КАЩЕНКО Николай Феофанович [25.4 (7.5).1855, хутор Весёлый, ныне Запорожской обл.,- 29.3.1935, Киев], советский биолог, акад. АН УССР (1919). Окончил Харьковский ун-т (1880). С 1888 проф. с 1895 ректор Томского ун-та, с 1912 проф. Киевского политехнич. ин-та. В 1913-35 директор акклиматизационного сада АН УССР в Киеве. Организатор и директор зоомузея АН УССР (1919-26). Осн. труды в области эмбриологии (показал, что мезенхима образуется не только из мезодермы, но и из эктодермы - эктомезенхи-ма) и патологич. эмбриологии человека. К. принадлежат также исследования сибирской фауны, особенно млекопитающих, и работы по акклиматизации плодовых и др. растений в условиях Сибири и Украины.

Лит.: "Известия АН СССР. Серия биологическая", 1951, № 4 (посвящён К., имеется список трудов К.).
 

КАЩЕНКО Пётр Петрович [28. 12. 1858 (9.1.1859), Ейск, ныне Краснодарского края, -19.2.1920, Москва], русский психиатр и обществ, деятель. В 1881 исключён за революц. деятельность из Моск. ун-та и выслан из Москвы. В 1885 окончил мед. ф-т Казанского ун-та. В 1889-1904 директор психиатрической больницы Нижегородского земства (колония Ляхово). Заведуя в 1904-06 Моск. и в 1907-17 Петерб. психиатрич. больницами (ныне обе больницы носят имя К.), превратил их в образцовые мед. учреждения России. В 1905 принимал участие в революц. событиях в Москве. Организатор и председатель первого в России Центр, статистич. бюро для учёта психич. больных. С мая 1917 руководил нервно-психиатрич. секцией Совета врачебных коллегий, в 1918-20 зав. подотделом нервно-психиатрич. помощи Наркомздрава РСФСР. Разработал основы организации лечения психич. больных в России, выдвинул ряд прогрессивных идей (необходимость амбулаторной помощи, организация патронажа, система нестеснения, трудовая терапия и др.).

Соч.: Статистический очерк положения душевнобольных в Нижегородской губернии, Нижний Новгород, 1895; Ближайшие задачи в деле попечения о душевнобольных в России, M., [1911]; Исторический очерк постройки. .. больницы для душевнобольных С.-Петербургского губернского земства, СПБ, 1912.

Лит.: Юдин Т., Очерки истории психиатрии, M., 1951; Андреев А. Л., П. П. Кащенко и его роль в отечественной психиатрии, "Журнал невропатологии TI психиатрии им. С. С. Корсакова", 1959, т. 59, в. 3. M. И. Аруин.

КАЭДИ, город на Ю. Мавритании, на р. Сенегал, адм. ц. Четвёртой области. Ок. 10 тыс. жит. (1969). Торг.-ремесл. центр р-на, в к-ром сочетается земледелие (просо, кукуруза, батат) с отгонно-пастбищным скотоводством и добычей гуммиарабика.
 

КАЭТАНИ (Caetani) Леоне (12.9.1869, Рим,-24.12.1935, Ванкувер), итальянский исламовед. Окончил в 1891 Рим. ун-т по специальности вост. филология. Много путешествовал по странам Бл. и Cp. Востока. В 1909-13 депутат итал. парламента от Итал. социалистич. партии. Был противником итал. агрессии в Ливии в 1911 -12. В 1930 эмигрировал в Канаду. К.- издатель ряда источников по истории раннего ислама. Автор миграционной теории происхождения ислама, согласно к-рой из Аравии в связи с изменениями физико-геогр. условий кочевые племена периодически переселялись в Двуречье, Палестину, Сирию, основывая здесь города и гос-ва. С последним этапом этого миграционного движения населения Аравии К. связывал возникновение ислама.

Соч.: Annali dell'Islam, v. 1 - 10, Mil., 1905 - 26; Studi di storia qrientale, v. 1, 3, Mil., 1911 - 14; Cronografia islamica, P.- [Roma, 1912]; Onomasticon arabicum..., v. 1 - 2, Roma, 1915.

Лит.: Беляев E. А., Происхождение ислама. Хрестоматия, ч. 1, M.- Л., 1931.
 

КАЭТАНУ (Caetano) Марселу (р. 17. 8.1906, Лисабон), португальский гос. деятель. Сын школьного учителя. В 1927 окончил ф-т права Лисабонского ун-та и поступил на службу в Мин-во финансов, где стал одним из близких сотрудников А. Салазара. С 1933 преподавал право в Лисабонском ун-те. В 1940-44 национальный комиссар Союза португ. молодёжи. Одновременно в 1942-44 директор и декан кафедр экономич. политики и пром. произ-ва Высшего технич. ин-та. В 1944-47 мин. колоний, с 1947 пред, исполкома партии "Национальный союз". В 1950-55 пред, корпоративной палаты парламента. С 1952 пожизненный член Гос. совета. В 1955-58 мин. без портфеля при премьер-министре. В 1952- 1967 ректор Лисабонского ун-та. В 1968 в качестве преемника фаш. диктатора Салазара занял пост пред. Совета Мин. Португалии.
 

KAЮMOB Малик Каюмович (р. 22. 4. 1912, Ташкент), советский оператор и режиссёр документального кино, нар. арт. СССР (1967). Чл. КПСС с 1960. Начал работать в узб. кино в 1931, был актёром, затем оператором. В годы Великой Отечеств, войны 1941- 1945 оператор фронтовых киногрупп. С 50-х гг. выступает и как режиссёр. Снял ряд фильмов о социалистич. строительстве в Узбекистане в предвоен. и после-воен. годы, о памятниках Узбекистана, фильмы о междунар. связях сов. среднеазиатских республик с зарубежными странами: "Могучий поток" (1940), "Советский Таджикистан" (1946), "Социалистический Узбекистан" (1950), "Утро Индии" (1956), "Пять рук человечества" (1958), "Вьетнам - страна моя" (1960), "Регистан" (1965), "Ташкент, землетрясение" (1968), "Дети Ташкента", "Самарканду 2500 лет" (оба в 1969) и др. Гос. пр. Узб. CCP им. Хамзы (1965). Награждён 7 орденами, а также медалями.

Лит.: X а с а н о в В., Малик Каюмов, Таш., 1970.
 

КАЮТА (от голл. kajuit), жилое помещение на судне для членов экипажа или пассажиров. На совр. судах обычное число мест в К. для экипажа 1-2, для пассажиров 1-4. К. может состоять из одного или неск. помещений (напр., из кабинета, спальни и ванной).

KAЮT-KOMПАНИЯ (от каюта и франц. compagnie - общество), общее помещение для командного состава судна, служащее столовой, местом собраний и отдыха.
 

КАЮЩИЕСЯ СНЕГА, своеобразная форма поверхности снежных полей; см. Снега кающиеся.
 

КАЯ Сэйдзи (р. 21.12.1898, префектура Канагава), японский физик. Окончил ун-т Тохоку в Сендае (1923). Доктор фи-зико-матем. наук (1929). Проф. ун-та Хоккайдо (1931-43), Технологич. ин-та в Токио (1941-48). Проф. (с 1943) и ректор (1958-60) Токийского ун-та. Вице-президент Науч. совета Японии (с 1954). Осн. работы посвящены магнитным свойствам ферромагнитных кристаллов. Иностр. чл. АН СССР (1958).

КАЯ, кайя, народность в Бирме. Расселены гл. обр. в нац. авт. гос-ве Кая и р-не Монпей нац. авт. Шанского гос-ва. Общая числ. ок. 100 тыс. чел. (1967, оценка). Язык К. принадлежит к кая-каренской группе тибето-бирман-ских языков. Антропологич. тип - южномонголоидный. В верованиях преобладает буддизм юж. ветви, ок. 20% К.- христиане, однако сохраняются значит, пережитки древних культов (листвы деревьев и др.). Осн. занятие - земледелие; у части К. (т. н. озёрных) - лесосплав с использованием слонов.

П. П. Кащенко. M. К. Каюмов.

Лит.: Народы Юго-Восточной Азии, M., 1966.

КАЯ, государство Кая, нац. автономное гос-во в составе Бирманского Союза. Пл. 11,7 тыс. км². Нас. 113 тыс. чел. (1969). Гл. город - Лойко. ГЭС Лопита на р. Балу-Чаунг (притоке Салуина). Добыча оловянно-вольфрамо-вой руды (р-н Мочи). Заготовка и обработка ценной древесины тика. Небольшие посевы риса.
 

КАЯВА (Kajava) Вильё (р. 22.9.1909, Хельсинки), финский поэт. Род. в семье портного. Учился в Хельсинкском ун-те. Начал лит. деят. в 1935. Автор сб-ков стихов: "Строители" (1935), "Прощай, перелётная птица" (1938), "Суровая земля" (1941), "Окрылённые руки" (1949), "Каждый из нас" (1954), "Не меняясь" (1955), "В синеву неба" (1959) и др. Стихи сб. "Десять стран света" (1961) посвящены борьбе народов Африки против колон, ига. Социальная тематика характерна для MH. стихов и прозы К.; в романе "Помнишь ли ещё Паули?" (1943), сб-ках новелл "Одинокие женщины" (1950), "Зелёная карта" (1951), "Продавец птиц" (1957) К. критикует бурж. общество с позиций христ. гуманизма.

Соч.: Tampereen runot, HeIs., 1966; Kasi-tyolaisen unet, HeIs., 1968.

Лит.: Maailman kirjat ja kirjailijat. Toim. T. Anhava, HeIs., 1957.
 

КАЯГЫМ, корейский многострунный щипковый муз. инструмент. Корпус плоский, удлинённой формы, с 2 круглыми отверстиями на одном конце. Число струн различно. На К. играют соло и в сочетании с поперечной флейтой - ч е т т э. Большой популярностью пользуются ансамбли каягымисток.

КАЯК, небольшая промысловая лодка, в прошлом широко распространённая у многих народов Арктики (сохранилась у части канадских и гренландских эскимосов). Решётчатый остов К. делается из дерева или кости и обтягивается сверху кожей морских животных. В верхней части оставляется отверстие, к-рое затягивается ремнём вокруг пояса гребца. Управляется двумя маленькими вёслами или одним двухлопастным. К. почти непотопляем и хорошо приспособлен для передвижения по морю.

Карякский каяк.
 

КАЯКEHT, бальнеологич. и грязевой курорт в Дагестанской АССР, в 80 км от Махачкалы, в 4,5 км от ст. Каякент и в 3 км от берега Каспийского моря. Лето тёплое (ср. темп-pa июля ок. 25 ⁰C), зима мягкая (ср. темп-pa янв. 1 ⁰C). Леч. средства: торфяные и иловые грязи оз. Дипсус (грязевые процедуры - погружение в озеро на 15 мин); гидросульфидные сероводородные термальные (38- 43 ⁰C) гидрокарбонатно-хлоридно-суль-фатные воды, используемые для ванн. Лечение больных с заболеваниями органов движения и опоры, гинекологич., кожи, периферич. нервной системы.

КАЯКЕНТСКО-ХОРОЧОЕВСКАЯ КУЛЬТУРА, археол. культура племён Дагестана и вост. Чечни позднебррнз. века (кон. 2-го - нач. 1-го тыс. до н. э.). Первые памятники раскопаны у ст. Каякент (Даг. АССР) и у с. Хорочой (Чеч.-Ингуш. АССР). Могильные комплексы характеризуются сидячим или скорченным положением погребённых в кам. гробницах, небольшим кол-вом бронз, предметов и лепной посудой, украшенной налепными валиками или штрихами в ёлочку. Характерные украшения: бронз, височные подвески, сурьмяные бусы, медные трубочки и конусовидные подвески - принадлежности головного убора. Основу х-ва племён К.-х. к. составляли скотоводство и земледелие. Развивались металлообработка и гончарное дело. Утверждались патриархально-родовые отношения.

Каякентско-хорочоевская культура. Одно из погребений у с. Хорочой после расчистки. Кон. 2-го - нач. 1-го тыс. до н.э.

Лит.: Круглов А. П., Северо-Восточный Кавказ во II-I тыс. дон. э., в кн.: Материалы и исследования по археологии СССР, т. 68, M., 1958; МунчаевР. M., Археологические исследования в Нагорном Дагестане в 1954г., в сб.: Краткие сообщения о докладах и полевых исследованиях Института истории материальной культуры АН СССР, т. 71, M., 1958; Крупное E. И., Каякентский могильник - памятник древней Албании, в сб.: Tp. Государственного исторического музея, в. 11, M., 1940.

P. M. Мунчаев.
 

КАЯПУТОВОЕ ДЕРЕВО, дерево сем. миртовых; то же, что каепутовое дерево.

KBA (Kwa), назв. нижнего течения р. Касаи от места впадения прав, притока Фими до устья (ок. 100 км).

