хр_y - ур_x, ... можно получить, что [M_x, М_y] = ihM_z. Эти коммутац. соотношения справедливы и при учёте спинов частиц; их оказывается достаточно для определения собств. значения квадрата полного момента: M²= h²j(j+1), где квантовое число j-целое или полуцелое число, и его проекции М_г = тh, т = -j, -j+1,..., +j·

Ур-ния движения квантовомеханич. системы могут быть записаны в двух формах: в виде ур-ния для вектора состояния

- шрёдингеровская форма ур-ния движения, и в виде ур-ния для операторов (q-чисел)

- гейзенберговская форма ур-ний движения, наиболее близкая классич. механике. Из гейзенберговской формы ур-ний движения, в частности, следует, что ср. значения физич. величин изменяются по законам классич. механики; это положение наз. теоремой Эрен-ф е с т а.

Для логич. структуры К. м. характерно присутствие двух совершенно разнородных по своей природе составляющих. Вектор состояния (волновая функция) однозначно определён в любой момент времени, если задан в начальный момент. В этой части теория вполне детермини-стична. Но вектор состояния не есть наблюдаемая величина. О наблюдаемых на основе знания |ф> можно сделать лишь статистические (вероятностные) предсказания. Результаты индивидуального измерения над квантовым объектом в общем случае, строго говоря, непредсказуемы. Предпринимались попытки восстановить идею полного детерминизма в классич. смысле введением предположения о неполноте квантовомеханич. описания. Напр., высказывалась гипотеза о наличии у квантовых объектов дополнит, степеней свободы-"скрытых параметров", учёт к-рых сделал бы поведение системы полностью детерминированным в смысле классич. механики; неопределённость возникает только вследствие того, что эти "скрытые параметры" неизвестны и не учитываются. Однако Дж. Нейман доказал теорему о невозможности нестатистич. интерпретации К. м. при сохранении её основного положения о соответствии между наблюдаемыми (физич. величинами) и операторами.

Лит.: Классич. труды - Г е и з е н 6 е р г В., Физические принципы квантовой теории, Л.- M., 1932; Дирак П., Принципы квантовой механики, пер. с англ., M., 1960; Паули В., Общие принципы волновой механики, пер. с нем., М.- Л., 1947; Нейман И., Математические основы квантовой механики, пер. с нем., M., 1964. Учебники-Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц E. M., Квантовая механика, 2 изд., M., 1963 (Теоретическая физика, т. 3); Б л о х и Н-4 е в Д. И., Основы квантовой механики, 4 изд., M., 1963; Давыдов А. С., Квантовая механика, M., 1963; Соколов А. А., Лоскутов Ю. M., Тернов И. M., Квантовая механика, M., 1962; Б о м Д., Квантовая теория, пер. с англ., M., 1961; Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс M., Фейнмановские лекции по физике, пер. с англ., в. 8 и 9, M., 1966 -67; Шифф Л., Квантовая механика, пер. с англ,, 2 изд., M., 1959; Ферми Э., Квантовая механика, пер. с англ., M., 1965. Популярные книги - Б о р н M., Атомная физика, пер. с англ., 3 изд., M., 1970; Пайерлс P. E., Законы природы, пер. с англ., 2 изд., M., 1962. В. Б. Берестецкий.
 

КВАНТОВАЯ РАДИОФИЗИКА, то же, что и квантовая электроника.

КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА, раздел статистич. физики, исследующий системы MH. частиц, подчиняющихся законам квантовой механики. См. Статистическая физика.

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ. Содержание:

I. Частицы и поля в классической квантовой теории
II. Квантовая электродинамика
III. Метод возмущений в квантовой теории поля
IV. Трудности и проблемы квантовой теории поля
V. Некоторые новые методы в квантовой теории поля

Квантовая теория поля - квантовая теория систем с бесконечным числом степеней свободы (полей физических). К. т. п., возникшая как обобщение квантовой механики в связи с проблемой описания процессов порождения, поглощения и взаимных превращений элементарных частиц, нашла затем широкое применение в теории твёрдого тела, ядра атомного и др. и является теперь осн. теоретич. методом исследования квантовых систем.

I. Частицы и поля в классической и квантовой теории

1. Двойственность классической теории.
В классич. теории, формирование к-рой в основном завершилось к нач. 20 в., физич. картина мира складывается из двух элементов - частиц и полей. Частицы - маленькие комочки материи, движущиеся по законам классич. механики Ньютона. Каждая из них имеет 3 степени свободы: её положение задаётся тремя координатами, напр, х, у, z; если зависимость координат от времени известна, то это даёт исчерпывающую информацию о движении частицы. Описание полей значительно сложнее. Задать, напр., электрич. поле - значит задать его напряжённость E во всех точках пространства. T. о., для описания поля необходимо знать не 3 (как для материальной точки), а бесконечно большое число величин в каждый из моментов времени; иначе говоря, поле имеет бесконечное число степеней свободы. Естественно, что и законы динамики электромагнитного поля, установление к-рых обязано в основном исследованиям M. Фарадея и Дж. Максвелла, оказываются сложнее законов механики.

Указанное различие между полями и частицами является главным, хотя и не единственным: частицы дискретны, а поля непрерывны; электромагнитное поле (электромагнитные волны) может порождаться и поглощаться, в то время как материальным точкам классич. механики возникновение и исчезновение чуждо; наконец, электромагнитные волны могут, накладываясь, усиливать или ослаблять и даже полностью "гасить" друг друга (интерференция волн), чего, разумеется, не происходит при наложении потоков частиц. Хотя частицы и волны переплетены между собой сложной сетью взаимодействий, каждый из этих объектов выступает как носитель принципиально различных индивидуальных черт. Картине мира в классич. теории присущи отчётливые черты двойственности. Открытие квантовых явлений поставило на место этой картины другую, к-рую можно назвать двуединой.
 

2. Кванты электромагнитного поля. В 1900 M. Планк для объяснения закономерностей теплового излучения тел впервые ввёл в физику понятие о порции, или кванте, излучения. Энергия E такого кванта пропорциональна частоте  излучаемой электромагнитной волны, E = hv, где коэфф. пропорциональности hz=6,62·10-²⁷эрг/сек (позднее он был назван постоянной Планка). А. Эйнштейн обобщил эту идею Планка о дискретности излучения, предположив, что такая дискретность не связана с каким-то особым механизмом взаимодействия излучения с веществом, а внутренне присуща самому электромагнитному излучению. Электромагнитное излучение "состоит" из таких квантов - фотонов. Эти представления получили экспериментальное подтверждение - на их основе были объяснены закономерности фотоэффекта и Комптона эффекта.

T. о., электромагнитному излучению присущи черты дискретности, к-рые прежде приписывались лишь частицам. Подобно частице (корпускуле), фотон обладает определённой энергией, импульсом, спином и всегда существует как единое целое. Однако наряду с корпускулярными фотон обладает и волновыми свойствами, проявляющимися, напр., в явлениях дифракции света и интерференции света. Поэтому его можно было бы назвать " волно-частицей ".
 

3. Корпускулярно-волновой дуализм.

Двуединое, корпускулярно-волновое представление о кванте электромагнитного поля - фотоне - было распространено Л. де Бройлем на все виды материи. И электроны, и протоны, и любые др. частицы, согласно гипотезе де Брой-ля, обладают не только корпускулярными, но и волновыми свойствами. Это количественно проявляется в соотношениях де Бройля, связывающих такие "корпускулярные" величины, как энергия E и импульс p частицы, с величинами, характерными для волнового описания,- длиной волны  и частотой :

где n - единичный вектор, указывающий направление распространения волны (см. Волны де Бройля).

Корпускулярно-волновой дуализм (подтверждённый экспериментально) потребовал пересмотра законов движения и самих способов описания движущихся объектов. Возникла квантовая механика (или волновая механика). Важнейшей чертой этой теории является идея вероятностного описания движения микрообъектов. Величиной,описывающей состояние системы в квантовой механике (напр., электрона, движущегося в заданном поле), является амплитуда вероятности, или волновая функция (x, у, z, t). Квадрат модуля волновой функции, |(х, у, z, t)|², определяет вероятность обнаружить частицу в момент ? в точке с координатами, х, у, z. И энергия, и импульс, и все др. "корпускулярные" величины могут быть однозначно определены, если известна (, у, z, t). При таком вероятностном описании можно говорить и о "точечности" частиц. Это находит своё отражение в т. н. локальности взаимодействия, означающей, что взаимодействие, напр., электрона с нек-рым полем определяется лишь значениями этого поля и волновой функции электрона, взятыми в одной и той же точке пространства и в один и тот же момент времени. В классич. электродинамике локальность означает, что точечный заряд испытывает воздействие поля в той точке, в к-рой он находится, и не реагирует на поле во всех остальных точках.

Являясь носителем информации о корпускулярных свойствах частицы, амплитуда вероятности (x, у, z, t) в то же время отражает и её волновые свойства. Ур-ние, определяющее (x, у, z, t), - Шрёдингера уравнение - является уравнением волнового типа (отсюда назв.- волновая механика); для (x, у, z, t) имеет место суперпозиции принцип, что и позволяет описывать интерференционные явления.

T. о., отмеченная выше двуединость находит отражение в самом способе кванто-вомеханич. описания, устраняющего резкую границу, разделявшую в классич. теории поля и частицы. Это описание продиктовано Корпускулярно-волновой природой микрообъектов, и его правильность проверена на огромном числе явлений.
 

4. Квантовая теория поля как обобщение квантовой механики. Квантовая механика блестяще разрешила важнейшую из проблем - проблему атома, а также дала ключ к пониманию MH. др. загадок микромира. Но в то же время самое "старое" из полей - электромагнитное поле - описывалось в этой теории классич. Максвелла уравнениями, т. е. рассматривалось по существу как классическое непрерывное поле. Квантовая механика позволяет описывать движение электронов, протонов и др. частиц, но не их порождение или уничтожение, т. е. применима лишь для описания систем с неизменным числом частиц. Наиболее интересная в электродинамике задача об испускании и поглощении электромагнитных волн заряженными частицами, что на квантовом языке соответствует порождению или уничтожению фотонов, по существу оказывается вне рамок её компетенции. При кван-товомеханич. рассмотрении, напр., атома водорода можно получить дискретный набор значений энергии электрона, момента количества движения и др. физич. величин, относящихся к различным состояниям атома, можно найти, какова вероятность обнаружить электрон на определённом расстоянии от ядра, но переходы атома из одного состояния в другое, сопровождающиеся испусканием или поглощением фотонов, описать нельзя (по крайней мере, последовательно). T. о., квантовая механика даёт лишь приближённое описание атома, справедливое в той мере, в какой можно пренебречь эффектами излучения.