KBA ЯЗЫКИ гвинейские, семья языков, распространённых на В. Берега Слоновой Кости, на Ю. Ганы, в Того, Дагомее и юго-зап. части Нигерии. Число говорящих ок. 34 млн. чел. (1967). По классификации амер. учёного Дж. Гринберга составляют подсемью нигеро-кордо-фанской языковой семьи. Включает языковые группы - кру, лагунную, акан, га, адангме и языки - эве, йоруба, нупе, бини, ибо, иджо. К. я. изолирующего типа. Система согласных включает дву-смычные лабиовелярные: звонкий "gb" и глухой "kp" B эве альвеолярный согласный противопоставлен ретрофлексному. Большую роль играют тоны, в т. ч. комбинированные (восходящие, нисходящие). Тоны выполняют словоразличитель-ную роль. Большинство корней односложны. В морфологии нек-рых языков есть рудименты системы именных классов (тви), не вызывающих согласования. Во MH. К. я. существительные имеют спец. префиксный показатель (гласный или носовой), отличающий их от глаголов (тви, йоруба, эве, нупе). Грамматич. значения в глаголе выражаются при помощи аффиксов, служебными словами, редукцией, порядком слов, реже изменением тона (тви, азанде, эве).

Лит.: Hint ze U., Bibliographic der Kwa-Sprachen und der Togo-Restvolker, В., 1959; Greenberg J. H-, The languages of Africa, Bloomington, 1963; Westermann D., Languages of West Africa, L., 1970. H. B. Oxomima.

КВАГГА (Equus quagga), один из видов зебр. Распространена в Юж. Африке. 5 подвидов, различающихся окраской. Собственно К. (E. qu. quagga) отличалась от др. зебр более слабо развитыми поперечными полосами на туловище и на ногах. На воле истреблена ок. 1860; последняя умерла в зоопарке Амстердама в 1883. Др. подвиды К. имеют поперечные полосы на всём теле. Б у р-челлиева зебра (E. qu. burchel-H) истреблена в 1910. Зебра Чапма-н a (E. qu. antiquorum), зебра Селу-с a (E. qu. selousi) и зебраГран-т a (E. qu. boehmi) встречаются как в естественных условиях, так и в заповедниках.
 

КВАДЖОН ПОП, закон о чиновных наделах, земельный закон в Корее, изданный в 1391. Восстановил принцип верховной гос. собственности на землю и соответственно - право гос-ва собирать налоги со всех земель. В рамках гос. собственности предусматривались различные формы феод, и крест, землевладения. Осн. категорией феод, землевладения были чиновные наделы (квад-жон), размер к-рых зависел от присвоенного их держателям ранга (ква). Владельцы наделов не имели права полной собственности на землю, но по К. п. собирали в свою пользу налог. Осуществление К. п. принесло выгоду средним и мелким феодалам, связанным с гос. службой, и ликвидировало поземельные привилегии родовитой знати Коре.
 

КВАДРАНТ (от лат. quadrans, род. падеж quadrantis -4-я часть), 1) К. плоскости - любая из 4 областей (углов), на к-рые плоскость делится двумя взаимно перпендикулярными прямыми, принятыми в качестве осей координат. 2) К. круга - сектор с центр, углом в 90°, 1/4 часть круга.

КВАДРАНТ в астрономии, астрономич. угломерный инструмент, служивший для измерения высоты небесных светил над горизонтом и угловых расстояний между светилами. К. состоит из четверти круга, дуга к-рого разделена на градусы и доли градуса, обычно устанавливавшейся в вертикальной плоскости. Вокруг оси, проходящей через центр круга и расположенной перпендикулярно к его плоскости, может поворачиваться линейка с диоптрами или зрительная труба. На астрономич. обсерваториях использовались большие стенные К., неподвижно прикреплённые к каменным стенам здания. В конце 17 в. К. вышел из употребления. См. также Секстант.

КВАДРАНТИДЫ, метеорный поток с радиантом на границе созвездий Волопаса и Дракона (на звёздных картах начала 19 в. эта область обозначалась созвездием Стенного Квадранта). К. известны с 1839. Наблюдаются ежегодно в конце декабря - начале января; 3-4 января Земля проходит плотное центральное сгущение метеорного роя К. менее чем за сутки. К.- один из наиболее активных потоков.
 

КВАДРАТ (от лат. quadratus - четырёхугольный), 1) равносторонний прямоугольник. К. является правильным многоугольником. 2) К. числа а - произведение а*а = a²; назв. связано с тем, что именно таким произведением выражается площадь квадрата, сторона к-рого равна а.

КВАДРАТ в полиграфии, единица линейных мер, применяемая для измерения шрифтов, ширины и высоты полос набора, полей и т. д. IK.= = 48 пунктам = 18,0412 мм.

КВАДРАТИЧНАЯ ОШИБКА, понятие теории вероятностей и матем. статистики. См. Квадратичное отклонение.

КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА, форма 2-й степени от п переменных x₁, x₂,..., x_n, т. е. многочлен от этих переменных, каждый член к-рого содержит либо квадрат одного из переменных, либо произведение двух различных переменных. Общий вид К. ф. при п = 2:

ах₁²+bx₂²+ сх₁х₂, при п = 3:

ах₁² + bx₂² + cx₃² + dx₁x₂ + ex₁x₃ + fx₂x₃,

где a, b, ...,f -к.-л. числа. Произвольная К. ф. записывается так:

причем считают, что а_ij = a_ji. К. ф. от 2, 3 и 4 переменных непосредственно связаны с теорией линий (на плоскости) и поверхностей (в пространстве) 2-го порядка: в декартовых координатах уравнение линии и поверхности 2-го порядка, отнесённых к центру, имеет вид A(x) =1, т. е. его левая часть является К. ф.; в однородных координатах левая часть любого ур-ния линии и поверхности 2-го порядка является К. ф. При замене переменных x₁, x₂, ..., х_nдр. переменными y₁, y₂, ..., y_п, являющимися линейными комбинациями старых переменных, К. ф. переходит в другую К. ф. Путём соответствующего выбора новых переменных (невырожденного линейного преобразования) можно привести К. ф. к виду суммы квадратов переменных, умноженных на нек-рые числа. При этом ни число квадратов (ранг К. ф.), ни разность между числом положительных и числом отрицательных коэффициентов при квадратах (сигнатура К. ф.) не зависят от способа приведения К. ф. к сумме квадратов (закон и н е р-ц и и). Указанное приведение можно осуществить даже специальными (т. н. ортогональными) преобразованиями. Геометрически в этом случае такое преобразование соответствует приведению линии или поверхности 2-го порядка к главным осям.

При рассмотрении комплексных переменных изучаются К. ф. вида

где x_j - число, комплексно сопряжённое с x_j. Если, кроме того, такая К. ф. принимает только действительные значения (это будет, когда a_ij = a_ji), то её наз. эрмитовой. Для эрмитовых форм справедливы основные факты, относящиеся к действительным К. ф.: возможность приведения к сумме квадратов, инвариантность ранга, закон инерции.

Лит.: Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, 3 изд., M., 1970.
 

КВАДРАТИЧНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ,квадратичное уклонение, стандартное отклонение величин x₁, x₂, ..., х_nот а - квадратный корень из выражения

Наименьшее значение К. о. имеет при а= х, где х - среднее арифметическое величин x₁, x₂, .., x_n.

В этом случае К. о. может служить мерой рассеяния системы величин x₁, x₂, .., x_n.. Употребляют также более общее понятие взвешенного К. о.

числа p₁ , .. ., р_п называют при этом весами, соответствующими величинам x₁, x₂, .., x_n. Взвешенное К. о. достигает наименьшего значения при а, равном взвешенному среднему:

(p₁x₁ +···+ p_nx_n)/(p₁ +···+p_n).

В теории вероятностей К. о. _xслучайной величины X (от её математич. ожидания) называют квадратный корень из дисперсии

К. о. употребляют как меру качества статистич. оценок и наз. в этом случае квадратичной ошибкой. См. Ошибок теория.
 

КВАДРАТИЧНОЕ СРЕДНЕЕ, число (S), равное корню квадратному из среднего арифметического квадратов данных чисел a₁, а₂, ..., а„:

КВАДРАТИЧНЫЙ ВЫЧЕТ, понятие теории чисел. К. в.  о модулю т- число а, для которого сравнение х²= = a(mod т) имеет решение: при нек-ром целом x число х² - а делится на т; если это сравнение не имеет решений, то а наз. квадратичным невычетом. Напр., если m = 11, то число 3 будет К. в., так как сравнение х² = 3 (mod H) имеет решения х = 5, х = 6, а число 2 будет невычетом, т. к. не существует чисел х, удовлетворяющих сравнению х²= 2 (mod H). К. в. являются частным случаем вычетов степени n для n = 2. Если т равно простому нечётному числу р, то среди чисел 1, 2, ..., p- 1 имеется (р - 1)/2 К. в. и (р - 1)/2 квадратичных невычетов. Для изучения К. в. по простому модулю р вводится Лежандра символ (a/p), определяемый так: если а взаимно просто с р, то полагают (a/p) = 1, когда а- К. в., и (a/p)= -1, когда а- квадратичный невычет. Основной теоремой в этом круге вопросов является т. н. закон взаимности К. в.: если р и q - простые нечётные числа, то

Эту закономерность открыл ок. 1772 Л. Эйлер, совр. формулировка дана А. Ле-жандром, полное доказательство впервые дал в 1801 К. Гаусс. Удобным обобщением символа Лежандра является Якоби символ. Закон взаимности К. в. получил многочисленные обобщения в теории алгебр, чисел. И. M. Виноградовым и др. учёными изучалось распределение К. в. и суммы значений символа Лежандра.

Лит.: Виноградов И. M., Основы теории чисел, 8 изд., M., 1972.
 

КВАДРАТНО - ГНЕЗДОВОЙ ПОСЕВ, способ посева с.-х. культур, при к-ром семена размещают по неск. штук в углах квадрата (прямоугольника). При К.-г. п. растения на поле размещаются равномернее и лучше используют почв, и воз д. питание и солнечный свет; сокращается расход семян; создаются условия для механизированной обработки междурядий в продольном и поперечном направлениях, позволяющей поддерживать почву рыхлой и чистой от сорняков; значительно снижаются затраты ручного труда. К.-г. п. применяют для посева кукурузы, подсолнечника, хлопчатника, клещевины, нек-рых овощных и др. культур. В СССР К.-г. п. впервые начал применяться в 1932-35 для кукурузы (в УССР). Расстояние между гнёздами и кол-во семян в гнезде устанавливают в зависимости от биол. особенностей культуры, почв. условий и запасов влаги в почве. Напр., в большинстве р-нов возделывания кукурузы на зерне и подсолнечника на семена лучшие результаты получают при расстоянии между гнёздами 70 X 70 см и 2 растениях в гнезде. Для К.-г. п. сельскохозяйственных культур используют навесные СКНК-4, СКНК-6, СКНК-8, СТХ-4А, СТХ-4Б и др. квадратно-гнездовые сеялки. Для точного высева нужного числа растений в гнезде семена калибруют и учитывают их полевую всхожесть. См. Посев. С. А. Воробьёв.

КВАДРАТНОЕ ПИСЬМО (др.-евр.- ке-таб мерубба), ответвление западносемит-ского письма, восходит к арамейскому (с 3 в. до н. э.), в основном сформировалось к 2-1 вв. до н. э. Письмо арамейских и др.-евр. надписей, лит-ры на др.-евр. языке, совр. языков иврит, идиш и ладино (исп.-евр. язык Средиземноморья). Курсивные разновидности: ашке-нази (Вост. Европа), сефарди (Средиземноморье), раши (раввинское письмо, в Италии, употребляется в религ. текстах). Письмо первоначально чисто консонантное. В 6-8 вв. создаётся неск. систем огласовок с помощью диакритик; основная, ныне принятая,- Тивериадская. См. Еврейское письмо.

Лит.: Дирингер Д., Алфавит, пер. с англ., M., 1963, с. 311 - 319.
 

КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ, уравнение вида ах² + bх + с = 0, где а, b, с -

к.-л. числа, наз. коэффициентами уравнения. К. у. имеет два корня, к-рые находятся по формулам:

Выражение D = b² - 4ас наз. дискриминантом К. у. Если D > О, то корни К. у. действительные различные, если D < О, то корни сопряжённые комплексные, если D = О, то корни действительные равные. Имеют место формулы Виета: x₁ + x₂ = -b/a, x₁x₂ = с/а, связывающие корни и коэффициенты К. у. Левую часть К. у. можно представить в виде а(х - x₁)(x - x₂). Функцию у = ах² + + bх + с наз. квадратным трёхчленом, её графиком служит парабола с вершиной в точке М(-b/2а; с - b²/4a) и осью симметрии, параллельной оси Oy; направление ветвей параболы совпадает со знаком а. Решение К. у. было известно в геометрич. форме ещё математикам древности.
 

КВАДРАТУРА (лат. quadratura - придание квадратной формы), 1) число квадратных единиц в площади данной фигуры. 2) Построение квадрата, равновеликого данной фигуре. 3) Вычисление площади или интеграла (см. Интегральное исчисление).
 

КВАДРАТУРА в астрономии, одна из характерных конфигураций, т. е. взаимных положений, Солнца, планет, Луны на небесной сфере. Подробнее см. Конфигурации в астрономии.

КВАДРАТУРА КРУГА, задача о разыскании квадрата, равновеликого данному кругу. Под К. к. понимают как задачу точного построения квадрата, равновеликого кругу, так и задачу в ы-числения площади круга с тем или иным приближением. Задачу о точной К. к. пытались решить первоначально с помощью циркуля и линейки. Математика древности знала ряд случаев, когда с помощью этих инструментов удавалось преобразовать криволинейную фигуру в равновеликую ей прямолинейную (ем., напр., Гиппократовы. луночки). Попытки решения задачи о К. к., продолжавшиеся в течение тысячелетий, неизменно оканчивались неудачей. С 1775 Парижская АН, а затем и др. академии стали отказываться от рассмотрения работ, посвящённых К. к. Лишь в 19 в. было дано науч. обоснование этого отказа: строго установлена неразрешимость К. к. с помощью циркуля и линейки.

Если радиус круга равен г, то сторона равновеликого этому кругу квадрата равна х = r()^1/2 . T. о., задача сводится к следующей: осуществить построение, в результате к-рого данный отрезок (r) был бы умножен на данное число ()^1/2. Однако графич. умножение отрезка на число осуществимо циркулем и линейкой, если упомянутое число - корень алгебр, ур-ния с целыми коэффициентами, разрешимого в квадратных радикалах. T. о., окончательная ясность в вопросе о К. к. могла быть достигнута на пути изучения арифметич. природы числа я. В кон. 18 в. нем. математиком И. Ламбертом и франц. математиком А. Лежандром была установлена иррациональность числа л. В 1882 нем. математик Ф. Линдеман доказал, что число я (а значит и у л) трансцендентно, т. е. не удовлетворяет никакому алгебр, ур-нию с целыми коэффициентами. Теорема Линдемана положила конец попыткам решения задачи о К. к. с помощью циркуля и линейки. Задача о К. к. становится разрешимой, если расширить средства построения. Уже греч. геометрам было известно, что К. к. можно осуществить, используя трансцендентные кривые; первое решение задачи о К. к. было выполнено Диностратом (4 в. до н. э.) при помощи спец. кривой -т. н. квадратрисы (см. Линия). О задаче нахождения приближённого значения числа я см. в ст. Пи.

Лит.: О квадратуре круга (Архимед, Гюйгенс, Ламберт, Лежандр). С приложением истории вопроса, пер. с нем., 3 изд., М.-Л., 1936; С т рой к Д. Я., Краткий очерк истории математики, пер. с нем., 2 изд., M., 1969.
 

КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ, формулы, служащие для приближённого вычисления определённых интегралов по значениям подинтегральной функции в конечном числе точек. Наиболее распространённые К. ф. имеют вид-.

где
x₁, x₂, ..., x_n - узлы К. ф., A₁, A₂, ..., A_n - её коэффициенты и R_n- остаточный член. Напр.,

где а <  < b (формула трапеций). Иногда К. ф. наз. также формулами механических, или численных, квадратур. См. также Ko-теса формулы, Симпсона формула, Чебышева формула.

Лит.: Крылов В. И., Приближённое вычисление интегралов, 2 изд., M., 1967.
 

КВАДРИВИУМ (лат. quadrivium. букв.- пересечение четырёх дорог), повышенный курс светского образования в ср.-век. школе, состоявший из 4 предметов: музыки, арифметики, геометрии и астрономии. Вместе с нач. курсом тривиумом К. составлял т. н. "семь свободных искусств".
 

КВАДРИГА (лат. quadriga), античная (др.-греч., рим.) колесница на 2 колёсах, запряжённая четвёркой лошадей, расположенных в 1 ряд; возница управлял ими стоя. Лёгкие К. применялись для конских состязаний, занимавших большое место в Олимпийских и др. обществ, играх. Описания этих состязаний есть у Гомера, Вергилия и др. античных авторов. Массивными К. пользовались императоры и полководцы-победители для торжеств. процессий. Скульптурные изображения К. с античными божествами или аллегорич. фигурами славы, счастья и т. п. в качестве возниц служили украшением античных строений. Барельефы с изображением К. часто встречаются на античных медалях, камеях и геммах. В России и Зап. Европе 18-19 вв. К. украшались фронтоны монументальных зданий и триумфальные арки.

КВАДРИЛЛИОН (франц. quadrillion), число, изображаемое единицей с 15 нулями, т. е. число 10¹⁵. Иногда К. наз. число 10²".
 

КВАДРИРУЕМАЯ ОБЛАСТЬ, область, имеющая определённую площадь, или, что то же,- определённую плоскую меру в смысле Жордана (см. Мера множества). Отличительным свойством К. о. D является возможность заключить ее "между" двумя многоугольниками так, чтобы один из них содержался внутри данной К. о., другой, напротив, содержал её внутри, а разность их площадей могла бы быть произвольно малой. В этом случае существует только одно число, заключённое между площадями всех "охватывающих" и "охватываемых" многоугольников; его и наз. площадью К. о. D. Свойства квадрируемых областей: если К. о. D содержится в К. о. D₁, то площадь D не превосходит площади D₁; область D. состоящая из двух непересекающихся К. о. D₁ и D₂, квадрируема, и её площадь равна сумме площадей областей D₁ и D2; общая часть двух К. о. D₁ и D₂ снова является К. о. Для того чтобы область D была квадрируема, необходимо и достаточно, чтобы её граница имела площадь, равную нулю; существуют области, не удовлетворяющие этому условию и, следовательно, неквадрируемые.

КВАДРУПОЛЬ (от лат. quadrum - четырёхугольник, квадрат и греч. polos- полюс), система заряженных частиц, полный электрич. заряд и электрич. диполь-ный момент к-рой равны нулю. К. можно рассматривать как совокупность двух одинаковых диполей с равными по величине и противоположными по направлению дипольными моментами, расположенных на нек-ром расстоянии друг от друга (см. рис.). На больших расстояниях R от К. напряжённость его электрич. поля E убывает обратно пропорционально четвёртой степени R (E ~ 1/R⁴), а зависимость E от зарядов и их расположения описывается в общем случае набором из пяти независимых величин, к-рые вместе составляют квадрупольный момент системы. Квадрупольный момент определяет также энергию К. во внешнем электрич. поле. В частном случае К., изображённых на рис., квадрупольный момент по абс. величине равен 2eIa, где е - заряд, l - размер диполей, а - расстояние между центрами диполей. К. является мулътиполем 2-го порядка.

Примеры относительного расположения диполей в квадруполе.
 

Лит.: Ландау Л. Д. и Л и ф-шиц E. M., Теория поля, 5 изд., M., 1967, § 41. Г. Я. Мякишев.
 

КВАДРУПОЛЬНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ, взаимодействие систем заряженных частиц на большом расстоянии друг от друга при условии, что полный электрич. заряд каждой системы и её электрич. диполъный момент равны нулю. Если электрич. заряд или дипольный момент системы отличны от нуля, то К. в. обычно можно пренебречь. К.в. определяется наличием у систем т. н. квадруполь-ного момента (см. Квадруполь). Энергия К. в. атомов (не обладающих дипольным электрич. моментом) убывает с расстоянием R как 1/R⁵, в то время как энергия взаимодействия дипольных моментов, наводимых в этих атомах вследствие их взаимной поляризации, меняется с расстоянием как 1/R⁶. Поэтому К. в. атомов на больших расстояниях оказывается доминирующим. Квадрупольные моменты атомов могут быть рассчитаны с помощью квантовой механики.

Квадрупольным моментом обладают многие атомные ядра, распределение электрич. заряда в к-рых не обладает сферич. симметрией (см. Квадрупольный момент ядра, Ядро атомное). К. в. играет большую роль в ядерной физике при возбуждении ядер с нулевым дипольным моментом кулоновским полем налетающих на ядра заряженных частиц. Квадрупольные моменты ядер определяются экспериментально. Г. Я. Мякишев.

КВАДРУПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ, излучение электромагнитных волн, обусловленное изменением во времени квад-рупольного момента излучающей системы (см. Излучение).
 

КВАДРУПОЛЬНЫЙ МОМЕНТ ЯДРА, величина, характеризующая отклонение распределения электрич. заряда в атомном ядре от сферически симметричного (см. Ядро атомное). К.м. я. имеет размерность площади и обычно выражается в см². Для сферически симметричного ядра К. м. я. Q = О. Если ядро вытянуто вдоль оси симметрии, то О - положительная величина, если ядро сплюснуто вдоль оси, то отрицательная. К. м. я. изменяются в широких пределах, напр, для ядра ¹⁷₈ЪO Q = -0,027-10-²⁴ см², для ядра ²⁴¹₉₃Am Q = + 14,9-10-²⁴ см². Большие К. м. я., как правило, положительны. Это означает, что при значительном отклонении от сферич. симметрии ядро имеет форму вытянутого эллипсоида вращения. Лит. см. при ст. Ядро атомное.

В. П. Парфёнова,
 

КВАДЫ (лат. Ouadi), германское племя, жившее в 1 в. н. э. к С. от среднего течения Дуная, а также по верховьям Эльбы и Одера. К. в 166-180 участвовали в Маркоманской войне с Римом, были разбиты и признали господство Рима. Вскоре освободились, но в 375 были вновь покорены. В нач. 5 в. часть К. вместе с вандалами переселилась в Испанию, основав на С.-З. Испании своё королевство (в 585 завоёвано вестготами) (К. в Испании иногда наз. квадо-свевами, а их королевство - свевским).

КВАЗАРЫ (англ. quasar, сокр. от quasi-stellar radiosource), кваз и звёздные объекты, квазизвёзды, сверхзвёзды, небесные объекты, имеющие сходство со звёздами по оптическому виду и с газовыми туманностями по характеру спектров, обнаруживающие, кроме того, значит, красные смешения (до 6 раз превышающие наибольшие из известных у галактик). Последнее свойство определяет важную роль К. в астрофизике и космологии. Открытие К. явилось результатом повышения точности определения координат внегалактич. источников радиоизлучения, позволившего значительно увеличить число радиоисточников, отождествлённых с небесными объектами, видимыми в оптич. лучах. Первое совпадение радиоисточника с звёздоподобным объектом было обнаружено в 1960, а в 1963, когда амер. астроном M. Шмидт отождествил сдвинутые вследствие эффекта красного смещения линии в спектрах таких объектов, они были выделены в особый класс космич. объектов - квазары. T. о., первоначально были обнаружены К., являющиеся сильными радиоисточниками, но впоследствии были найдены К. также и со слабым радиоизлучением (ок. 98,8% всех К., доступных обнаружению). Эта многочисл. разновидность К. наз. радиоспокойными К., квазигалактиками (кваза-гами), интерлоперами, а иногда - голубыми звёздоподобными объектами. Полное число доступных наблюдениям К. составляет ок. 10^s; из них уже отождествлено с оптич. объектами ок. 1000, но достоверная принадлежность к К. по спектрам установлена лишь примерно для 200.

В спектрах К. обнаруживаются мощное ультрафиолетовое излучение и широкие яркие линии, характерные для горячих газовых туманностей (темп-pa ок. 30 000 ⁰C), но значительно сдвинутые в красную область спектра. При красных смещениях, превышающих 1,7, на снимках спектров К. становится видна даже резонансная линия водорода La 1216 А. Изредка в спектрах К. наблюдаются узкие тёмные линии, обусловленные поглощением света в окружающем К. меж-галактич. газе. На фотографиях К. имеют вид звёзд, т. о. их угловые диаметры менее 1"; только ближайшие К. обнаруживают оптич. особенности: эллиптич. форму звездообразного изображения, газовые выбросы. По сильному ультрафиолетовому излучению, характеризуемому голубыми показателями цвета, К. удаётся отличать на фотографиях от нормальных звёзд, а по избыточному инфракрасному излучению - от белых карликов, даже если К. не имеют радиоизлучения.

Вариации блеска многих К. являются, по-видимому, одним из фундаментальных свойств К. (кратчайшая вариация с периодом ~ 1 ч, максимальные изменения блеска - в 25 раз). Поскольку размеры переменного по блеску объекта не могут превышать Ct (с - скорость света), размеры К. не могут быть более 4-10¹² м (менее диаметра орбиты Урана), и только при движении вещества со скоростью, близкой к скорости света, эти размеры могут быть больше. В отличие от непрерывного излучения, вариации интенсивности в спектральных линиях редки.