Порождаться и исчезать могут не только фотоны. Одно из самых поразительных и, как выяснилось, общих свойств микромира - универсальная взаимная превращаемость частиц. Либо "самопроизвольно" (на первый взгляд), либо в процессе столкновений одни частицы исчезают и на их месте появляются другие. Так, фотон может породить пару электрон-позитрон (см. Аннигиляция и рождение пар); при столкновении протонов и нейтронов могут рождаться пи-мезоны; пи-мезон распадается на мюон и нейтрино и т. д. Для описания такого рода процессов потребовалось дальнейшее развитие квантовой теории. Однако новый круг проблем не исчерпывается описанием взаимных превращений частиц, их порождения и уничтожения. Более общая и глубокая задача заключалась в том, чтобы "проквантовать" поле, т. е. построить квантовую теорию систем с бесконечным числом степеней свободы. Потребность в этом была тем более настоятельной, что, как уже отмечалось, установление корпускулярно-волнового дуализма обнаружило волновые свойства у всех "частиц". Решение указанных проблем и является целью того обобщения квантовой механики, к-рое наз. К. т. п.

Чтобы пояснить переход от квантовой механики к К. т. п., воспользуемся наглядной (хотя далеко не полной) аналогией. Рассмотрим сначала один гармонический осциллятор - материальную точку, колеблющуюся подобно маятнику. Переход от классич. механики к квантовой при описании такого маятника выявляет ряд принципиально новых обстоятельств: допустимые значения энергии оказываются дискретными, исчезает возможность одновременного определения его координаты и импульса и т. д. Однако объектом рассмотрения по-прежнему остаётся один маятник (осциллятор), только величины, к-рые описывали его состояние в классич. теории, заменяются, согласно общим положениям квантовой механики, соответствующими операторами.

Представим, что всё пространство заполнено такого рода осцилляторами. Вместо того чтобы как-то "пронумеровать" эти осцилляторы, можно просто указывать координаты точек, в к-рых каждый из них находится,- так осуществляется переход к полю осцилляторов, число степеней свободы к-рого, очевидно, бесконечно велико.

Описание такого поля можно производить различными методами. Один из них заключается в том, чтобы проследить за каждым из осцилляторов. При этом на первый план выступают величины, наз. локальными, т. е. заданными для каждой из точек пространства (и момента времени), т. к. именно координаты "помечают" выбранный осциллятор. При переходе к квантовому описанию эти локальные классич. величины, описывающие поле, заменяются локальными операторами, Ур-ния, к-рые в классич. теории описывали динамику поля, превращаются в ур-ния для соответствующих операторов. Если осцилляторы не взаимодействуют друг с другом (или с нек-рым др. полем), то для такого поля свободных осцилляторов общая картина, несмотря на бесконечное число степеней свободы, получается относительно простой; при наличии же взаимодействий возникают усложнения.

Др. метод описания поля основан на том, что вся совокупность колебаний осцилляторов может быть представлена как набор волн, распространяющихся в рассматриваемом поле. В случае невзаимодействующих осцилляторов волны также оказываются независимыми; каждая из них является носителем энергии, импульса, может обладать определённой поляризацией. При переходе от классич. рассмотрения к квантовому, когда движение каждого осциллятора описывается вероятностными квантовыми законами, волны также приобретают вероятностный смысл. Но с каждой такой волной (согласно корпускулярно-волновому дуализму) можно сопоставить частицу, обладающую той же, что и волна, энергией и импульсом (а следовательно, и массой) и имеющую спин (классич. аналогом к-рого является момент количества движения циркулярно поляризованной волны). Эту "частицу", конечно, нельзя отождествить ни с одним из осцилляторов поля, взятым в отдельности,- она представляет собой результат процесса, захватывающего бесконечно большое число осцилляторов, и описывает некое возбуждение поля. Если осцилляторы не независимы (есть взаимодействия), то это отражается и на "волнах возбуждения" или на соответствующих им "частицах возбуждения"- они также перестают быть независимыми, могут рассеиваться друг на друге, порождаться и исчезать. Изучение поля, т. о., можно свести к рассмотрению квантованных волн (или "частиц") возбуждений. Более того, никаких др. "частиц", кроме "частиц возбуждения", при данном методе описания не возникает, т. к. каждая частица-осциллятор отдельно в нарисованную общую картину квантованного осцилля-торного поля не входит.

Рассмотренная "осцилляторная модель" поля имеет в основном иллюстративное значение (хотя, напр., она довольно полно объясняет, почему в физике твёрдого тела методы К. т. п. являются эффективным инструментом теоретич. исследования). Однако она не только отражает общие важные черты теории, но и позволяет понять возможность различных подходов к проблеме квантового описания полей.

Первый из описанных выше методов ближе к т. н. гейзенберговской картине (или представлению Гейзенберга) квантового поля. Второй - к "представлению взаимодействия", к-рое обладает преимуществом большей наглядности и поэтому, как правило, будет использоваться в дальнейшем изложении. При этом, конечно, будут рассматриваться различные физич. поля, не имеющие механич. природы, а не поле механич. осцилляторов. Так, рассматривая электромагнитное поле, было бы неправильным искать за электромагнитными волнами какие-то механич. колебания: в каждой точке пространства колеблются (т. е. изменяются во времени) напряжённости электрич. E и магнитного H полей. В гейзенберговской картине описания электромагнитного поля объектами тео-ретич. исследования являются операторы E (х) и H (х) (и др. операторы, к-рые через них выражаются), появляющиеся на месте классич. величин. Во втором из рассмотренных методов на первый план выступает задача описания возбуждений электромагнитного поля. Если энергия "частицы возбуждения" равна E, а импульс р, то длина волны  и частота  соответствующей ей волны определяются формулами (1). Носитель этой порции энергии и импульса - квант свободного электромагнитного поля, или фотон. Т.о., рассмотрение свободного электромагнитного поля сводится к рассмотрению фотонов.

Исторически квантовая теория электромагнитного поля начала развиваться первой и достигла известной завершённости; поэтому квантовой теории электромагнитных процессов - квантовой электродинамике - отводится в статье основное место. Однако, кроме электромагнитного поля, существуют и др. типы физич. полей: мезонные поля различных типов, поля нейтрино и антинейтрино, нуклонные, гиперонные и т. д. Если физич. поле является свободным (т. е. не испытывающим никаких взаимодействий, в т. ч. и самовоздействия), то его можно рассматривать как совокупность невзаимодействующих квантов этого поля, к-рые часто просто называют частицами данного поля. При наличии взаимодействий (напр., между физич. полями различных типов ) независимость квантов утрачивается, а когда взаимодействия начинают играть доминирующую роль в динамике полей, утрачивается и плодотворность самого введения квантов этих полей (по крайней мере, для тех этапов процессов в этих полях, для к-рых нельзя пренебречь взаимодействием). Квантовая теория таких полей недостаточно разработана и в дальнейшем почти не обсуждается.

5. Квантовая теория поля и релятивистская теория. Описание частиц высоких энергий должно проводиться в рамках релятивистской теории, т. е. в рамках специальной теории относительности Эйнштейна (см. Относительности теория). Эта теория, в частности, устанавливает важное соотношение между энергией E, импульсом  и массой т частицы:

(с - универсальная постоянная, равная скорости света в пустоте, с =3·10¹⁰ см/сек). Из (2) видно, что энергия частицы не может быть меньше тс². Энергия, конечно, не возникает чиз ничего". Поэтому минимальная энергия, необходимая для образования частицы данной массы m (она наз. массой покоя), равна mc².

Если рассматривается система, состоящая из медленных частиц, то их энергия может оказаться недостаточной для образования новых частиц. В такой "нерелятивистской" системе число частиц может оставаться неизменным. Это и обеспечивает возможность применения для её описания квантовой механики.

Всё изложенное выше относится к порождению частиц, имеющих отличную от нуля массу покоя. Но у фотона, напр., масса покоя равна нулю, так что для его образования совсем не требуется больших, релятивистских, энергий. Однако и здесь невозможно обойтись без релятивистской теории, что ясно хотя бы из того, что нерелятивистская теория применима лишь при скоростях, много меньших скорости света с, а фотон всегда движется со скоростью с.

Кроме необходимости рассматривать релятивистскую область энергий, есть ещё одна причина важности теории относительности для К. т. п.: в физике элементарных частиц, изучение к-рых является одной из осн. (и ещё не решённых) задач К. т. п., теория относительности играет фундаментальную роль. Это делает развитие релятивистской К. т. п. особенно важным.

Однако и нерелятивистская К. т. п. представляет значит, интерес хотя бы потому, что она успешно используется в физике твёрдого тела.
 

II. Квантовая электродинамика

1. Квантованное свободное поле.Вакуумное состояние поля, или физический вакуум. Рассмотрим электромагнитное поле, или - в терминах квантовой теории - поле фотонов. Такое поле имеет запас энергии и может отдавать её порциями. Уменьшение энергии поля на hv означает исчезновение одного фотона частоты , или переход поля в состояние с уменьшившимся на единицу числом фотонов. В результате последовательности таких переходов в конечном итоге образуется состояние, в к-ром число фотонов равно нулю, и дальнейшая отдача энергии полем становится невозможной. Однако, с точки зрения К. т. п., электромагнитное поле не перестаёт при этом существовать, оно лишь находится в состоянии с наименьшей возможной энергией. Поскольку в таком состоянии фотонов нет, его естественно назвать вакуумным состоянием электромагнитного поля , или фотонным вакуумом. Следовательно, вакуум электромагнитного поля - низшее энергетич. состояние этого поля.

Представление о вакууме как об одном из состояний поля, столь необычное с точки зрения классич. понятий, является физически обоснованным. Электромагнитное поле в вакуумном состоянии не может быть поставщиком энергии, но из этого не следует, что вакуум вообще никак не может проявить себя. Физич. вакуум - не "пустое место", а состояние с важными свойствами, к-рые проявляются в реальных физич. процессах (см. ниже).