Как радиоисточники, К. сходны с радиогалактиками: у К. часто наблюдаются два, не обязательно одинаковых по интенсивности, протяжённых радиоисточника, находящихся на значительном расстоянии по разные стороны от оптич. объекта. Механизм радиоизлучения и тех и других синхротронный (см. Синхротрон-нов излучение). Но в К., кроме того, обнаружены компактные радиоисточники, порождающие вариации радиоизлучения на сантиметровых волнах; они представляют собой расширяющиеся облака релятивистских частиц, существующие неск. лет. Механизм их радиоизлучения связан, по-видимому, с плазменными колебаниями.

Природа К. изучена ещё мало. В зависимости от толкований природы красного смещения в их спектрах обсуждаются три гипотезы (нач. 70-х гг. 20 в.). Наиболее правдоподобна космологич. гипотеза, согласно к-рой большие красные смещения свидетельствуют о том, что К. находятся на огромных расстояниях (до 10 гигапарсек) и принимают участие в расширении Метагалактики. На этом предположении основаны определения расстояний до К. (по красным смещениям) и оценки их масс и светимостей. В космологич. гипотезе К. по абс. звёздным величинам (-27) и массам (ок. 10³⁸ кг, т. е. 10⁸ масс Солнца) являются действительно сверхзвёздами. Физич. природа К. в этом случае связывается с гра-витац. коллапсом массы газа (см. Коллапс гравитационный), к-рый остановлен вследствие магнитной турбуленции или вращения К.

Большой расход энергии на все виды электромагнитного излучения при этой гипотезе ограничивает активную стадию К. 10⁴ годами. По мощности радиоизлучения (~10⁴⁵ вт) K. сравнимы с радиогалактиками. Предполагается, что К. являются сверхмассивными звёздами радиусом порядка 10¹² м, плазма к-рых непрерывно, а также сильными взрывами выбрасывает потоки частиц различных энергий. В радиусе порядка 10¹⁶м К. окружены облаками ионизованного газа, создающими яркие линии в спектрах К., а на расстояниях порядка 10¹⁹ м находятся облака релятивистских частиц, запертых в слабых магнитных полях,- радиоизлучающие области К.

Ближайшие К. находятся далее 200 мегапарсек. Относительные редкость и кратковременность их существования подтверждают предположение, что К.- это стадия эволюции крупных космич. масс, напр, ядер галактик. T. о., оказывается неслучайным сходство К. с N-галактиками, галактиками Сейферта и голубыми компактными галактиками по характеру спектров, вариациям блеска и радиоизлучения. Ближайшие К., у к-рых удалось рассмотреть на фотографиях структуру, оказались N-галакти-ками, на основании чего их объединили в один класс компактных сверхярких объектов. Загадочна привода объекта BL Ящерицы (и ещё нескольких), к-рый по колебаниям блеска, радиоизлучению, показателям цвета и оптич. структуре выглядит как типичный К., но в то же время не имеет в спектре никаких линий.

Согласно другой гипотезе, К. со скоростями, близкими к скорости света, разлетаются в результате взрыва в центре Галактики и выброса вещества массой ок. 10⁴⁰ кг, происшедших несколько млн. лет назад. По этой гипотезе массы К. составляют 10³¹ кг (5 масс Солнца), а расстояния до них 60-600 килопарсек. Однако неизвестны физич. процессы, к-рые могли бы дать необходимую для взрыва энергию (10⁵⁸дж).

В третьей гипотезе предполагается, что К.- компактные газовые объекты размерами 10¹⁶-10" м и массами 10⁴²- 10⁴³кг, в спектрах к-рых линии имеют большие красные смещения гравитационного характера.

Лит.: Б е р б и д ж Д ж. и Б е р-6 и д ж M., Квазары, пер. с англ., M., 1969. Ю. П. Псковский.
 

КВАЗИ... (от лат. quasi - нечто вроде, как будто, как бы), составная часть сложных слов, соответствующая по значению словам: "якобы", "мнимый", "ложный" (напр., квазиучёный). См. Квазистационарный процесс, Квазиупругая сила и др.
 

КВАЗИГЕОИД (от квази...), см. в ст. Геоид.
 

КВАЗИЗВЁЗДЫ, то же, что квазары.

КВАЗИИМПУЛЬС (от квази... и импульс), векторная величина, характеризующая состояние квазичастицы (напр., подвижного электрона в периодическом поле кристаллич. решётки); подробнее см. Квазичастицы, Твёрдое тело.

КВАЗИМОДО (Quasimodo) Сальваторе (20.8.1901, Сиракуза,-14.6.1968, Неаполь), итальянский поэт. В 30-е гг. примыкал к направлению герметизма с его мотивами тоски и одиночества (сб-ки "Вода и земля", 1930; "Потонувший гобой", 1932; "Эрато и Аполлион", 1936; "Стихи", 1938). В период антифашистского Сопротивления К. в своей поэзии обратился к социальной действительности (сб. "День за днём", 1947). В послевоенном творчестве К. звучит гражд. и патриотич. тема ("Жизнь не сон", 1949; "Фальшивая и подлинная зелень", 1954), вера в народ, к к-рому поэт непосредственно обращается (сб. "Земля несравненная", 1958). Чл. Всемирного Совета Мира (1950). Нобелевская пр. (1959).

Соч.: Tutte Ie poesie, Verona, 1961: в рус. пер.- Моя страна - Италия. Пер. с итал., под ред. К. Зелинского. [Вступит, ст. А. Сур-кова], M., 1961; [Стихи], в кн.: Итальянская лирика. XX век, M-, 1968.

Лит.: Ted esc о N. S., Quasimodo е Ia condizione poetica del nostro tempo, Palermo, [1959] (имеется библ.); Pen-to В., Lettura di Quasimodo, Mil., [1966]; Mazzamuto P., Salvatore Quasimodo, [Palermo, 1967]; Quasimodo e Ia critica. A cura di G. Finzi, [Mil., 1969].

P. И. Хлодовский.
 

КВАЗИОПТИКА (от квази... и оптика), область физики, в к-рой изучается распространение электромагнитных волн с длиной волны < 1-2 мм (коротковолновая часть диапазона миллиметровых радиоволн - субмиллиметровые волны и примыкающий к ней оптич. диапазон) в условиях, когда распространение волн подчиняется законам геометрической оптики, но дифракционные явления также играют существенную роль. Результатом этих исследований является создание квазиоптических устройств - открытых резонаторов и квазиоптических линий, в к-рых могут возбуждаться и распространяться волны указанного диапазона.

Для радиоволн короче 1-2 мм объемные резонаторы и волноводы (см. Радиоволновод) с размерами порядка длины волны А, широко применяемые для сантиметоовых волн, практически непригодны. Омические потери на этих длинах волн столь велики, что волна почти полностью затухает в волноводах на расстояниях ~ 10-20 см от источника, а добротность резонатора мала. В связи с этим были созданы открытые резонаторы и открытые передающие тракты (линзовые и зеркальные квазиоптич. линии).

Простейший открытый резонатор состоит из 2 параллельных зеркал, расположенных друг против друга. Пучок света последовательно отражается от каждого из зеркал и возвращается к противоположному. Ширина пучка гораздо больше длины волны, но т. к. расстояние между зеркалами гораздо больше ширины пучка, то существенной оказывается дифракционная расходимость пучка. Это явление, а также дифракция на краях зеркал приводят к неоднородности в распределении поля по сечению пучка и к появлению потерь энергии на излучение. Для уменьшения потерь (увеличения добротности резонатора) применяются изогнутые зеркала (в частности, конфокальный резонатор), к-рые фокусируют лучи.

Открытые разонаторы, хотя их размеры велики по сравнению с длиной волны , обладают достаточно редким (дискретным) спектром собственных частот. Поэтому они оказались очень удобной резонансной системой не только для лазеров (см. Оптический резонатор), но и для всей аппаратуры для электромагнитных золн оптич. и субмиллиметрового диапазонов .

В квазиоптич. линиях пучок (ширина к-рого >> ) последовательно проходит через ряд длиннофокусных линз или слабоизогнутых зеркал (корректоров). Корректоры фокусируют пучок, компенсируя его дифракционное расширение при распространении между ними. Такие линии могут применяться и в системах оптической связи. Для субмиллиметровых и миллиметровых волн могут применяться также радиоволноводы, широкие по сравнению с длиной волны , в к-рых используются зеркала, линзы и призмы. Лит-: Техника субмиллиметровых волн, под ред. P. А. Валитова, M., 1969; Квазиоптика, пер. с англ, и нем., под ред. Б. 3. Ka-ценеленбаума и В. В. Шевченко, M., 1966; Вайнштейн Л. A-, Открытые резонаторы и открытые волноводы, M., 1966; Каценеленбаум Б. 3., Высокочастотная электродинамика, M., 1966.

Б.З. Каценеленбаум.
 

КВАЗИСТАТИЧЕСКИИ ПРОЦЕСС, равновесный процесс, бесконечно медленный переход термодинамич. системы из одного равновесного состояния в другое, при к-ром в любой момент физ. состояние системы бесконечно мало отличается от равновесного. Равновесие в системе при К. п. устанавливается во много раз быстрее, чем происходит изменение физ. параметров системы. Всякий К. п. является обратимым процессом. К. п. играют в термодинамике важную роль, т. к. термодинамич. циклы, включающие одни К. п., дают макс, значения работы (см. Карно цикл). Термин "К.п." предложен в 1909 К. Кара-теодори.
 

КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЙ ПРОЦЕСС, процесс, протекающий в ограниченной системе и распространяющийся в ней так быстро, что за время распространения этого процесса в пределах системы её состояние не успевает измениться. Поэтому при рассмотрении процесса можно пренебречь временем его распространения в пределах системы. Напр., если в к.-л. участке замкнутой электрич. цепи действует переменная внешняя эдс, но время распространения электромагнитного поля до наиболее удалённых точек цепи столь мало, что величина эдс не успевает сколько-нибудь заметно изменяться за это время, то изменения напряжений и токов в цепи можно рассматривать как К. п. В этом случае переменные электрич. и магнитные поля, создаваемые движущимися в цепи электрич. зарядами (распределение и скорости к-рых изменяются со временем), оказываются в каждый момент времени такими же, какими были бы стационарные электрич. и магнитные поля (поля стационарных зарядов и токов), распределение и скорости к-рых (не изменяющиеся со временем) совпадают с распределением и скоростями зарядов, существующими в системе в рассматриваемый момент времени. Однако в случае нестационарных токов наряду с электрич. полями зарядов возникают вихревые электрич. поля, обусловленные изменениями магнитных полей. Действие этих полей может быть учтено путём введения эдс индукции (наряду со сторонними эдс источников). Но введение эдс индукции не нарушает основной черты стационарных токов - равенства сил токов во всех сечениях неразветвлённой цепи. В силу этого для электрич. цепей, удовлетворяющих условиям квазистациодарности (квазистационарных токов), справедливы Кирхгофа правила.

Условия квазистационарности наиболее просто формулируются для случая пе-риодич. процессов. Процессы можно считать квазистационарными в случае, если время распространения между наиболее удалёнными друг от друга точками рассматриваемой системы мало по сравнению с периодом процесса или, что то же самое, когда расстояние между указанными точками мало по сравнению с соответствующей длиной волны.

Понятие К. п. может быть применено и к др. системам - механич., термодинамическим. Если, напр., на один из концов упругого стержня действует переменная внешняя сила, направленная вдоль стержня, и если условие квазистационарности выполняется, т. е. за время распространения продольной упругой волны от одного конца стержня до другого величина силы не успевает измениться, то ускорения всех точек стержня в каждый момент времени определяются значением силы в этот же момент времени. Процесс теплопроводности можно считать К. п., если выравнивание темп-ры в теплопроводящем стержне происходит значительно быстрее, чем изменение внешних условий: темп-р T₁ и T₂концов стержня.

КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЙ ТОК, относительно медленно изменяющийся переменный ток, для мгновенных значений к-рого с достаточной точностью выполняются законы постоянных токов (прямая пропорциональность между током и напряжением - Ома закон, Кирхгофа правила и др.). Подобно постоянным токам, К. т. имеет одинаковую силу тока во всех сечениях неразветвлённой цепи. Однако при расчёте К. т. (в отличие от расчёта цепей постоянного тока) необходимо учитывать возникающую при изменениях тока эдс индукции. Индуктивности, ёмкости, сопротивления ветвей цепи К. т. могут считаться сосредоточенными параметрами.