Аналогично, и для др. частиц можно ввести представление о вакууме как о низшем энергетическом состоянии полей этих част и ц. При рассмотрении взаимодействующих полей вакуумным наз. низшее энергетич. состояние всей системы этих полей.

Если полю, находящемуся в вакуумном состоянии, сообщить достаточную энергию, то происходит возбуждение поля, т.е. рождение частицы - кванта этого поля. T. о., появляется возможность описать порождение частиц как переход из "ненаблюдаемого" вакуумного состояния в состояние реальное. Такой подход позволяет перенести в К. т. п. хорошо разработанные методы квантовой механики - свести изменение числа частиц данного поля к квантовым переходам этих частиц из одних состояний в другие.

Взаимные превращения частиц, порождение одних и уничтожение других, можно количественно описывать при помощи т. н. метода вторичного квантования [предложенного в 1927 П. Дираком и получившего дальнейшее развитие в работах В. А. Фока (1932)].
 

2. Вторичное квантование. Переход от классич. механики к квантовой называют просто квантованием, или реже - "первичным квантованием". Как уже говорилось, такое квантование не даёт возможности описывать изменение числа частиц в системе. Осн. чертой метода вторичного квантования является введение операторов, описывающих порождение и уничтожение частиц. Поясним действие этих операторов на простом примере (или модели) теории, в к-рой рассматриваются одинаковые частицы, находящиеся в одном и том же состоянии (напр., все фотоны считаются имеющими одинаковую частоту, направление распространения и поляризацию). T. к. число частиц в данном состоянии может быть произвольным, то этот случай соответствует бозе-частицам, или бозонам, подчиняющимся Базе - Эйнштейна статистике.

В квантовой теории состояние системы частиц описывается волновой функцией или вектором состояния. Введём для описания состояния с N частицами вектор состояния _N; квадрат модуля _N, |_N|², определяющий вероятность обнаружения N частиц, обращается, очевидно, в 1, если N достоверно известно. Это означает, что вектор состояния с любым фиксированным N нормирован на 1. Введём теперь оператор уничтожения частицы а- и оператор рождения частицы a+. По определению, а- переводит состояние с N частицами в состояние с N - 1 частицей, т. е.

Аналогично, оператор порождения частицы а⁺ переводит состояние _N в состояние с N + 1 частицей:

[множители N^1/2 в (3) и (N + 1)^1/2 в (4) вводятся именно для выполнения условия нормировки: |_N|² = 1]. В частности, при N=O ⁺₀= ₁, где ₀ - вектор состояния, характеризующий вакуум; т. е. одночастичное состояние получается в результате порождения из "вакуума" одной частицы. Однако a^-₀=0, поскольку невозможно уничтожить частицу в состоянии, в к-ром частиц нет; это равенство можно считать определением вакуума. Вакуумное состояние ₀ имеет в К. т. п. особое значение, т. к. из него при помощи операторов a+ можно получить любое состояние. Действительно, в рассматриваемом случае (когда состояние всей системы определяется только числом частиц)

Легко показать, что порядок действия операторов а- и а+ не безразличен. Действительно, а- (a+ ₀) = a-₁=₀, в то время как + (-₀) = 0. Т. о., (а-а⁺ - +-)₀ = ₀, или

т. е. операторы а⁺ и a- являются не-переставимыми (некоммутирующими). Соотношения типа (6), устанавливающие связь между действием двух операторов, взятых в различном порядке, наз. перестановочными соотношениями, или коммутационными соотношениями, для этих операторов, а выражения вида AB -BA = [А, В] - коммутаторами операторов А и В.

Если учесть, что частицы могут находиться в различных состояниях, то, записывая операторы порождения и уничтожения, надо дополнительно указывать, к какому состоянию частицы эти операторы относятся. В квантовой теории состояния задаются набором квантовых чисел, определяющих энергию, спин и др. физич. величины; для простоты обозначим всю совокупность квантовых чисел одним индексом п: так, а⁺_n обозначает оператор рождения частицы в состоянии с набором квантовых чисел п. Средние числа частиц, находящихся в состояниях, соответствующих различным п, называются числами заполнения этих состояний.

Рассмотрим выражение а^-_пa⁺_m0. Сначала на ₀ действует "ближайший" к нему оператор а⁺_m; это отвечает порождению частицы в состоянии т. Если п = т, то последующее действие оператора а~_п приводит опять к ₀, т. е. а^-_пa⁺_n0=₀· Если п<>т, то а^-_пa⁺_m0=0, поскольку невозможно уничтожение таких частиц, которых нет (оператор а^-_пописывает уничтожение частиц в таких состояниях п, каких не возникает при действии а⁺_т на ₀. С учётом различных состояний частиц перестановочные соотношения для операторов рождения и уничтожения имеют следующий вид:

Однако существуют поля, для к-рых связь между произведением операторов рождения и уничтожения, взятых в различном порядке, имеет др. вид: знак минус в (7) заменяется на плюс (это наз. заменой коммутаторов на антикоммутатор ы),

[эти соотношения также относят к классу перестановочных соотношений, хотя они и не имеют вида (6)]. Операторы, подчиняющиеся соотношениям (8), необходимо вводить для полей, кванты к-рых имеют полуцелый спин (т. е. являются фермионами) и вследствие этого подчиняются Паули принципу, согласно к-рому в системе таких частиц (напр., электронов) невозможно существование двух или более частиц в одинаковых состояниях (в состояниях с одинаковым набором всех квантовых чисел). Действительно, построив вектор состояния, содержащего 2 частицы (двухчастичного состояния), а^-_пa⁺_m0, нетрудно убедиться [учитывая (8)], что при n = m он равен самому себе с обратным знаком; но это возможно только для величины, тождественно равной нулю. T. о., если операторы рождения и уничтожения частиц удовлетворяют перестановочным соотношениям (8), то состояния с двумя (или более) частицами, имеющими одинаковые квантовые числа, автоматически исключаются. Такие частицы подчиняются Ферми - Дирака статистике. Для полей же, кванты к-рых имеют целый спин, операторы рождения и уничтожения частиц удовлетворяют соотношениям (7); здесь возможны состояния с произвольным числом частиц, имеющих одинаковые квантовые числа.

Наличие двух типов перестановочных соотношений имеет фундаментальное значение, поскольку оно определяет два возможных типа статистик.

Необходимость введения некоммутирующих операторов для описания систем с переменным числом частиц - типичная черта вторичного квантования.

Заметим, что "первичное квантование" также можно рассматривать как переход от классич. механики, в к-рой координаты q и импульсы являются обычными числами (т. е., конечно, qp =рq)> к такой теории, в к-рой q и  заменяются некоммутирующими операторами: q->q, р->р, qp<>pq. Переход от классич. теории поля к квантовой (напр., в электродинамике) производится аналогичным методом, но только роль координат (и импульсов) должны при этом играть величины, описывающие распределение поля во всём пространстве и во все моменты времени. Так, в классич. электродинамике поле определяется значениями напряжённостей электрического E и магнитного H полей (как функций координат и времени). При переходе к квантовой теории E и H становятся операторами, к-рые не коммутируют с оператором числа фотонов в поле.

В квантовой механике доказывается, что если 2 к.-л. оператора не коммутируют, то соответствующие им физ. величины не могут одновременно иметь точные значения. Отсюда следует, что не существует такого состояния электромагнитного поля, в к-ром были бы одновременно точно определёнными напряжённости поля и число фотонов. Если, в силу физич. условий, точно известно число фотонов, то совершенно неопределёнными (способными принимать любые значения) оказываются напряжённости полей. Если же известны точно эти напряжённости, то неопределённым является число фотонов. Вытекающая отсюда невозможность одновременно положить равными нулю напряжённости поля и число фотонов и является физич. причиной того, что вакуумное состояние не представляет собой просто отсутствие поля, а сохраняет важные физич. свойства.

3. Полевые методы в квантовой теории многих частиц. Математич. методы К. т. п. (как уже отмечалось) находят применение при описании систем, состоящих из большого числа частиц: в физике твёрдого тела, атомного ядра и т. д. Роль вакуумных состояний в твёрдом теле, напр., играют низшие энергетич. состояния, в к-рые система переходит при минимальной энергии (т. е. при темп-ре Т->0). Если сообщить системе энергию (напр., повышая её темп-ру), она перейдёт в возбуждённое состояние. При малых энергиях процесс возбуждения системы можно рассматривать как образование нек-рых элементарных возбуждений - процесс, подобный порождению частиц в К. т. п. Отд. элементарные возбуждения в твёрдом теле ведут себя подобно частицам - обладают определённой энергией, импульсом, спином. Они наз. квазичастицами. Эволюцию системы можно представить как столкновение, рассеяние, уничтожение и порождение квазичастиц, что и открывает путь к широкому применению методов К. т. п. (см. Твёрдое тело). Одним из наиболее ярких примеров, показывающих плодотворность методов К. т. п. в изучении твёрдого тела, является теория сверхпроводимости.

4. Кванты - переносчики взаимодействия. В классич. электродинамике взаимодействие между зарядами (и токами) осуществляется через поле: заряд порождает поле и это поле действует на другие заряды. В квантовой теории взаимодействие поля и заряда выглядит как испускание и поглощение зарядом квантов поля - фотонов. Взаимодействие же между зарядами, напр, между двумя электронами, в К. т. п. является результатом их обмена фотонами: каждый из электронов испускает фотоны (кванты переносящего взаимодействие электромагнитного поля), к-рые затем поглощаются др. электроном. Это справедливо и для др. физич. полей: взаимодействие в К.т.п. - результат обмена квантами поля.

В этой достаточно наглядной картине взаимодействия есть, однако, момент, нуждающийся в дополнит, анализе. Пока взаимодействие не началось, каждая из частиц является свободной, а свободная частица не может ни испускать, ни поглощать квантов. Действительно, рассмотрим свободную неподвижную частицу (если частица равномерно движется, всегда можно перейти к такой инерциальной системе отсчёта, в к-рой она покоится). Запаса кинетич. энергии у такой частицы нет, потенциальной - тоже, так что излучение энергетически невозможно. Несколько более сложные рассуждения убеждают и в неспособности свободной частицы поглощать кванты. Но если приведённые соображения справедливы, то, казалось бы, неизбежен вывод о невозможности появления взаимодействий в К. т. п.