Для того чтобы данный переменный ток можно было считать К. т., необходимо выполнение условия квазистационарности (см. Квазистационарный процесс), к-рое для синусоидальных переменных токов сводится к малости геометрич. размеров электрической цепи по сравнению с длиной волны рассматриваемого тока. Токи промышленной частоты, как правило, можно рассматривать как К. т. (частоте 50 гц соответствует длина волны ~6000 км). Исключение составляют токи в линиях дальних передач, в к-рых условие квазистационарности вдоль линии не выполняется.
 

КВАЗИУПРУГАЯ СИЛА, направленная к центру О сила F, величина к-рой пропорциональна расстоянию r от центра О до точки приложения силы; численно F =  cr, где с - постоянный коэффициент. Тело, находящееся под действием К. с., обладает потенциальной энергией П = = 1/2 сr². Назв. "К. с." связано с тем, что аналогичным свойством обладают силы, возникающие при малых деформациях упругих тел (т. н. силы упругости). Для материальной точки, находящейся под действием К. с., центр О является положением устойчивого равновесия. Выведенная из этого положения точка будет совершать около О линейные гармонические колебания или описывать эллипс (в частности, окружность).

КВАЗИЧАСТИЦЫ (от квази... и частицы), одно из фундаментальных понятий теории конденсированного состояния вещества, в частности теории твёрдого тела. Теоретич. описание и объяснение свойств конденсированных сред (твёрдых тел и жидкостей), исходящее из свойств составляющих их частиц (атомов, молекул), представляет большие трудности, во-первых, потому, что число частиц огромно (~ 10²² частиц в 1 см³), и, во-вторых, потому, что они сильно взаимодействуют между собой. Из-за взаимодействия частиц полная энергия такой системы, определяющая многие её свойства, не является суммой энергий отдельных частиц, как в случае идеального газа. Частицы конденсированной среды подчиняются законам квантовой механики; поэтому свойства совокупности частиц, составляющих твёрдое тело (или жидкость), могут быть поняты лишь на основе квантовых представлений. Развитие квантовой теория конденсированных сред привело к созданию специальных физ. понятий, в частности к концепции К.- элементарных возбуждений всей совокупности взаимодействующих частиц. Особенно плодотворные результаты концепция К. дала в теории кристаллов и жидкого гелия.
 

Свойства квазичастиц. Оказалось, что энергию E кристалла (или жидкого гелия) можно приближённо считать состоящей из двух частей: энергии основного (невозбуждённого) состояния E₀ (наименьшая энергия, соответствующая состоянию системы при абс. нуле темп-ры) и суммы энергий E элементарных (несводимых к более простым) движений (возбуждений):

E=E₀+Eⁿ

Индекс  характеризует тип элементарного возбуждения, п - целые числа, показывающие число элементарных возбуждений типа .

T. о., энергию возбуждённого состояния кристалла (гелия) оказалось возможным записать так же, как и энергию идеального газа, в виде суммы энергий. Однако в случае газа суммируется энергия его частиц (атомов и молекул), а в случае кристалла суммируются энергии элементарных возбуждений всей совокупности атомов (отсюда термин "К."). В случае газа, состоящего из свободных частиц, индекс  обозначает импульс p частицы, E - её энергию (E = р²/2m, т - масса частицы), n - число частиц, обладающих импульсом р. Скорость = p/m.

Элементарное возбуждение в кристалле также характеризуют вектором р, свойства к-рого похожи на импульс, его называют квазиимпульсом. Энергия Л элементарного возбуждения зависит от квазиимпульса, но эта зависимость E(р) носит не такой простой характер, как в случае свободной частицы. Скорость распространения элементарного возбуждения также зависит от квазиимпульса и от вида функции E(р). В случае К. индекс  включает в себя обозначение типа элементарного возбуждения, поскольку в конденсированной среде возможны элементарные возбуждения, разные по своей природе (аналог - газ, содержащий частицы различного сорта).

Введение для элементарных возбуждений термина "К" вызвано не только внешним сходством в описании энергии возбуждённого состояния кристалла (или жидкого гелия) и идеального газа, но и глубокой аналогией между свойствами свободной (квантовомеханической) частицы и элементарным возбуждением совокупности взаимодействующих частиц, основанной на корпускулярно-волновом дуализме. Состояние свободной частицы в квантовой механике описывается моно-хроматич. волной (см. Волны де Бройля), частота к-рой = E/h, а длина волны  = 2h/р (E и h - энергия и импульс свободной частицы, h - Планка постоянная). В кристалле возбуждение одной из частиц (напр., поглощение одним из атомов фотона), приводящее из-за взаимодействия (связи) атомов к возбуждению соседних частиц, не остаётся локализованным, а передаётся соседям и распространяется в виде волны возбуждений. Этой волне ставится в соответствие К. с квазиимпульсом p = hк и энергией E=h(k) (к - волновой вектор, длина волны  = 2/k).

Зависимость частоты от волнового вектора к позволяет установить зависимость энергии К. от квазиимпульса. Эта зависимость E = E(р) наз. законом дисперсии, является основной ди-намич. характеристикой К., в частности определяет ее скорость (v = dE/dp). Знание закона дисперсии К. позволяет исследовать движение К. во внешних полях. К., в отличие от обычной частицы, не характеризуется определённой массой. Однако, подчёркивая сходство К. и частицы, иногда удобно вводить величину, имеющую размерность массы. Её наз. эффективной массой m_ЭФ. (как правило, эффективная масса зависит от квазиимпульса и от вида закона дисперсии).

Всё сказанное позволяет рассматривать возбуждённую конденсированную среду как газ К. Сходство между газом частиц и газом К. проявляется также в том, что для описания свойств газа К. могут быть использованы понятия и методы ки-нетич. теории газов, в частности говорят о столкновениях К. (при к-рых имеют место специфич. законы сохранения энергии и квазиимпульса), длине свободного пробега, времени свободного пробега и т. п. Для описания газа К. может быть использовано кинетическое уравнение Болъцмана.

Одно из важных отличительных свойств газа К. (по сравнению с газом обычных частиц) состоит в том, что К. могут появляться и исчезать, т. е. число их не сохраняется. Число К. зависит от темп-ры. При T=0 K квазичастицы отсутствуют. Для газа К. как квантовой системы можно определить энергетич. спектр (совокупность энергетич. уровней) и рассматривать его как энергетич. спектр кристалла или жидкого гелия. Разнообразие типов К. велико, т. к. их характер зависит от атомной структуры среды и взаимодействия между частицами. В одной и той же среде может существовать неск. типов К.

К., как и обычные частицы, могут иметь собственный механич. момент - спин. В соответствии с его величиной (выражаемой целым или полуцелым числом h) К. можно разделить на бозоны и фермио-ны. Бозоны рождаются и исчезают поодиночке, фермионы рождаются и исчезают парами.

Для К.-фермионов распределение по энергетич. уровням определяется функцией распределения Ферми, для К.-бозонов - функцией распределения Бозе. В энергетич. спектре кристалла (или жидкого гелия), к-рый является совокупностью энергетич. спектров всех возможных в них типов К., можно выделить фермиевскую и бозевскую "ветви". В нек-рых случаях газ К. может вести себя и как газ, подчиняющийся Болъцмана статистике (напр., газ электронов проводимости и дырок в невырожденном полупроводнике, см. ниже).

Теоретич. объяснение наблюдаемых ма-кроскопич. свойств кристаллов (или жидкого гелия), основанное на концепции К., требует знания закона дисперсии К., а также вероятности столкновений К. друг с другом и с дефектами в кристаллах. Получение численных значений этих характеристик возможно только путём применения вычислит, техники. Кроме того, существенное развитие получил полуэмпирич. подход: количеств, характеристики К. определяются из сравнения теории с экспериментом, а затем служат для расчёта характеристик кристаллов (или жидкого гелия).

Для определения характеристик К. используются рассеяние нейтронов, рассеяние и поглощение света, ферромагнитный резонанс и антиферромагнитный резонанс, ферроакустический резонанс, изучаются свойства металлов и полупроводников в сильных магнитных полях, в частности циклотронный резонанс, гальваномагнитные явления и т. д.

Концепция К. применима только при сравнительно низких темп-pax (вблизи основного состояния), когда свойства газа К. близки к свойствам идеального газа. С ростом числа К. возрастает вероятность их столкновений, уменьшается время свободного пробега К. и, согласно неопределённостей соотношению, увеличивается неопределённость энергии К. Само понятие К. теряет смысл. Поэтому ясно, что с помощью К. нельзя описать все движения атомных частиц в конденсированных средах. Напр., К. непригодны для описания самодиффузии (случайного блуждания атомов по кристаллу).

Однако и при низких темп-pax с помощью К. нельзя описать все возможные движения в конденсированной среде. Хотя, как правило, в элементарном возбуждении принимают участие все атомы тела, оно микроскопично: энергия и импульс каждой К.-атомного масштаба, каждая К. движется независимо от других. Атомы и электроны в конденсированной среде могут принимать участие в движении совершенно др. природы - макроскопическом по своей сути (гидродинамическом) и в то же время не теряющем своих квантовых свойств. Примеры таких движений: сверхтекучее движение в гелии-Н (см. Сверхтекучесть) и электрич. ток В сверхпроводниках (см. Сверхпроводимость). Их отличительная черта - строгая согласованность (когерентность) движения отдельных частиц.

Представление о К. получило применение не только в теории твёрдого тела и жидкого гелия, но и в др. областях физики: в теории атомного ядра (см. Ядерные модели), в теории плазмы, в астрофизике и т. п.
 

Фононы. В кристалле атомы совершают малые колебания, к-рые в виде волн распространяются по кристаллу (см. Колебания кристаллической решётки). При низких темп-pax T главную роль играют длинноволновые акустические колебания - обычные звуковые волны: они обладают наименьшей энергией. К., соответствующие волнам колебаний атомов, наз. фононами. Фононы-бозоны; их число при низких темп-pax растёт пропорционально T³. Это обстоятельство, связанное с линейной зависимостью энергии фонона с?Ф от его квазиимпульса при достаточно малых квазиимпульсах (E_Ф = sp, где s - скорость звука), объясняет тот факт, что теплоёмкость кристаллов (неметаллических) при низких темп-pax пропорциональна Г³.
 

Фононы в сверхтекучем гелии. Основное состояние гелия напоминает предельно вырожденный Бозе-газ. Как во всякой жидкости, в гелии могут распространяться звуковые волны (волны колебаний плотности). Звуковые волны - единств, тип микроскопич. движения, возможного в гелии вблизи основного состояния. Так как в звуковой волне частота  пропорциональна волновому вектору k:  = sk (s - скорость звука), то соответствующие К. (фононы) имеют закон дисперсии E = sp. По мере увеличения импульса кривая E = E(р) отклоняется от линейного закона. Фононы гелия также подчиняются статистике Бозе. Представление об энергетич. спектре гелия как о фононном спектре не только описывает его термодинамич. свойства (напр., зависимость теплоёмкости гелия от темп-ры), но и объясняет явление сверхтекучести.
 

Магноны. В ферро- и антиферромагнетиках при T = 0 К спины атомов строго упорядочены. Состояние возбуждения магнитной системы связано с отклонением спина от "правильного" положения. Это отклонение не локализуется на определённом атоме, а переносится от атома к атому. Элементарное возбуждение магнитной системы представляет собой волну поворотов спина (спиновая волн а), а соответствующая ей К. наз. магноном. Магноны-бозоны. Энергия магнона квадратично зависит от квазиимпульса (в случае малых квазиимпульсов). Это находит отражение в тепловых и магнитных свойствах ферро- и антиферромагнетиков (напр., при низких темп-pax отклонение магнитного момента ферромагнетика от насыщения ~ T3/2). Высокочастотные свойства ферро-и антиферромагнетиков описываются в терминах "рождения" магнонов.
 

Экситон Френкеля представляет собой элементарное возбуждение электронной системы отдельного атома или молекулы, к-рое распространяется по кристаллу в виде волны. Экситон, как правило, имеет весьма значительную (по атомным масштабам) энергию ~ неск. эв. Поэтому вклад экситонов в тепловые свойства твёрдых тел мал. Экситоны проявляют себя в оптич. свойствах кристаллов. Обычно среднее число экситонов очень мало. Поэтому их можно описывать классич. статистикой Больцмана.
 

Электроны проводимости и дырки. В твёрдых диэлектриках и полупроводниках наряду с экситонами существуют элементарные возбуждения, обусловленные процессами, аналогичными ионизации атома. В результате такой "ионизации" возникают две независимо распространяющиеся К.: электрон проводимости и дырка (недостаток электрона в атоме). Дырка ведёт себя как положительно заряженная частица, хотя её движение представляет собой волну электронной перезарядки, а не движение положит, иона. Электроны проводимости и дырки - фермионы. Они являются носителями электрич. тока в твёрдом теле. Полупроводники, у к-рых энергия "ионизации" мала, всегда содержат заметное кол-во электронов проводимости и дырок. Проводимость полупроводников падает с понижением темп-ры, т. к. число электронов и дырок при этом уменьшается.