Чтобы разрешить этот парадокс, нужно учесть, что рассматриваемые частицы являются квантовыми объектами и что для них существенны неопределённостей соотношения. Эти соотношения связывают неопределённости координаты частицы (x) и её импульса (p):

x·p>>h/2 (9) (где h = h/2). Имеется и второе соотношение - для неопределённостей энергии E и специфич. времени ? данного физич. процесса (т. е. времени, в течение к-рого процесс протекает):

E·t~h. (10)

Если рассматривается взаимодействие между частицами посредством обмена квантами поля (это поле часто наз. промежуточным), то за t естественно принять продолжительность такого акта обмена. Вопрос о возможности испускания кванта свободной частицей отпадает: энергия частицы, согласно (10), не является точно определённой; при наличии же квантового разброса энергий E законы сохранения энергии и импульса не препятствуют более ни испусканию, ни поглощению переносящих взаимодействие квантов, если только эти кванты имеют энергию ~ Eи существуют в течение промежутка времени t ~ h/E.

Проведённые рассуждения не только устраняют указанный выше парадокс, но и позволяют получить важные физич. выводы. Рассмотрим взаимодействие частиц в ядрах атомов. Ядра состоят из нуклонов, т. е. протонов и нейтронов. Экспериментально установлено, что вне пределов ядра, т. е. на расстояниях, больших примерно 10-¹² см, взаимодействие неощутимо, хотя в пределах ядра оно заведомо велико. Это позволяет утверждать, что радиус действия ядерных сил имеет порядок L ~ 10-¹² см. Именно такой путь пролетают, следовательно, кванты, переносящие взаимодействие между нуклонами в атом-вых ядрах. Время пребывания квантов "в пути", даже если принять, что они движутся с максимально возможной скоростью (со скоростью света с), не может быть меньше, чем t ~ L/C. Согласно предыдущему, квантовый разброс энергии E взаимодействующих нуклонов получается равным E~ ~h/t~hc/L. B пределах этого разброса и должна лежать энергия кванта - переносчика взаимодействия. Энергия каждой частицы массы т складывается из её энергии покоя, равной mc², и кинетич. энергии, растущей по мере увеличения импульса частицы. При не слишком быстром движении частиц кинетич. энергия мала по сравнению с тс², так что можно принять E~mc². Тогда из предыдущей формулы следует, что квант, переносящий взаимодействия в ядре, должен иметь массу порядка т~h/Lc. Если подставить в эту формулу численные значения величин, то оказывается, что масса кванта ядерного поля примерно в 200- 300 раз больше массы электрона.

Такое полукачествениое рассмотрение лривело в 1935 япон. физика-теоретика X. Юкава к предсказанию новой части-ды; позже эксперимент подтвердил существование такой частицы, названной ли-мезоном. Этот блистательный результат значительно укрепил веру в правильность квантовых представлений о взаимодействии как об обмене квантами промежуточного поля, веру, сохраняющуюся в значит, степени до сих пор, несмотря на то, что количественную ме-зонную теорию ядерных сил построить всё ещё не удалось.

Если рассмотреть 2 настолько тяжёлые частицы, что их можно считать классич. материальными точками, то взаимодействие между ними, возникающее в результате обмена квантами массы т, приводит к появлению потенциальной энергии взаимодействия частиц, равной

где r - расстояние между частицами, a g - т. н. константа взаимодействия рассматриваемых частиц с полем квантов, переносящих взаимодействие (или иначе - заряд, соответствующий данному виду взаимодействия).

Если применить эту формулу к случаю, когда переносчиками взаимодействия являются кванты электромагнитного поля - фотоны, масса покоя которых m = О, и учесть, что вместо g должен стоять электрический заряд е, то получится хорошо известная энергия куло-новского взаимодействия двух зарядов: U_эл = е²/r.

5. Графический метод описания процессов. Хотя в К. т. п. рассматриваются типично квантовые объекты, можно дать процессам взаимодействия и превращения частиц наглядные графич. изображения. Такого рода графики впервые были введены амер. физиком P. Фейнманом и носят его имя. Графики, или диаграммы, Фейнмана, внешне похожи на изображение путей движения всех участвующих во взаимодействии частиц, если бы эти частицы были классическими (хотя ни о каком классич. описании не может быть и речи). Для изображения каждой свободной частицы вводят нек-рую линию (к-рая, конечно, есть всего лишь графич. символ распространения частицы): так, фотон изображают волнистой линией, электрон - сплошной. Иногда на линиях ставят стрелки, условно обозначающие "направление распространения" частицы. Ниже даны примеры таких диаграмм.

На рис. 1 изображена диаграмма, соответствующая рассеянию фотона на электроне: в начальном состоянии присутствуют один электрон и один фотон; в точке / они встречаются и происходит поглощение фотона электроном; в точке 2 появляется (испускается электроном) новый, конечный фотон. Это - одна из простейших диаграмм Комптон-эффекта.

Рис. 1.
 

Диаграмма на рис. 2 отражает обмен фотоном между двумя электронами: один электрон в точке 1 испускает фотон, к-рый затем в точке 2 поглощается вторым электроном. Как уже говорилось, такого рода обмен приводит к появлению взаимодействия; т. о., данная диаграмма изображает элементарный акт электромагнитного взаимодействия двух электронов. Более сложные диаграммы, соответствующие такому взаимодействию, должны учитывать возможность обмена неск. фотонами; одна из них изображена на рис. 3.

Рис, 2,
 

Рис. 3.

В приведённых примерах проявляется нек-рое общее свойство диаграмм, описывающих взаимодействие между электронами и фотонами: все диаграммы составляются из простейших элементов- вершинных частей, или вершин, одна из к-рых (рис. 4) представляет испускание, а другая (рис. 5) - поглощение фотона электроном.

Рис, 4.

Рис. 5.

Оба эти процесса в отдельности запрещены законами сохранения энергии и импульса. Однако если такая вершина входит как составная часть в нек-рую более сложную диаграмму, как это было в рассмотренных примерах, то квантовая неопределённость энергии, возникающая из-за того, что на промежуточном этапе нек-рая частица существует короткое время t, снимает энергетич. запрет.

Частицы, к-рые рождаются, а затем поглощаются на промежуточных этапах процесса, наз. виртуальными (в отличие от реальных частиц, существующих достаточно длительное время). На рис. 1 это - виртуальный электрон, возникающий в точке / и исчезающий в точке 2, на рис. 2 - виртуальный фотон и т. д. Часто говорят, что взаимодействие переносится виртуальными частицами. Можно несколько условно принять, что частица виртуальна, если квантовая неопределённость её энергии E порядка ср. значения энергии частицы E и её можно называть реальной, если E<<E (для относительно медленно движущихся частиц с неравной нулю массой покоя т это условие сведётся к неравенству <<mc²).

Диаграммы Фейнмана не только дают наглядное изображение процессов, но и позволяют при помощи определённых математич. правил вычислять вероятности этих процессов. Не останавливаясь детально на этих правилах, отметим, что в каждой вершине осуществляется элементарный акт взаимодействия, приводящий к превращению частиц (т. е. к уничтожению одних частиц и рождению других). Поэтому каждая из вершин даёт вклад в амплитуду вероятности процесса, причём этот вклад пропорционален константе взаимодействия тех частиц (или полей), линии к-рых встречаются в вершине. Во всех приведённых выше диаграммах такой константой является электрич. заряд е. Чем больше вершин содержит диаграмма процесса, тем в более высокой степени входит заряд в соответствующее выражение для амплитуды вероятности процесса. Так, амплитуда вероятности, соответствующая диаграммам 1 и 2 с двумя вершинами, квадратична по заряду (~е²), а диаграмма 3 (содержащая 4 вершины) приводит к амплитуде, пропорциональной четвёртой степени заряда (~е⁴). Кроме того, в каждой вершине нужно учитывать законы сохранения (за исключением закона сохранения энергии - его применимость лимитируется квантовым соотношением неопределённостей для энергии и времени): импульса (отвечающий каждой вершине акт взаимодействия может произойти в любой точке пространства, т. е. неопределённость координаты x=oo, и, следовательно, импульс определён точно), электрич. заряда и т. д., а также вводить множители, зависящие от спинов частиц.

Выше были рассмотрены лишь простейшие виды диаграмм для нек-рых процессов. Эти диаграммы не исчерпывают всех возможностей. Каждую из простейших диаграмм можно дополнить бесконечным числом всё более усложняющихся диаграмм, включающих всё большее число вершин. Напр., приведённую на рис. 1 "низшую" диаграмму Комптон-эффекта можно усложнять, выбирая произвольно пары точек на электронных линиях и соединяя эти пары волнистой фотонной линией (рис. 6), т. к. число промежуточных (виртуальных) фотонных линий не лимитировано.

Рис. 6.

6. Взаимодействие частицы с вакуумом электромагнитного поля. Излучение атома. На приведённых графиках взаимодействия двух электронов (рис. 2 и 3) каждый из фотонов порождается одним и поглощается др. электроном. Однако возможен и др. процесс (рис. 7):

Рис. 7.

фотон, испущенный электроном в точке /, через нек-рое время поглощается им же в точке 2. Поскольку обмен квантами обусловливает взаимодействие, то такой график также является одной из простейших диаграмм взаимодействия, но только взаимодействия электрона с самим собой, или, что то же самое, с собственным полем. Этот процесс можно также назвать взаимодействием электрона с полем виртуальных фотонов, или с фотонным вакуумом (последнее назв. определяется тем, что реальных фотонов здесь нет). T. о., собственное электромагнитное (электростатическое) поле электрона создаётся испусканием и поглощением (этим же электроном) фотонов. Такие взаимодействия электрона с вакуумом обусловливают экспериментально наблюдаемые эффекты (что свидетельствует о реальности вакуума). Самый значит, из этих эффектов - излучение фотонов атомами. Согласно квантовой механике, электроны в атомах располагаются на квантовых энергетич. уровнях, а излучение фотона происходит при переходе электрона с одного (высшего) уровня на другой, обладающий меньшей энергией. Однако квантовая механика оставляет открытым вопрос о причинах таких переходов, сопровождающихся т. н. спонтанным ("самопроизвольным") излучением; более того, каждый уровень выглядит здесь как вполне устойчивый. Физ. причиной неустойчивости возбуждённых уровней и спонтанных квантовых переходов, согласно К. т. п., является взаимодействие атома с фотонным вакуумом. Образно говоря, взаимодействие с фотонным вакуумом трясёт, раскачивает атомный электрон - ведь при испускании и поглощении каждого виртуального фотона электрон испытывает толчок, отдачу; без этого электрон двигался бы устойчиво по орбите (ради наглядности, примем этот полуклассич. образ). Один из таких толчков заставляет электрон "упасть" на более устойчивую, т. е. обладающую меньшей энергией, орбиту; при этом освобождается энергия, к-рая идёт на возбуждение электромагнитного поля, т. е. на образование реального фотона.

То, что взаимодействие электронов с фотонным вакуумом обусловливает саму возможность переходов в атомах (и в др. излучающих фотоны системах), а значит, и излучение,- это наибольший по масштабу и по значению эффект в квантовой электродинамике. Однако есть и другие, гораздо более слабые, "вакуумные эффекты", очень важные в принципиальном отношении; нек-рые из них будут обсуждены в разделе III.
 

7. Электронно-позитронный вакуум. В 1928 англ, физик П. Дирак, решая задачу о релятивистском квантовом ур-нии движения электрона, предсказал, что у электрона должен быть "двойник" - античастица, отличающаяся от электрона знаком электрич. заряда. Такая частица, названная позитроном, вскоре была обнаружена экспериментально. Позитрон не может порождаться в одиночку - это исключается, н^.пр., законом сохранения электрич. заряда. Электроны и позитроны могут появляться и исчезать (аннигилировать) лишь парами. Для рождения электронно-по-зитронной пары необходима достаточно большая энергия (не меньше удвоенной энергии покоя электрона), к-рую может поставить, напр., "жёсткий", т. е. имеющий большую энергию, фотон (гамма-квант), налетающий на к.-л. заряженную частицу. Однако рождение пары может происходить и виртуально. Тогда образовавшаяся пара, просуществовав очень недолгое время t, аннигилирует. Квантовый разброс энергий E~h/t, если t очень мало, делает такой процесс энергетически разрешённым.

Графически процесс рождения и аннигиляции виртуальной электронно-по-зитронной пары изображён на рис. 8:

фотон в точке / исчезает, порождая пару, к-рая затем аннигилирует в точке 2, в результате чего вновь образуется фотон. (Позитрон изображается такой же сплошной линией, как и электрон, на к-рой условно стрелка направлена в противоположную сторону, т. е. "вспять" во времени.)

То обстоятельство, что электроны и позитроны не могут появляться и исчезать порознь, а возникают и уничтожаются только парами, показывает глубокое физ. единство электронно-позит-ронного поля. Электронное и позитрон-ное поля выглядят как обособленные лишь до тех пор, пока не рассматриваются процессы, связанные с изменением числа электронов и позитронов.

Античастицы есть не только у электронов. Установлено, что каждая частица (кроме т. н. истинно нейтральных частиц, напр, фотона и нейтрального пи-мезона) имеет свою античастицу. Процессы, подобные виртуальному рождению и аннигиляции электронно-позитронных пар, существуют для любых пар частица-античастица.
 

III. Метод возмущений в квантовой теории поля
 

1. Математическая и физическая частица. Полевая масса. Перенормировка массы. Для описания взаимодействующих полей часто применяется следующий метод (к-рый фактически уже был использован выше). Сначала рассматриваются кванты свободных полей (частицы). Это т. н. нулевое приближение, в к-ром взаимодействие вообще не учитывается. Затем в рассмотрение вводится взаимодействие - частицы перестают быть независимыми, появляется возможность их рассеяния, порождения и уничтожения в результате взаимодействия. После-доват. увеличение числа учитываемых процессов, обусловленных взаимодействием, математически достигается применением т. н. метода возмущений. Ввиду большой роли, к-рую играет этот метод в теории, обсудим его физич. смысл подробнее. Процедура последоват. уточнения вклада от взаимодействий фактически применяется и в классич. электродинамике. Поясним это на примере электрона н создаваемого им электромагнитного поля. Электрон выступает в теории как носитель определённой массы m₀. Ho так как он порождает электромагнитное поле, имеющее энергию E_эл, а следовательно (согласно релятивистскому соотношению E = mc²), и массу E_эл/с², то, ускоряя электрон, нужно преодолевать и инерцию его электромагнитного (в простейшем случае-кулоновского) поля.

T. о., вводя в рассмотрение взаимодействие между электроном и электромагнитным полем, к "неполевой", или "затравочной", массе m₀ необходимо добавить "полевую" часть массы m_пол = E_эл/С². Вычисление полевой массы для точечной частицы (а именно такими приходится считать рассматриваемые в нулевом приближении "затравочные" частицы) приводит к лишённому физического смысла результату: m_пол оказывается бесконечно большой. Действительно, энергия кулоновского поля частицы, имеющей заряд е и протяжённость а, равна E_кул = ke²/a (k - множитель порядка единицы, численное значение к-рого зависит от распределения заряда); переход к точечной частице (а -> О) приводит E_кул -> °° .

Бесконечное значение (расходимость) полевой массы (хотя и в несколько изменённом, "ослабленном" виде) сохраняется и при переходе от классич. теории к квантовой. Больше того, появляются и расходимости др. типов. Анализ встречающихся здесь трудностей привёл к появлению идеи т.н. перенормировок. Деление массы на полевую и неполевую возникает (как видно из предыдущего) из-за принятого метода рассмотрения: вначале вводится свободная "затравочная" частица, а затем "включается" взаимодействие. В эксперименте, конечно, нет ни "затравочной", ни полевой массы, там проявляется только общая масса частицы. В теории, что очень существенно, эти массы также выступают лишь в сумме, а не порознь. Объединение полевой и неполевой массы и использование для суммарной массы значения, получаемого не теоретически, а из опыта, наз. перенормировкой массы.

Традиционный путь построения теории в рамках метода теории возмущений таков: вначале формулируется теория свободных (не взаимодействующих) частиц, а затем вводится в рассмотрение взаимодействие между ними. Так, напр., сначала строится теория свободных электронов (или электронно-позитрон-ного поля), а затем рассматривается взаимодействие этих "математических", или "голых", электронов с электромагнитным полем. Однако реально существующие в природе "физические" электроны, в отличие от "математических", всегда взаимодействуют с фотонами (хотя бы с виртуальными), и "выключить" это взаимодействие можно только умозрительно. Важной частью идеи перенормировок является указание на необходимость построения теории, в к-рой выступали бы не математические, а фи-зич. частицы.

Любопытно, что природа в какой-то мере даёт возможность увидеть различие между частицей со "включённым" и "выключенным" электромагнитным взаимодействием. Напр., известны три пи-мезона: с положительным (+), отрицательным (-) и нулевым (°) элект-рич. зарядами. Это различные зарядовые состояния одной и той же частицы. Заряженные мезоны (⁺ и -) имеют большую массу, чем нейтральный (°); очевидно, здесь проявляется добавка, обусловленная полевой (электромагнитной) массой, хотя теория пока не может достаточно чётко объяснить этого явления количественно.

В К. т. п. процесс "облачения" мате-матич. частицы, т. е. её превращение в физическую, выглядит сложнее, чем в классич. электродинамике, где всё сводится к "пристёгиванию" к частице кулоновского "шлейфа". В квантовой теории физич. частица отличается от математической "шубой", гораздо более сложной по своему строению: её образуют "облака" рождаемых и вслед за тем поглощаемых частицей виртуальных квантов. Это могут быть кванты любого из полей, с к-рыми частица находится во взаимодействии (электромагнитного, электронно-позитронного, мезонного и т. д.). "Шуба" не есть нечто застывшее,- образующие её кванты непрерывно порождаются и поглощаются. "Шуба" пульсирует, т. е. несущая её частица как бы проводит часть времени в "облачённом", а часть - в "голом" состоянии. Какую именно часть - это определяется степенью интенсивности взаимодействий. Напр., мезонные взаимодействия нуклонов более чем в сто раз интенсивнее электромагнитных; это позволяет предполагать, что мезонное "одеяние" протона более чем в сто раз "плотнее" электромагнитного. Это, может быть, позволяет понять, почему квантовая теория электромагнитных процессов даже при далеко не полном учёте вакуумных эффектов блестяще согласуется с экспериментом, тогда как мезонная теория не добилась таких успехов. В квантовой электродинамике можно ограничиться рассмотрением процессов с малым числом виртуальных фотонов и виртуальных электронно-позитронных пар, что соответствует учёту небольшого числа "низших" поправок по методу теории возмущений; в мезон-ной теории это не приводит к успеху, что и создаёт трудности, к-рые будут рассмотрены в разделе IV.

Все приведённые выше рассуждения о "шубе" частиц являются, строго говоря, полуинтуитивными и не могут быть пока переведены на язык точной теории. Однако они могут быть полезными хотя бы потому, что помогают уяснить отличие математической частицы от физической и понять, что описание последней является далеко не простой задачей.
 

2. Поляризация вакуума. Перенормировка заряда. Электрическое (и в первую очередь кулоновское) поле заряженной частицы оказывает влияние на распределение виртуальных электронно-пози-тронных пар (и пар любых других заряженных частиц-античастиц). Реальный электрон притягивает виртуальные позитроны и отталкивает виртуальные электроны. Это должно приводить к явлениям, напоминающим поляризацию среды, в к-рую вносится заряженная частица. Для описания таких явлений опять применим метод возмущений.

Поляризация электронно-позитронного вакуума (принято использовать подсказываемый приведённой аналогией термин) является чисто квантовым эффектом, вытекающим из К. т. п. Эта поляризация приводит к тому, что электрон оказывается окружённым плотным слоем позитронов из виртуальных пар, так что эффективный заряд электрона должен существенно изменяться. Возникает экранировка заряда, т. е. его эффективное уменьшение. Если рассматривать "затравочные" частицы как точечные, то экранировка оказывается полной, т. е. эффективный заряд нулевым (проблема "заряда нуль"). Для преодоления этой трудности используется идея перенормировки заряда. Здесь почти дословно повторяются приводившиеся.при обсуждении перенормировки массы аргументы. Назовём "затравочным" заряд, к-рый был бы у частицы, если бы исчезло взаимодействие с электронно-позитронным вакуумом (будем говорить только о нём, хотя, конечно, нужно учитывать и влияние виртуальных пар др. полей). Наличие такого взаимодействия приводит к появлению "поправки" к заряду. Корректно вычислять её физики не умеют, как не умеют и определять "затравочный" заряд. Но поскольку эти две части заряда ни в эксперименте, ни в теории не выступают порознь, можно обойти трудность, подставляя на место общего заряда величину, непосредственно взятую из опыта. Эта процедура наз. перенормировкой заряда. Перенормировки заряда и массы не решают проблем, возникающих в теории точечных частиц, они лишь изолируют эти проблемы на нек-ром этапе теории и (что весьма важно) дают возможность выделить конечные наблюдаемые части из бесконечных значений для нек-рых величин, характеризующих физич. частицы.
 