Электрон и дырка, притягиваясь друг к другу, могут образовать э к с и т о н Мотта (квазиато м), к-рый проявляет себя в оптич. спектрах кристаллов водородоподобными линиями поглощения (см. Экситон).
 

Поляроны. Взаимодействие электрона с колебаниями решётки приводит к её поляризации вблизи электрона. Иногда взаимодействие электрона с кристаллич. решёткой настолько сильно, что движение электрона по кристаллу сопровождается волной поляризации. Соответствующая К. наз. поляроном.
 

Электроны проводимости металла, взаимодействующие друг с другом и с полем ионов кристаллич. решётки, эквивалентны газу К. со сложным законом дисперсии. Заряд каждой К. равен заряду свободного электрона, а спин равен 1/2. Их дина-мич. свойства, обусловленные законом дисперсии, существенно отличаются от свойств обычных свободных электронов. Электроны проводимости - фермионы. В пространстве квазиимпульсов при T = О К они заполняют область, ограниченную Ферми поверхностью. Возбуждение электронов проводимости означает появление пары: электрона "над" поверхностью Ферми и свободного места (дырки) "под" поверхностью. Электронный газ сильно вырожден не только при низких, но и при комнатных температурах (см. Вырожденный газ). Это обстоятельство определяет температурную зависимость большинства характеристик металла (в частности, линейную зависимость теплоёмкости от темп-ры при T -> О).

Лит.: Ландау Л. Д., Л и ф-шиц E. M., Статистическая физика, 2 изд., M., 1964; Займан Дж., Принципы теории твёрдого тела, пер. с англ., M., 1966; Л и ф ш и ц И. M-, Квазичастицы в современной физике, в сб.: В глубь атома, M., 1964; Рейф Ф., Сверхтекучесть и "Квазичастицы", в сб.: Квантовая макрофизика, пер. с англ., M., 1967.

M. И. Каганов.
 

КВАЗИЭЛЕКТРОННАЯ АВТОМАТИЧЕСКАЯ ТЕЛЕФОННАЯ СТАНЦИЯ, телефонная станция, в к-рой установление соединения абонентов осуществляется быстродействующими коммутационными устройствами на герконах, ферридах и т. п. элементах, а управление ими - устройствами на электронных элементах (на интегральных схемах и т. д.).

КВАИСИ, посёлок гор. типа в Джавском р-не Юго-Осет. АО Груз. CCP. Расположен на р. Джеджора (приток Риони), в 60 км к С.-З. от г. Цхинвали, с к-рым соединён автомоб. дорогой. Добыча свин-цово-цинковых руд (Кваисское месторождение). Обогатительная ф-ка.

КВАКВА (Nycticorax nycticorax), птица сем. цапель отряда голенастых. Дл. тела 60 см. Окраска оперения гл. обр. чёрная (с металлич. блеском), беловатая и серая. Распространена на Ю. Европы, Азии, Сев. Америки, а также в Африке и Юж. Америке; в СССР населяет юг Европ. части и Cp. Азию; на зиму улетает в Африку. Держится по берегам рек, прудов, озёр. Деятельна ночью. Гнездится колониями, обычно на деревьях. В кладке 4-5 зеленоватых яиц, насиживают оба родителя 21-22 суток. Питается рыбой, лягушками, а также мелкими беспозвоночными животными.

Лит.: Птицы Советского Союза, под ред. Г. П. Дементьева и H. А. Гладкова, т. 2, M., 1951.
 

КВАКЕРЫ (от англ. Quakers, букв.- трясущиеся; первоначально употреблялось в нронич. смысле; самоназв. Society of Friends - общество друзей), члены религ. христианской общины, осн. в сер. 17 в. в Англии ремесленником Дж.Фоксом. К. отвергают институт священников и церковные таинства (человек, согласно учению К., может вступать в непосредственный союз с богом), проповедуют пацифизм, занимаются благотворительностью. Преследуемые англ, пр-вом и англиканской церковью, многие общины К. начиная с 60-х гг. 17 в. эмигрировали в Сев. Америку. В 1689 положение англ, и амер. К. было легализовано "Актом о терпимости". Вначале движение К. было чисто м ел KO-бурж. по социальному составу участников; позже среди К. появились крупные капиталистич. элементы. К нач. 70-х гг. 20 в. общины К. насчитывали ок. 200 тыс. членов (гл. обр. в США, Великобритании, странах Вост. Африки).

КВАКИУТЛИ, квакиютли, индейское племя в пров. Брит. Колумбия в Канаде. Числ. ок. 4,5 тыс. чел. (1967, оценка). К. двуязычны: говорят на своём языке, входящем в группу вакашских языков, и на англ. Ко времени прихода европейцев (18 в.) насчитывалось ок. 25 тыс. чел. Занимались гл. обр. рыболовством; зарождались отношения частной собственности, существовало патриархальное наследственное рабство. К. создали своеобразную культуру и иск-во. В наст, время живут в резервациях; осн. их масса - рабочие рыбной и лесной пром-сти. Религия - протестантизм, сохраняются также нек-рые древние верования и культы. Лит.: Народы Америки, т. 1, M., 1959; Linguistic and cultural affiliations of Canadian Indian Bands, Ottawa, 1967.

КВАКШИ (Hylidae), семейство бесхвостых земноводных. Дл. тела от 2,5 до 13,5 см. 31 род. Распространены во всех частях света, но гл. обр. в Америке (в тропической части ) и в Австралии .Многие К. ведут древесный образ жизни. Некоторые размножат ются на деревьях, откладывая икру в пазухах листьев в накапливающуюся здесь дождевую BO-ДУ; другие (фил-ломедузы) откладывают икру в свёрнутые листья, свешивающиеся над водой. У представителей сумчатых К., или сумчатых лягушек, обитающих в тропической Америке, самки имеют на спине кожный карман (сумку), где помещается оплодотворённая икра, которая у одних видов находится здесь лишь на первых стадиях развития, у других - до превращения головастиков в лягушек. Наиболее обширный род - настоящие К. (род HyIa), содержит 350 видов. В СССР -2 вида: обыкновенная К. (H. arborea) и дальневосточная К. (H. japonica). Обыкновенная К., или древесница, встречается на Украине (включая Крым) и на Кавказе. Дл. тела до 5 см; окраска может меняться в зависимости от цвета окружающих предметов. У самцов на горле под кожей голосовой мешок, раздувающийся при кваканий в виде пузыря. Весной самка откладывает в воду до 1000 икринок. П. В. Теретпъев.

Обыкновенная квакша.
 
 

КВАЛИMETPИЯ (от лат. qualis - какой по качеству и ...метрия), научная область, объединяющая методы количественной оценки качества продукции. Осн. задачи К.: обоснование номенклатуры показателей качества, разработка методов определения показателей качества продукции и их оптимизации, оптимизация типоразмеров и параметрич. рядов изделий, разработка принципов построения обобщённых показателей качества и обоснование условий их использования в задачах стандартизации и управления качеством. К. использует матем. методы: линейное, нелинейное и динамнч. программирование, теорию оптимального управления, теорию массового обслуживания и т. п.

Лит.: "Стандарты и качество", 1970, № 11, с. 30-34.
 

КВАЛИТАТИВНОЕ (КАЧЕСТВЕННОЕ) СТИХОСЛОЖЕНИЕ (от лат. qualitas - качество), тип стихосложения, в к-ром слоги соотносятся по ударности и безударности, а не по долготе, как в квантитативном (количественном) стихосложении. К. (к.) с. объединяет силлабич., силлабо-тонич. и тонич. стихосложение. См. Стихосложение.

КВАЛИФИКАЦИЯ (от лат. qualis - какой по качеству и facio - делаю), 1) степень и вид профессиональной об-ученностп работника, наличие v него знаний, умения и навыков, необ'-ходимых для выполнения им определённой работы. К. работников отражается в их тарификации (присвоении работнику в зависимости от его К. того или иного тарифного разряда). Присвоение тарифного разряда свидетельствует о пригодности работника к выполнению данного круга работ. В СССР К. работников, как правило, устанавливается спец. квалификационной комиссией в соответствии с требованиями тарифно-квалификационного справочника. Показателем К. работника, помимо разряда, может быть также категория или диплом, наличие звания и учёной степени. Занятие нек-рых должностей допускается лишь при наличии диплома (должность врача, учителя). В СССР на предприятиях, в учреждениях и opr-циях создана система подготовки и повышения квалификации рабочих и служащих, где рабочие и служащие обучаются новым профессиям и специальностям и проходят обучение по повышению своей квалификации (см. Баланс трудовых ресурсов, Трудовые ресурсы). 2) Характеристика определённого вида работы, устанавливаемая в зависимости от её сложности, точности и ответственности. В СССР К. работы обычно определяется разрядом, к к-рому данный вид работы отнесён тарифно-квалификационным справочником. Определение К. работ важно при установлении тарифных ставок и должностных окладов работников. К. инженерно-технич. работ и работ, выполняемых служащими и др. лицами, незанятыми непосредственно на произ-ве, определяется требованиями, предъявляемыми к занимаемой должности. 3) Характеристика предмета, явления, отнесение его к к.-л. категории, группе, напр, квалификация преступления. л. Ф. Бибик.

КВАЛИФИКАЦИЯ ПРЕСТУПЛЕНИЯ, в уголовном праве установление и закрепление в соответствующих процессуальных актах точного соответствия признаков совершённого деяния тому или иному составу преступления, предусмотренному уголовным законом. К. п. является основанием для назначения меры наказания и для наступления иных правовых последствий совершённого преступления. Советская правовая наука рассматривает правильную К. п. как важный фактор соблюдения социалистич. законности в уголовном судопроизводстве. Неправильная К. п., т. е. применение закона, не соответствующего фактич. обстоятельствам дела, искажает представление о характере совершённых преступлений и влечёт за собой вынесение неверного приговора. Ошибка в К. п.- основание для отмены или изменения приговора.

КВАЛИФИЦИРОВАННОЕ БОЛЬШИНСТВО, в отличие от простого большинства в 50% + 1, большинство в 2/3, ³/4 и т. д. голосов. Обычно требуется для принятия наиболее важных решений (напр., для внесения изменений в конституционные законы). Конституция СССР устанавливает, что изменение Конституции производится по решению Верх. Совета СССР, принятому большинством не менее ²/₃ голосов в каждой из его палат. К. б. требуется также при вынесении вердикта в суде присяжных.

КВАЛИФИЦИРОВАННОЕ ПРЕСТУПЛЕНИЕ, квалифицированный вид преступления, в уголовном праве преступление, имеющее один или неск. предусмотренных в законе признаков (отягчающих обстоятельств), к-рые указывают на его повышенную общественную опасность по сравнению с неквалифицированным (простым) видом того же преступления. Так, по сов. уголовному праву умышленное убийство из хулиганских побуждений (УК РСФСР, ст. 102, п. "б") - К. п. по сравнению с убийством без отягчающих обстоятельств (УК РСФСР, ст. 103). Закон в статьях, устанавливающих наказание за отд. виды преступлений, признаками К. п. считает повторность, наличие у виновного судимости, крупный размер причинённого ущерба, совершение преступления организованной группой и др. За К. п. устанавливается более строгое наказание.

КВАЛИФИЦИРОВАННЫЙ ТРУД, труд, требующий спец. предварительной подготовки работника, наличия у него навыков, умения и знаний, необходимых для выполнения определённых видов работ. В отличие от неквалифицированного (простого) труда, К. т. выступает как сложный: один час его эквивалентен неск. часам простого труда (см. Редукция труда). В соответствии с этим К. т. оплачивается выше, чем неквалифицированный (см. Труд, Заработная плата, Квалификация).
 

КВАНГО, Куангу (Kwango, Cuango), река в Центр. Африке, в Анголе и Респ. Заир. Крупнейший лев. приток р. Касаи (басе. р. Конго). Дл. ок. 1200 км. Пл.басс. 263,5 тыс. км². Берёт начало на плато Лунда, течёт на С. в широкой и глубокой долине, образуя ряд порогов и водопадов. Гл. притоки - Вамба и Кви-лу (справа). Подъём воды с сент.- окт. по апрель, в сезон дождей; самые низкие уровни - в августе. Cp. годовой расход воды в ниж. течении -2,7 тыс. м³/сек. Судоходна в низовьях(от устья до порогов Кингуши, 307 км) и частично в ср. течении (между Кингуши и водопадом Франца-Иосифа, ок. 300 км). Рыболовство.

КВАНДЖУ, Кванчжу, город в Юж. Корее. Адм. ц. провинции Чолла-Намдо. 403,7 тыс. жит. (1966). Трансп₆ узел. Торг, центр с.-х. р-на (равнина Йонсанган). Текст, пром-сть.