3. Некоторые наблюдаемые "вакуумные"· эффекты. Существует возможность экспериментально наблюдать влияние "вакуума" на частицы. Оказывается, что "шуба" физич. частиц зависит от того, какие внешние поля действуют на эту частицу. Иначе говоря, полевые добавки к энергии частицы зависят от её состояния. Общая полевая энергия, как уже говорилось, получается в теории точечных частиц бесконечно большой, но из этой бесконечно большой величины можно выделить конечную часть, к-рая меняется в зависимости от состояния частицы и поэтому может быть обнаружена на опыте.
 

Лэмбовский сдвиг уровня. В атоме водорода (и нек-рых др. лёгких атомах) имеются два состояния - 2S_1/2 и 2Р_1/2, энергии к-рых, согласно квантовой механике, должны совпадать. В то же время картина движения электронов в этих состояниях различна. Образно говоря, S-электрон (электрон в S-состоянии) проводит осн. часть своего времени вблизи ядра, а Р-электрон в среднем находится на большем удалении от ядра. Поэтому S-электрон в среднем находится в более сильном поле, чем Р-электрон. Это приводит к тому, что добавки к энергии за счёт взаимодействия с фотонным вакуумом у Р-электрона и у S-электрона оказываются разными, что можно пояснить наглядно. Как уже говорилось, взаимодействие с вакуумом как бы раскачивает, трясёт электрон. Вместо того чтобы двигаться по нек-рой устойчивой, напр, круговой, орбите радиуса г (примем опять этот классич. образ), электрон начинает хаотически отклоняться то в одну, то в другую сторону от этой орбиты. При отклонении в каждую сторону на rэнергия меняется по-разному. Действительно, кулонов-ская энергия электрона в поле ядра меняется по закону: E_потенц.~1/r ; при увеличении r на r энергия изменяется на величину

, а при уменьшении r на r- на величину

, т. е. абс. значение E' больше, чем E. Это приводит к тому, что "вакуумное дрожание" электрона меняет значение его потенциальной энергии. Особенно заметно это изменение там, где сама потенциальная энергия велика и быстро меняется с изменением r, т. е. вблизи ядра. T. о., для S-электронов вакуумные добавки к энергии (они наз. радиационными поправками) должны быть больше, чем для Р-электронов, что и "раздвигает" уровни их энергии, к-рые без этого совпадали бы. Величина расщепления, называемая лэмбовским сдвигом уровней (впервые он был теоретически объяснён X. Бете и обнаружен экспериментально в 1947 амер. физиками У. Лэмбом и P. Ризерфордом), согласно К. т. п., оказывается равной (если выражать её в единицах частоты ): для водорода 1057,77 Мгц, для дейтерия 1058,9 Мгц, для гелия 14046,3 Мгц (переход к энергетич. единицам - эргам - производится по формуле E = hv, где  выражено в гц). Эти значения находятся в таком хорошем соответствии с данными эксперимента, что дальнейшее увеличение экспериментальной точности приведёт уже к обнаружению эффектов, обусловленных не электромагнитными взаимодействиями, а т. н. сильными взаимодействиями.

Аномальный магнитный момент. Не менее замечательна точность, с к-рой вычисляется аномальный магнитный момент электрона, также отражающий "вакуумные" (радиационные) влияния на эту частицу. Из квантовой теории электрона П. Дирака следует, что электрон должен обладать магнитным моментом

Но это относится к "голому" электрону. Процесс его "облачения" меняет магнитный момент. Включив в рассмотрение взаимодействие электрона с вакуумом, нужно прежде всего заменить заряд (е₀)и массу (т₀) идеализированной ма-тем. частицы на физич. значения этих величин:

m₀ -> т_физич., e₀ -> е_физич.

Однако этим не исчерпывается учёт наблюдаемых эффектов. Магнитный момент - величина, обусловливающая взаимодействие покоящейся частицы с внешним магнитным полем. Поправки, появляющиеся в выражении для энергии такого взаимодействия, естественно интерпретировать как результат появления "вакуумных" добавок к магнитному моменту (эти добавки, впервые теоретически исследованные Ю. Швингером, и наз. аномальным магнитным моментом). Аномальный магнитный момент электрона вычислен и измерен с высокой точностью, о чём можно судить по следующим данным

где  - т. н. постоянная тонкой структуры, равная

Здесь опять наблюдается поразительное совпадение измеренного магнитного момента электрона и его значения, полученного на основе К. т. п.

Рассеяние света на свете. Существуют и др. описываемые К. т. п. эффекты. Ограничимся рассмотрением ещё одного эффекта, к-рый предсказывается К. т. п. Известно, что для электромагнитных волн справедлив принцип суперпозиции: электромагнитные волны, накладываясь, не оказывают друг на друга никакого влияния. Этот принцип наложения волн без взаимных искажений переходит из классич. теории в квантовую, где он принимает форму утверждения об отсутствии взаимодействия между фотонами. Однако положение меняется, если учесть эффекты, обусловленные электронно-позитронным вакуумом.

Диаграмма, изображённая на рис. 9, соответствует след, процессу: в начальном состоянии имеется два фотона; один из них в точке / исчезает, породив виртуальную электронно-позитронную пару; второй фотон поглощается одной из

Рис. 9

частиц этой пары (на приведённой диаграмме - позитроном) в точке 2. Затем появляются конечные фотоны: один из них рождается в точке 3 виртуальным электроном, а другой возникает в результате аннигиляции пары в точке 4. Эта диаграмма (и бесчисленное множество других, более сложных) показывает, что благодаря виртуальным электронно-позитронным парам должно появляться взаимодействие между фотонами, т. е. принцип суперпозиции должен нарушаться. Нарушения должны проявляться в таких процессах, как рассеяние света на свете (однако эффект этот настолько мал, что его ещё не удалось наблюдать на опыте). Вне экспериментальных возможностей лежит пока и имеющий неск. большую вероятность процесс рассеяния фотонов на внешнем электростатич. поле. Но успехи квантовой электродинамики настолько велики, что не приходится сомневаться в достоверности и этих её предсказаний.

Кроме указанных эффектов, "высшие" поправки, к-рые вычисляются по методу возмущений (радиационные поправки), появляются в процессах рассеяния заряженных частиц и в нек-рых др. явлениях.
 

IV. Трудности и проблемы квантовой теории поля

1. Успех, нуждающийся в объяснении.

Успехи квантовой электродинамики, о к-рых говорилось выше, впечатляющи, но не вполне объяснимы. Эти успехи связаны с анализом только простейших, низших диаграмм Фейнмана, учитывающих лишь небольшое число виртуальных частиц, или - на математич. языке - низшие приближения теории возмущений. К каждой из таких диаграмм можно добавлять (рассматривая более высокие приближения) бесчисленное число всё более усложняющихся диаграмм высших порядков, включающих всё большее число внутр. линий (каждая такая внутр. линия отвечает виртуальной частице). Правда, в такие усложнённые диаграммы будет входить всё увеличивающееся число вершин, каждая же вершина вносит в выражение для амплитуды вероятности процесса множитель е, точнее e/(hc)^1/2. Поскольку внутренние линии имеют два конца (две вершины), добавление каждой внутр. линии, грубо говоря, изменяет амплитуду в е²/hс~1/137 раз. Если записать амплитуду в виде суммы членов с возрастающими степенями величины  = e²/hc (математически построение такой суммы, или ряда, и соответствует применению метода теории возмущений), то каждому следующему члену будет соответствовать диаграмма Фейнмана со всё большим числом внутр. линий. Каждый член ряда должен быть поэтому примерно на два порядка (в сто раз) меньше предыдущего. Поэтому, казалось бы, действительно, высшие диаграммы дают ничтожный вклад и могут быть отброшены. Однако более внимательное рассмотрение показывает, что, поскольку число таких отброшенных диаграмм бесконечно велико, оценка их вклада не проста и не очевидна. Задача усложняется ещё и тем, что се выступает в комбинации с множителем, пропорциональным логарифму энергии, так что при высоких энергиях метод возмущений оказывается неэффективным.

Если в квантовой электродинамике данная проблема может показаться не очень актуальной, т. к. здесь теория блестяще описывает опыт, то в теориях др. полей положение иное.

2. Проблема сильных взаимодействий.

Теория сильных взаимодействий начала развиваться по аналогии с квантовой электродинамикой, только роль переносчиков взаимодействия приписывалась, как уже говорилось выше, пи-мезонам- частицам, обладающим массой покоя, примерно в двести раз превосходящей массу покоя электрона. Однако здесь выявилось обстоятельство, принципиально отличающее электродинамику от ме-зодинамики: константа взаимодействия д, т. е. величина, играющая роль заряда в сильных взаимодействиях, относительно велика, и вместо e²/hc ~ 1/137 << 1 в мезодинамике появляется величина g²/hc>1. Поэтому те аргументы, к-рые в электродинамике в какой-то степени оправдывают отбрасывание высших диаграмм (т. е. использование низших приближений теории возмущений), в мезодинамике теряют силу. Не удивительно, что учёт только низших диаграмм в случае сильно взаимодействующих частиц не согласуется с опытом. Иначе говоря, метод возмущений для вычисления амплитуды вероятности здесь неприменим.

В К. т. п. сложилась довольно своеобразная ситуация: ур-ния для взаимодействующих полей написаны уже много лет назад, найден, в принципе, способ выделить то, что отвечает физич. частицам, и в то же время точно решать эти ур-ния теоретики не умеют. Приближённые же методы, в первую очередь метод теории возмущений, далеко не всегда пригодны. Но, не зная точного решения ур-ний К. т. п., трудно судить с уверенностью, хороши ли эти уравнения, а значит, и те физич. представления, на к-рых они основаны.

Трудности решения ур-ний К. т. п. порождают не только "технические" проблемы. Метод решения в значит, мере определяет те физич. образы, с к-рыми оперирует теория. Что такое, напр., "математические" частицы и процедура их "облачения", о к-рой говорилось выше? Все эти представления продиктованы теорией возмущений: в нулевом приближении взаимодействие вообще не учитывается (отсюда - "голые" частицы), в следующих - взаимодействие учитывается введением одной, двух и т. д. виртуальных частиц; так возникает картина постепенного "обрастания" частицы облаком виртуальных квантов. Но в природе нет никаких "математических" частиц, все частицы -"физические", именно их должна описывать теория. Хотя в теории перенормировок выдвигается именно такая программа, конкретные вычисления заставляют возвращаться к теории возмущений (отметим, что в электродинамике доказывается принципиальная возможность провести перенормировки в любом приближении).

3. Проблема перенормируемости. Анализ трудностей теории. До появления идеи перенормировок К. т. п. не могла рассматриваться как непротиворечивое построение, поскольку в ней появлялись бессмысленные бесконечно большие значения (расходимости) для нек-рых физич. величин и отсутствовало понимание того, что же с ними делать. Идея перенормировок не только объяснила наблюдаемые эффекты, но одновременно придала всей теории черты логич. замкнутости, устранив из неё расходимости.

Образно говоря, был предложен метод учёта изменений "шубы" физич. частиц в зависимости от внешних условий и количеств, исследования связанных с этим эффектов. В то же время само "облачение" частицы выпадает из рассмотрения. Частица рассматривается как целое в её внешних проявлениях, т. е. во взаимодействии с др. частицами.

Далеко не всегда программа перенормировок может быть проведена успешно, т. е. перенормировка конечного числа величин устраняет расходимости. В нек-рых случаях рассмотрение диаграмм всё более высокого порядка приводит к появлению расходимостей новых типов - тогда говорят, что теория непере-нормируема. Такова, напр., теория слабых взаимодействий. Быть может, здесь теория встречается с такими объектами, внутренняя структура к-рых сказывается в их взаимодействиях.

T. о, метод возмущений, в к-ром в качестве отправного пункта используется представление о свободных полях, а затем рассматривается всё более усложняющаяся картина взаимодействий, оказывается эффективным в квантовой электродинамике, т. к. в этой теории с помощью перенормировок можно получить результаты, хорошо согласующиеся с экспериментом. Однако даже в этой теории проблема расходимостей не может считаться решённой (расходимости не устраняются, а только изолируются). В др. теориях положение ещё сложнее: в теории сильных взаимодействий метод возмущений перестаёт быть применимым, в теории слабых взаимодействий обнаруживается неперенормируемость. T. е. существуют несомненные фундаментальные трудности К. т. п., не нашедшие пока решения.

Есть неск. тенденций в объяснении причин возникновения этих трудностей. Согласно одной из точек зрения, все затруднения обусловлены неправильным методом решения ур-ний К. т. п. Действительно, метод возмущений имеет очевидные минусы; больше того, именно он порождает, напр., проблему перенормировок. Если пользоваться гейзенберговской картиной при описании полей, то можно избежать необходимости вводить "математич." частицы и рассматривать их последующее "облачение". Единственные частицы, к-рые при этом фигурируют в теории,- "физические". Но, чтобы ввести такие частицы, нужно принять, что все взаимодействия начинаются в нек-рый (хотя, возможно, и очень отдалённый) момент, а затем, в будущем (к-рое также может быть очень далёким) заканчиваются. Такое представление действительно близко к тому, что выступает в эксперименте, где взаимодействие начинается, когда какие-то частицы налетают на др. частицы-мишени, а продукты, образовавшиеся при столкновении, по истечении нек-рого времени разлетаются так далеко, что взаимодействие между ними прекращается. Возможность рассматривать асимптотически (т. е. в моменты времени i=-°° и i=+oo) свободные поля, а следовательно, и частицы не снимает, однако, всех трудностей, т. к. достаточно эффективных методов решения ур-ний для гейзенберговских операторов пока найти не удалось. T. о., согласно этой точке зрения, причина затруднений - именно в неумении достаточно корректно решать ур-ния К. т. п.

Распространено также мнение, что и избавившись от всех недостатков метода возмущений, теория не обретёт желаемого совершенства, т. е. что трудности имеют не математическую, а физич. природу. Указывается, напр., что рассмотрение ограниченного числа типов взаимодействующих полей неправомерно, т. к. все поля взаимосвязаны. Возможно, последовательное рассмотрение всех полей в их взаимодействии (включая и гравитационное поле) приведёт к правильному и непротиворечивому описанию явлений.

Пересмотр представлений о взаимодействии типичен и для т. н. нелокальных квантовых теорий поля, исходящих из предположения, что взаимодействие между полями "размазано", т. е. определяется не только значениями этих полей в одной и той же точке пространства и в одинаковые моменты времени. Требования теории относительности налагают весьма жёсткие ограничения на возможные типы "размазывания", что, в частности, приводит к возникновению проблемы причинного описания в нелокальных теориях.

Ещё одна тенденция: причина затруднений усматривается в том, что совр. теория пытается излишне детализировать описание явлений в микромире. Подобно тому, как при переходе от классич. механики к квантовой теряют смысл такие классич. представления, как траектория частицы, прослеживание её координаты во все чередующиеся моменты времени, невозможно (и неправильно) пытаться описать в принятых понятиях детальную картину эволюции поля во времени - можно лишь ставить вопрос о вероятности перехода из начальных состояний поля, когда взаимодействие ещё не началось, в конечные состояния, когда оно уже закончилось. Задача заключается в нахождении законов, определяющих вероятности таких переходов (заметим, что такая программа фактически выходит за рамки традиционной К. т. п.). На первый план при этом выступает оператор (называемый S-матрицей), устанавливающий связь между вектором состояния  (-°°) в бесконечном прошлом (t= -°°) и вектором  (+°° ), относящимся к бесконечному будущему (t=+оо): (+оо) = S(-°°). Проблема заключается в нахождении законов, определяющих S-матрицу, причём таких законов, к-рые не основывались бы на детализированном описании эволюции системы во все промежуточные между t = -оо и t =+oo моменты времени. Об открывающихся здесь возможностях могут, напр., свидетельствовать исследования, базирующиеся на рассмотрении зависимости S-матрицы от заряда и приводящие к новым типам решений задач К. т. п.

Нельзя не упомянуть, наконец, ещё об одном распространённом мнении, согласно к-рому для устранения дефектов теории необходим радикальный шаг, принципиально новая идея, в результате к-рой будет введена в рассмотрение новая универсальная постоянная, напр, фундаментальная (элементарная) длина. Уже неоднократно предпринимались попытки пересмотра представлений о пространстве и времени, также использующие представление о такой фундаментальной длине (см. Квантование пространства-времени).

Анализ причин, приводящих к появлению трудностей в теории, имеет большое значение. Но едва ли не большую роль играют новые пути развития теории. Некоторые из них рассматриваются ниже.
 

V. Некоторые новые методы в квантовой теории поля

Одним из важных примеров нового подхода к исследованию квантовых полей является т. н. аксиоматический подход. Для него типичны тщательный анализ положений, образующий математич. и физич. фундамент теории, и выделение из их числа наиболее "надёжных". К числу таких положений ("аксиом") относятся: релятивистская инвариантность (т. е. удовлетворение требованиям теории относительности); условие причинности, или локальности взаимодействия, приводящее к требованию, чтобы коммутировали операторы полей, относящиеся к различным точкам пространства и к таким моментам времени, к-рые исключают возможность обмена сигналами со скоростью, превосходящей скорость света (исключение сверхсветовых сигналов соответствует требованию, чтобы причина всегда предшествовала во времени следствию); условие т. н. спектральности, означающее требование, чтобы энергии всех допустимых состояний физ. системы (спектр энергий) были положительными (если считать энергию вакуумного состояния равной нулю). Очень важен вопрос о том, можно ли на базе принимаемых аксиом получать экспериментально проверяемые предсказания, относящиеся к взаимодействующим полям. Не менее важно понять, можно ли на данной основе построить непротиворечивую теорию таких полей.

Одна из причин, обусловливающих интерес к аксиоматич. подходу, заключается в том, что он должен указать доступные экспериментальному изучению следствия, вытекающие из совр. представлений о пространстве и времени, и тем самым сделать возможным прямую проверку этих представлений. Так, эксперименты, в к-рых обнаружилось бы нарушение аксиомы локальности, служили бы доказательством необходимости ревизии физической картины пространства-времени на сверхмалых расстояниях.

Важнейшим примером того, что можно вывести из фундаментальных постулатов К. т. п., является CPT-теорема. Оказывается, что из условия локальности и релятивистской инвариантности вытекает, что теория должна быть инвариантной по отношению к трём одновременно производимым операциям: пространственному отражению P (замене координат r на -r), инверсии времени T (замене времени t на - t), зарядовому сопряжению С (замене частиц на античастицы); более наглядно, СРТ-теорема формулируется как утверждение об инвариантности теории по отношению к замене в любом процессе падающих частиц на уходящие античастицы. Нетривиальность СРТ-теоремы видна хотя бы из того, что, напр., инвариантность только по отношению к пространств, отражению или (и) к зарядовому сопряжению отсутствует.

И ещё одна особенность аксиоматич. подхода: проводимые в его рамках тщательные исследования позволяют обнаруживать те исходные положения в традиционной К. т. п., к-рые нуждаются в логич. и математич. уточнении.