КВАНДО, Куанду (Kwando, Cuando), в ниж. течении - Линьянти, река в Анголе (в ср. течении пограничная между Анголой и Замбией), Намибии и Ботсване, прав, приток Замбези. Дл. ок. 800 км. Берёт начало на плато Бие, течёт в порожистом русле по саванновым лесам; в низовьях протекает по болотистой равнине, принимая справа один из рукавов р. Окаванго. Половодье в период дождей (октябрь -ноябрь).
 

КВАНЗА, Куанзa (Kwanza, Cuanza), река в Анголе. Дл. 960 км. Пл. басе. 147,7 тыс. км². Берёт начало на плоскогорье Бие, течёт на С., затем на С.-З. и 3. в глубоко врезанной долине, образуя многочисл. пороги и водопады; в ниж. течении выходит на приморскую низм. и становится судоходной (на 258 км от устья). Впадает в Атлантич. ок. к Ю. от г. Луанда. Полноводна в период дождей. В ср. течении К.- ГЭС Камбамбе.

"КВАНТ", ежемесячный физико-математический научно-популярный журнал АН СССР и АПН СССР. Издаётся с 1970 в Москве. Рассчитан на преподавателей средних школ и учащихся старших классов. Тираж ок. 34 тыс. экз. (1972). Гл. редакторы (с 1970) академики И. К. Кикоин и A. H. Колмогоров.

КВАНТ ДЕЙСТВИЯ, то же, что Планка постоянная.
 

КВАНТ СВЕТА (нем. Quant, от лат. quantum - сколько), количество (порция) электромагнитного излучения, к-рое в единичном акте способен излучить или поглотить атом или др. квантовая система; элементарная частица, то же, что фотон.
 

КВАНТИЛЬ, одна из числовых характеристик случайных величин, применяемая в матем. статистике. Если функция распределения случайной величины X непрерывна, то квантиль K_p порядка р определяется как такое число, для к-рого вероятность неравенства X < К_Рравна р. Из определения К. следует, что вероятность неравенства К_р < X < К_р' равна р' - р. Квантиль K₁, есть медиана случайной величины X. Квантили K₁, и K₃/ наз. квартилями, a K_0,1, K_0,2, ..., К_0,9 - децилями. Знание К. для подходяще выбранных значений р позволяет составить представление о виде функции распределения.

Напр., для нормального распределения (рис.)

график функции Ф(x) можно вычертить по децилям: X_0,1 = - 1,28; Х₀,₂ = -0,84; K_0,3 = -0,52; X₀,₄ = -0,25; K₀,₅ = О; X₀,_б = 0,25; X₀,₇ = 0,52; X_0,8 = 0,84; X_0,9 = 1,28. Квартили нормального распределения Ф(x) равны X₁/ = -0,67;

K=0,67
 

КВАНТИТАТИВНОЕ (КОЛИЧЕСТВЕННОЕ) СТИХОСЛОЖЕНИЕ (от лат. quantitas - количество), тип стихосложения, осн. на упорядоченном чередовании долгих и кратких слогов; то же, что и метрическое стихосложение.

КВАНТИТАТИВНОЕ УДАРЕНИЕ, выделение ударных элементов слова или фразы при помощи увеличения их относит, длительности. Как правило, ударение складывается из взаимодействия неск. компонентов. Языки, в к-рых ударение было бы чисто квантитативным, науке неизвестны; можно утверждать лишь, что в нек-рых языках ударение является по преимуществу квантитативным. Напр., ударение в рус. языке, в к-ром ударный слог (и особенно гласный в нём) обладает большей относительной длительностью, чем безударный.

КВАНТОВАНИЕ ВТОРИЧНОЕ, метод, применяемый в квантовой механике и квантовой теории поля для исследования систем, состоящих из MH. или из бесконечного числа частиц (или квазичастиц). В этом методе состояние квантовой системы описывается при помощи т. н. ч и-сел заполнения - величин, характеризующих среднее число частиц системы, находящихся в каждом из возможных состояний.

Метод К. в. особенно важен в квантовой теории поля в тех случаях, когда число частиц в данной физ. системе не постоянно, а может меняться при различных происходящих в системе процессах. Поэтому важнейшей областью применения метода К. в. является квантовая теория излучения, квантовая теория элементарных частиц и систем различных квазичастиц. В теории излучения рассматриваются системы, содержащие световые кванты (фотоны), число к-рых меняется в процессах испускания, поглощения, рассеяния. В теории элементарных частиц необходимость применения метода К. в. связана с возможностью взаимных превращений частиц; таковы, напр., процессы превращения электронов и позитронов в фотоны и обратный процесс (см. Аннигиляция и рождение пар). Наиболее эффективен метод К. в. в квантовой электродинамике,-квантовой теории электромагнитных процессов, а также в теории твёрдого тела, базирующейся на представлении о квазичастицах. Менее эффективно применение К. в. для описания взаимных превращений частиц, обусловленных неэлектромагнитными взаимодействиями.

В математич. аппарате К. в. волновая функция системы рассматривается как функция чисел заполнения. При этом осн. роль играют т. н. операторы "рождения" и "уничтожения" частиц. Оператор уничтожения - это оператор, под действием к-рого волновая функция к.-л. состояния данной физ. системы превращается в волновую функцию другого состояния с числом частиц на единицу меньше. Аналогично, оператор рождения увеличивает число частиц в этом состоянии на единицу.

Принципиальная сторона метода К. в. не зависит от того, подчиняются ли частицы, из к-рых состоит система, Бозе - Эйнштейна статистике (напр., фотоны) или Ферми - Дирака статистике (напр., электроны и позитроны). Конкретный же матем. аппарат метода, в т. ч. осн. свойства операторов рождения и уничтожения, в этих случаях существенно различен вследствие того, что в статистике Бозе - Эйнштейна число частиц, к-рое может находиться в одном и том же состоянии, ничем не ограничено (так что числа заполнения могут принимать произвольные значения), а в статистике Ферми - Дирака в каждом состоянии может находиться не более одной частицы (и числа заполнения могут иметь лишь значения О и 1).

Метод К. в. был впервые развит англ, физиком П. Дираком (1927) в его теории излучения и далее разработан сов. физиком В. А. фоком (1932). Термин "К. в." появился вследствие того, что этот метод возник позже "обычного", или "первичного", квантования, целью к-рого было выявить волновые свойства частиц. Необходимость последовательного учёта и корпускулярных свойств полей (поскольку корпу-скулярно-волновой дуализм присущ всем видам материи) привела к возникновению методов К. в.

Лит. см. при ст. Квантовая теория поля.

КВАНТОВАНИЕ МАГНИТНОГО ПОТОКА, макроскопическое квантовое явление, состоящее в том, что магнитный поток через кольцо из сверхпроводника с током может принимать только дискретные значения (см. Сверхпроводимость). Минимальное значение потока (квант потока) Ф₀= ch/2e~2-10-⁷гс-см², где с - скорость света, h - Планка постоянная, е - заряд электрона. Магнитный поток в сверхпроводнике может быть равен только целому числу квантов потока. К. м. п. было теоретически предсказано Ф. Лондоном (1950), к-рый получил для кванта потока значение ch/e. Эксперименты (1961) дали для кванта потока вдвое меньшее значение. Это явилось прекрасным подтверждением созданной к тому времени микроскопической теории сверхпроводимости, согласно к-рой сверхпроводящий ток обусловлен движением пар электронов.

Лит. см. при ст. Сверхпроводимость.

КВАНТОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ, общее название обобщений теории элементарных частиц (квантовой теории поля), основанных на гипотезе о существовании конечных минимальных расстояний и промежутков времени. Ближайшей целью таких обобщений является построение непротиворечивой теории, в к-рой все физич. величины получались бы конечными.

Представления о пространстве и времени, к-рые используются в совр. физич. теории, наиболее последовательно формулируются в относительности теории А. Эйнштейна и являются макроскопическими, т. е. они опираются на опыт изучения макроскопич. объектов, больших расстояний и промежутков времени. При построении теории, описывающей явления микромира,- квантовой механики и квантовой теории поля,- эта классич. геометрич. картина, предполагающая непрерывность пространства и времени, была перенесена на новую область без к.-л. изменений. Экспериментальная проверка выводов квантовой теории пока прямо не указывает на существование границы, за к-рой перестают быть применимыми классич. геометрич. представления. Однако в самой теории элементарных частиц имеются трудности, к-рые наводят на мысль, что, возможно, геометрич. представления, выработанные на основе макроскопич. опыта, неверны для сверхмалых расстояний и промежутков времени, характерных для микромира, что представления о физич. пространстве и времени нуждаются в пересмотре.

Эти трудности теории связаны с т. н. проблемой расходимостей: вычисления нек-рых физических величин приводят к не имеющим физического смысла бесконечно большим значениям ("расходи-мостям"). Расходимости появляются вследствие того, что в совр. теории элементарные частицы рассматриваются как "точки", т. е. как материальные объекты без протяжённости. В простейшем виде это проявляется уже в классич. теории электромагнитного поля (классич. электродинамике), в к-рой возникает т. н. кулоновская расходимость - бесконечно большое значение для энергии кулоновского поля точечной заряженной частицы [из-за того, что на очень малых расстояниях г от частицы (г -" О) поле неограниченно возрастает].

В квантовой теории поля не только остаётся кулоновская расходимость, но и появляются новые расходимости (напр., для электрич. заряда), также в конечном счёте связанные с точечностью частиц. (Условие точечности частиц в квантовой теории поля выступает в виде требования т. н. локальности взаимодействий: взаимодействие между полями определяется описывающими поля величинами, взятыми в одной и той же точке пространства и в один и тот же момент времени.) Казалось бы, расходимости легко устранить, если считать частицы не точечными, а протяжёнными, "размазанными" по нек-рому малому объёму. Но здесь существенные ограничения налагает теория относительности. Согласно этой теории, скорость любого сигнала (т. е. скорость переноса энергии, скорость передачи взаимодействия) не может превышать скорости света с. Предположение о том, что взаимодействие может передаваться со сверхсветовыми скоростями, приводит к противоречию с привычными (подтверждёнными всем общечеловеческим опытом) представлениями о временной последовательности событий, связанных причинно-следственными соотношениями: окажется, что следствие может предшествовать причине. Конечность же скорости распространения взаимодействия невозможно совместить с неделимостью частиц: в принципе нек-рой малой части протяжённой частицы можно было бы очень быстро сообщить столь мощный импульс, что данная часть улетела бы раньше, чем сигнал об этом дошёл бы до оставшейся части.

T. о., требования теории относительности и причинности приводят к необходимости считать частицы точечными. Но представление о точечности частиц тесно связано с тем, какова геометрия, принимаемая в теории, в частности, основывается ли эта геометрия на предположении о принципиальной возможности сколь угодно точного измерения расстояний (длин) и промежутков времени. В обычной теории явно или чаще неявно такая возможность предполагается.

Во всех вариантах изменения геометрии большая роль принадлежит т. н. фундаментальной длине l, к-рая вводится в теорию как новая (наряду с Планка постоянной h и скоростью света с) универсальная постоянная. Введение фундаментальной длины l соответствует предположению, что измерение расстояний принципиально возможно лишь с ограниченной точностью порядка / (а времени - с точностью порядка Uc). Поэтому / наз. также минимальной длиной. Если считать частицы неточечными, то их размеры выступают в роли нек-рого минимального масштаба длины. T. о., введение фундаментальной (минимальной) длины, в известном смысле, скрывает за собой неточечность частиц, что и даёт надежду на построение свободной от расходимостей теории.

Одна из первых попыток введения фундаментальной длины была связана с переходом от непрерывных координат х, у, z и времени t к дискретным: х->n₁l, у->₂l, z -> п₃1, t->n₄/c, где n₁, n₂, n₃, n₄ - целые числа, к-рые могут принимать значения от минус бесконечности до плюс бесконечности. Замена непрерывных координат дискретными несколько напоминает правила квантования Бора в первоначальной теории атома (см. Атом) - отсюда и термин "К. п.-в."

Если рассматривать большие расстояния и промежутки времени, то каждый "элементарный шаг" l или l/с можно считать бесконечно малым. Поэтому геометрия "больших масштабов" выглядит как обычная. Однако "в малом" эффект такого квантования становится существенным. В частности, введение минимальной длины l исключает существование волн с длиной  < /, т. е. как раз тех квантов бесконечно большой частоты v = с/, а следовательно, и энергий е = hv, к-рые, как показывает квантовая теория поля, ответственны за появление расходимостей. Здесь наглядно проявляется то, как изменение геометрич. представлений влечёт за собой важные физич. следствия.

Введение указанным способом "ячеистого" пространства (с "ячейками" размера l) связано с нарушением изотропии пространства - равноправия всех направлений. Это один из существенных недостатков данной теории.