Интенсивное развитие техники ускорителей заряженных частиц и обязанное ему небывалое увеличение потока экспериментальной информации об элементарных частицах заметно отразились на направлении теоретических поисков. Особое внимание привлекает величина, имеющая непосредственный физ. смысл,- амплитуда рассеяния (квадрат её модуля определяет вероятность процесса). Для каждого процесса амплитуде рассеяния можно поставить в соответствие диаграмму, напоминающую по виду диаграмму Фейнмана, но имеющую принципиально иной смысл. Рассмотрим, напр., диаграмму, изображённую на рис. 10. Она похожа (рис. 4 и 5) на график вершинной части (и наз. также вершинной), но теперь это не графич. изображение приближённого (полученного при помощи теории возмущений) решения нек-рого уравнения, - график просто фиксирует процесс, в к-ром принимают участие частицы А, В и С. Если масса т_А частицы А больше суммы масс т_в+тс частиц В и С, то диаграмма описывает реальный распад А -> В + С. Если распад энергетически запрещён, то хотя бы одна из линий диаграммы относится к виртуальной частице. Кружок на рис.10 означает, что вершина является физической, т.е. непосредственно соответствует тому, что выступает в эксперименте. Если линии А и В относятся к реальным нуклонам (напр., протонам), а линия С изображает виртуальный фотон, то такая вершинная часть зависит лишь от одной переменной. Требования теории относительности заставляют выбрать в качестве такой переменной величину р²_с = E²_c/с²-p², т. к. только такая комбинация из энергии Sc и импульса р_c частицы не меняется при переходе от одной инерц. системы отсчёта к другой; величина p_c наз. четырёхмерным импульсом частицы С. Для реальной частицы р² = тс², при этом говорят, что частица лежит на массовой поверхности. Виртуальные частицы лежат "вне массовой поверхности"; это обусловлено наличием заметного квантового разброса энергии, или, что эквивалентно, квантового разброса масс.

Зависимость амплитуды рассеяния от р² описывает наблюдаемое на опыте распределение электрич. заряда, магнитного момента и всех высших электрич. и магнитных мультипольных моментов протона (т.н. электромагнитный формфактор протона). В рамках методов, о к-рых шла речь выше и которые типичны для квантовой электродинамики, такой формфактор в принципе следовало бы искать, анализируя "шубу" протона; как уже отмечалось, эффективных методов такого анализа не существует. Важная черта нового подхода - активное использование данных эксперимента для заполнения тех "брешей", к-рые возникают в теории.

Рис. 11.

Приведём ещё один важный пример "обобщённых" диаграмм - т.н. "четы-рёххвостку" (рис. 11). Она изображает либо распад одной частицы на три (А -> В + С + D), если такой процесс энергетически разрешён, либо переходы типа "две частицы -> две частицы", в частности, если частицы в начале и в конце процесса одинаковы,- упругое рассеяние частиц. Рассмотрим этот последний процесс и, ради простоты, примем, что все частицы имеют одинаковую массу и нулевой спин. Тогда амплитуда рассеяния оказывается (если все 4 линии относятся к реальным частицам) зависящей лишь от двух инвариантных переменных. Обычно используются такие переменные: s = (р_A + р_B)²- величина, равная квадрату энергии сталкивающихся частиц в системе центра инерции (т. е. в системе, в к-рой общий импульс частиц Л и В равен нулю), и t = (p_A + p_C)² - величина, определяющая передачу импульса при рассеянии.

Приведённые на рис. 10 и 11 диаграммы не исчерпывают, разумеется, всех возможностей. Однако они играют заметную роль и часто используются в качестве "узлов" при построении более сложных диаграмм, описывающих процессы с участием большего числа (более четырёх) частиц.

Для исследования амплитуды рассеяния f привлекается аппарат теории аналитических функций. При этом s и t, от к-рых зависит амплитуда рассеяния f (s,t), рассматривают как комплексные переменные. Такой подход оправдывается тем, что поведение аналитических функций в значительной мере определяется видом и положением т. н. особенностей функции (см. Особая точка). Один из важнейших видов особенностей - полюс функции f (z) в нек-рой точке z₀, отвечающий обращению функции f в этой точке в бесконечность типа 1/(z-z₀). Оказывается, что полюсы в амплитуде рассеяния могут получить наглядную интерпретацию. Если, напр., в амплитуде рассеяния, описывающей процесс A + В -> С + D, появляется полюс вида l/(s - m²с⁴), то это означает, что процесс идёт через промежуточную (виртуальную) частицу Q, А + В -> Q -> С + D, причём масса промежуточной частицы m_Q = т. Полюс вида l/(t - m²c⁴ ) соответствует диаграмме, изображённой на рис. 12; т есть масса промежуточной (виртуальной) частицы на этой диаграмме. Особенности др. типов также могут интерпретироваться физически как отражение неких важных процессов, проявляющихся на промежуточных этапах рассеяния. Если все эти особенности найдены, то на базе общих теорем теории аналитич. функций можно пытаться полностью восстановить вид амплитуды рассеяния при всех значениях s и t, в частности при непосредственно интересующих физиков действит. значениях этих величин. Для нахождения особенностей используются как уже упоминавшиеся фундаментальные принципы реляти-

Рис. 12.

вистской квантовой механики, так и ряд других. Важную роль играет условие унитарности; оно означает следующее: если процесс может происходить неск. различными способами (протекать по различным "каналам"), напр.

то полная вероятность всех возможных превращений равна единице. Несмотря на кажущуюся тривиальность, такие требования, как унитарность и положительность энергий физич. частиц, вносят довольно жёсткие ограничения на амплитуды рассеяния.

Очень важную роль при построении амплитуды рассеяния для различных процессов играют также требования симметрии (см. Симметрия в квантовой физике), в частности то обстоятельство, что частицы можно разбить на группы, внутри каждой из которых массы растут прямо пропорционально спинам. Необходимо, наконец, учитывать те законы сохранения, которые важны для каждого из конкретных рассматриваемых процессов (законы сохранения электрич. заряда, барионного заряда, лептонного заряда и т. д.).

К. т. п. успешно использует также нек-рые методы, появившиеся впервые в классич. электродинамике. Одним из них является метод, раскрывающий связь между зависящими от частоты действительными и мнимыми частями диэлектрической проницаемости диэлектрика. T. к. зависимость от частоты света показателя преломления диэлектрика наз. дисперсией (а показатель преломления определяется диэлектрич. проницаемостью), то указанная связь наз. дисперсионными соотношениям и. Оказывается, что, даже не делая никаких конкретных предположений о строении диэлектрика, можно, исходя из требования причинности [здесь оно предстаёт в виде требования, чтобы поляризация диэлектрика в любой момент определялась лишь напряжённостями электрич. полей в тот же или предшествующие (но не в последующие) моменты], получить выражение для мнимой части диэлектрич. проницаемости, определяющей поглощение электромагнитной волны, если известна её действит. часть во всём бесконечном интервале частот (и наоборот). Дисперсионные соотношения позволяют сделать выводы, непосредственно проверяемые экспериментально, напр, вывод о том, что в областях прозрачности (т.е. при частотах, отвечающих малому поглощению) дисперсия является нормальной: показатель преломления увеличивается при возрастании частоты. Кроме того, из дисперсионных соотношений можно получить сведения об асимптотическом (при очень больших частотах) поведении действительной и мнимой частей диэлектрич. проницаемости.

Поскольку классич. задача о дисперсии, или о рассеянии электромагнитных волн в веществе, решается в рамках дисперсионного подхода без использования к.-л. конкретных моделей строения вещества, естественно ожидать, что такой подход окажется плодотворным и при рассмотрении др. задач о рассеянии, в частности в К. т. п. Здесь также можно выделить действительную и мнимую (отражающую вклад от неупругих процессов, при к-рых в конечном состоянии появляются новые частицы) части амплитуды рассеяния и установить соотношения между ними. Мнимая часть амплитуды рассеяния учитывает все возможные (в т. ч. и упругие) процессы. T. н. оптическая теорема утверждает, что мнимая часть амплитуды рассеяния по направлению вперёд пропорциональна полной вероятности рассеяния.

Дисперсионный подход, получивший надёжное матем. обоснование и развитие в работах H. H. Боголюбова и его школы, позволил получить ряд интересных результатов. К ним относится, напр., определение точных значений констант взаимодействия пи-мезонов с протонами и нейтронами (нуклонами), а также констант взаимодействия К-мезонов, нуклонов и А-гиперонов. Представляют значит, интерес и предсказания относительно асимптотич. поведения амплитуд рассеяния.

Однако программа полного построения амплитуд процессов в рамках дисперсионного подхода также не находит пока окончат, решения. Видимо, кроме тех общих принципов, о к-рых говорилось выше, теория должна опираться на какие-то более конкретные положения, играющие роль динамич. принципов. Иногда такая новая динамика выступает в виде указания правил, по к-рым следует определять особенности амплитуд; нахождение этих правил требует тщательного использования экспериментальных данных. Однако такой "косвенный" учёт динамики не является единственно возможным.

Нельзя не отметить возрождения интереса к теориям, в к-рых законы динамики вновь приобретают традиционный вид ур-ний, описывающих детальную пространственно-временную картину процессов. Толчком к этому послужили важные исследования в области систематики элементарных частиц и установление новых свойств симметрии (см. Элементарные частицы). За обнаруженными здесь закономерностями естественно искать динамич. законы. Очень интересные, хотя и предварительные результаты попыток согласовать динамику полей со свойствами симметрии элементарных частиц, по-видимому, приводят к необходимости рассмотрения нелинейных (т. е. испытывающих самовоздействие) полей (см. Нелинейная квантовая теория поля). В известном смысле это направление близко к единой К. т. п. (см. Единая теория поля), в к-рой делаются попытки рассматривать материю в целом как некое единое фундаментальное поле (или неск. основных типов фундаментальных полей), а отдельные частицы - как различные проявления (состояния) этого поля.

Было бы преждевременно оценивать все имеющиеся попытки решения проблем, возникающих в К. т. п. Однако сам факт многочисленности таких попыток свидетельствует о серьёзности этих проблем и об усилиях, к-рые предпринимаются для решения осн. вопроса физики - вопроса о строении материи.

Лит.: Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц E. M., Теория поля, M., 1967 (Теоретическая физика, т. 2); Швебер С., Введение в релятивистскую квантовую теорию поля, [пер. с англ.], M., 1963; Боголюбов H. H., Ширков Д. В., Введение в теорию квантованных полей, M., 1957; Садам А., Фундаментальная теория материи (результаты и методы), "Успехи физических наук", 1969, т. 99, в. 4, с. 571 - 611; Ахиезер А. И., Бересте ц-кий В. Б., Квантовая электродинамика, 3 изд., M., 1969; 3 а и м а н Дж., Современная квантовая теория, [пер. с англ.], M., 1971; Боголюбов H. H., ТодоровИ.Т., Логунов А. А., Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля, M., 1969; Идеи Р., Соударения элементарных частиц при высоких энергиях, [пер. с англ.], M., 1970. В. И. Григорьев.