Подобно тому, как на смену боровской теории (в которой условия квантования постулировались) пришла квантовая механика (в к-рой квантование получалось как естественное следствие осн. её положений), за первыми попытками К. п.-в. появились более совершенные варианты. Их общей чертой (и здесь выступает аналогия с квантовой механикой, в к-рой физич. величинам ставятся в соответствие операторы) является рассмотрение координат и времени как операторов, а не как обычных чисел. В квантовой механике формулируется важная общая теорема: если нек-рые операторы не коммутируют между собой (т. е. в произведении таких операторов нельзя менять порядок сомножителей), то соответствующие этим операторам физич. величины не могут быть одновременно точно определены. Таковы, напр ., операторы координаты х и импульса р_х частицы (операторы принято обозначать теми же буквами, что и соответствующие им физич. величины, но сверху со "шляпкой"). Некоммутативность этих операторов является математич. отражением того факта, что для координаты и импульса частицы имеет место неопределённостей соотношение:

показывающее границы точностей, с которыми могут быть одновременно определены p_X и х. Частица не может иметь одновременно точно определённые координату и импульс: чем точнее определена координата, тем менее определённым является импульс, и наоборот (с этим связано вероятностное описание состояния частицы в квантовой механике).

При К. п.-в. некоммутирующими объявляются операторы, сопоставляемые координатам самих точек пространства и моментам времени. Некоммутативность операторов x и t, x и у и т. д. означает, что точное значение, напр., координаты x в заданный момент времени t не может быть определено, так же как не может быть задано точное значение неск. координат одновременно. Это приводит к вероятностному описанию пространства-времени. Вид операторов подбирается так, чтобы средние значения координат могли принимать лишь целочисленные значения, кратные фундаментальной длине l. Масштаб погрешностей (или неопределённость) координат определяется фундаментальной длиной.

В нек-рых вариантах теории постулируется непереставимость операторов координат и операторов, описывающих поле. Это равносильно предположению о невозможности одновременного точного задания описывающих поле величин и точки пространства, к к-рой эти величины относятся (такого рода варианты часто наз. теориями нелокализуемых состояний).

В большинстве известных попыток К. п.-в. сначала вводятся постулаты, касающиеся "микроструктуры" пространства-времени, а затем получившееся пространство "населяется" частицами, законы движения к-рых приводятся в соответствие с новой геометрией. На этом пути получен ряд интересных результатов: устраняются нек-рые расходимости (однако иногда на их месте появляются новые), в нек-рых случаях получается даже спектр масс элементарных частиц, т. е. предсказываются возможные массы частиц. Однако радикальных успехов получить пока не удалось, хотя методич. ценность проделанной работы несомненна. Представляется правдоподобным, что возникающие здесь трудности свидетельствуют о недостатках самого подхода к проблеме, при к-ром построение новой теории начинается с постулатов, касающихся "пустого" пространства (т. е. чисто геом. постулатов, независимых от материи, это пространство "населяющей").

Пересмотр геометрич. представлений необходим - эта идея стала почти общепризнанной. Однако такой пересмотр должен, по-видимому, в гораздо большей мере учитывать неразрывность представлений о пространстве, времени и материи.

Лит.: Марков M. А., Гипероны и К-мезоны, M., 1958, §§ 33 и 34; Б л о-хин це в Д. И., Пространство и время в микромире. M., 1970. В. И. Григорьев.

КВАНТОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЕ в квантовой механике, дискретность возможных пространственных ориентации момента количества движения атома (или др. частицы или системы частиц) относительно любой произвольно выбранной оси (оси z). К. п. проявляется в том, что проекция Mz момента M на эту ось может принимать только дискретные значения, равные целому (О, 1,2, ...) или полуцелому('/2, 3/2,⁵/2, ...) числу т, помноженному "на Планка постоянную h, M_z = mh. Две другие проекции момента M_x и М_yостаются при этом неопределёнными, т. к., согласно осн. положению квантовой механики, одновременно точные значения могут иметь лишь величина момента и одна из его проекций. Для орбитального момента количества движения т (m₁) может принимать значения О, ± 1, ±2, ... ± /, где / =0,1,2... определяет квадрат момента M_i (т. е. его абс. величину): M²_i= l (l +1)h². Для полного момента количества движения M (орбитального плюс спинового) т (mi) принимает значения с интервалом в 1 от -j до +j, где j определяет величину полного момента: M² = j (j + l)h² и может быть целым или полуцелым числом. Если атом помещается во внешнее магнитное поле H, то появляется выделенное направление в пространстве - направление поля (к-рое и принимают за ось z). B этом случае К. п. приводит к квантованию проекции _Н магнитного момента атома  на направление поля, т. к. магнитный момент пропорционален механич. моменту количества движения (отсюда название т - "магнитное квантовое число"). Это приводит к расщеплению уровней энергии атома в магнитном поле вследствие того, что к энергии атома добавляется энергия его магнитного взаимодействия с полем, равная -_НН (см. Зееманй эффект). В. И. Григорьев.
 

КВАНТОВАНИЕ СИГНАЛА, дискретизация непрерывных сигналов, преобразование электрического сигнала, непрерывного во времени и по уровню, в последовательность дискретных (отдельных) либо дискретно-непрерывных сигналов, в совокупности отображающих исходный сигнал с заранее установленной ошибкой. К. с. осуществляется при передаче данных в телемеханике, при аналого-цифровом преобразовании в вычислит, технике, в импульсных системах автоматики и др.

При передаче непрерывных сигналов обычно достаточно передавать не сам сигнал, а лишь последовательность его мгновенных значений, выделенных из исходного сигнала по определённому закону. К. с. производится по времени, уровню или по обоим параметрам одновременно. При К. с. по времени сигнал через равные промежутки времени ? прерывается (импульсный сигнал) либо изменяется скачком (ступенчатый сигнал, рис.). Напр., непрерывный сигнал, проходя через контакты периодически включаемого электрич. реле, преобразуется в последовательность импульсных сигналов. При бесконечно малых интервалах включения (отключения), т. е. при бесконечно большой частоте переключений контактов, получается точное представление непрерывного сигнала. При К. с. по уровню соответствующие мгновенные значения непрерывного сигнала заменяются ближайшими дискретными уровнями, к-рые образуют дискретную шкалу квантования. Любое значение сигнала, находящееся между уровнями, округляется до значения ближайшего уровня.

Квантование сигнала: а - по времени; 6 - по уровню; x₀(t) - исходный сигнал; x(t) - квантованный сигнал; t - интервал квантования; x - уровень квантования.

При бесконечно большом числе уровней квантованный сигнал превращается в исходный непрерывный сигнал.

Лит.: Харкевич А. А., Борьба с помехами, 2 изд., M., 1965; Маркюс Ж., Дискретизация и квантование, пер. с франц., M., 1969. M. M. Гельман.
 

КВАНТОВАЯ ЖИДКОСТЬ, жидкость, свойства к-рой определяются квантовыми эффектами. Примером К. ж. является жидкий гелий при темп-ре, близкой к абс. нулю. Квантовые эффекты начинают проявляться в жидкости при достаточно низких темп-pax, когда длина волны де Бройля для частиц жидкости, вычисленная по энергии их теплового движения, становится сравнимой с расстоянием между ними. Для жидкого гелия это условие выполняется при темп-ре 3-2 К.

Согласно представлениям классич. механики, с понижением темп-ры кинетич. энергия частиц любого тела должна уменьшаться. В системе взаимодействующих частиц при достаточно низкой темп-ре последние будут совершать малые колебания ок. положений, соответствующих минимуму потенциальной энергии всего тела. При абс. нуле темп-ры колебания должны прекратиться, а частицы занять строго определённые положения, т. е. любое тело должно превратиться в кристалл. Поэтому самый факт существования жидкостей вблизи абс. нуля темп-ры связан с квантовыми эффектами. В квантовой механике действует принцип: чем точнее фиксировано положение частицы, тем больше оказывается разброс значений её скорости (см. Неопределённостей соотношение). Следовательно, даже при абс. нуле темп-ры частицы не могут занимать строго определённых положений, а их кинетич. энергия не обращается в нуль, остаются т. н. нулевые колебания. Амплитуда этих колебаний тем больше, чем слабее силы взаимодействия между частицами и меньше их масса. Если амплитуда нулевых колебаний сравнима со ср. расстоянием между частицами тела, то такое тело может остаться жидким вплоть до абс. нуля темп-ры.

Из всех веществ при атмосферном давлении только два изотопа гелия (⁴He и ³He) имеют достаточно малую массу и настолько слабое взаимодействие между атомами, что остаются жидкими вблизи абс. нуля и позволяют тем самым изучить специфику К. ж. Свойствами К. ж. обладают также электроны в металлах.

К. ж. делятся на бозе-жидкости и фер-ми-жидкости, согласно различию в свойствах частиц этих жидкостей и в соответствии с применяемыми для их описания статистиками Бозе - Эйнштейна и Ферми - Дирака (см. Статистическая физика). Бозе-жидкость известна только одна - жидкий ⁴He, атомы к-рого обладают равным нулю спином (внутренним моментом количества движения). Атомы более редкого изотопа ³He и электроны в металле имеют полуцелый спин ('/2), они образуют ферми-жидкости.

Жидкий ⁴He был первой разносторонне исследованной К. ж. Теоретич. представления, развитые для объяснения осн. эффектов в жидком гелии, легли в основу общей теории К. ж. Гелий ⁴He при 2,171 К и давлении насыщенного пара испытывает фазовый переход II рода в новое состояние Не II со специфич. квантовыми свойствами. Само наличие точки перехода связывается с появлением т. н. бозе-конденсата (см. Бозе-Эйнштейна конденсация), т. е. конечной доли атомов в состоянии с импульсом, строго равным нулю. Это новое состояние характеризуется сверхтекучестью, т. е. протеканием Не II без всякого трения через узкие капилляры и щели. Сверхтекучесть была открыта П. Л. Капицей (1938) и объяснена Л. Д. Ландау (1941).

Согласно квантовой механике, любая система взаимодействующих частиц может находиться только в определённых квантовых состояниях, характерных для всей системы в целом. При этом энергия всей системы может меняться только определёнными порциями - квантами. Подобно атому, в к-ром энергия меняется путём испускания или поглощения светового кванта, в К. ж. изменение энергии происходит путём испускания или поглощения элементарных возбуждений, характеризующихся определённым импульсом р, энергией (), зависящей от импульса, и спином. Эти элементарные возбуждения относятся ко всей жидкости в целом, а не к отд. частицам и наз. в силу их свойств (наличия импульса, спина и т. п.) квазичастицами. Примером квазичастиц являются звуковые возбуждения в Не II - фононы, с энергией  = hcр, где h - Планка постоянная, делённая на 2, с - скорость звука. Пока число квазичастиц мало, что соответствует низким темп-рам, их взаимодействие незначительно и можно считать, что они образуют идеальный газ квазичастиц. Рассмотрение свойств К. ж. на основе этих представлений оказывается, в известном смысле, более простым, чем свойств обычных жидкостей при высоких темп-pax, когда число возбуждений велико и их свойства не аналогичны свойствам идеального газа.

Если К. ж. течёт с нек-рой скоростью через узкую трубку или щель, то её торможение за счёт трения состоит в образовании квазичастиц с импульсом, направленным противоположно скорости течения. В результате торможения энергия К. ж. должна убывать, но не плавно, а определёнными порциями. Для образования квазичастиц с требуемой энергией скорость потока должна быть не меньше, чем Vc = min [()/]; эту скорость называют критической. К. ж., у к-рых v_c <> 0, будут сверхтекучими, т. к. при скоростях, меньших V_c, новые квазичастицы не образуются, и, следовательно, жидкость не тормозится. Предсказанный теорией Ландау и экспериментально подтверждённый энергетич. спектр E(P) квазичастиц в Не II удовлетворяет этому требованию.

Невозможность образования при течении с  < v_c новых квазичастиц в Не II приводит к своеобразной д в у х ж и д-костной гидродинамике. Совокупность имеющихся в Не II квазичастиц рассеивается и тормозится стенками сосуда, она составляет как бы нормальную вязкую часть жидкости, в то время как остальная жидкость является сверхтекучей. Для сверхтекучей жидкости характерно появление в нек-рых условиях (напр., при вращении сосуда) вихрей с квантованной циркуляцией скорости сверхтекучей компоненты. В Не II возможно распространение двух типов звука, из к-рых 1-й звук соответствует обычным адиабатич. колебаниям плотности, в то время как 2-й звук соответствует колебаниям плотности квазичастиц и, следовательно, темп-ры (см. Второй звук).

Наличие газа квазичастиц одинаково характерно как для бозе-, так и для ферми-жидкости. В ферми-жидкости часть квазичастиц имеет полуцелый спин и подчиняется статистике Ферми - Дирака, это т. н. одночастичные возбуждения. Наряду с ними в ферми-жидкости существуют квазичастицы с целочисленным спином, подчиняющиеся статистике Бозе - Эйнштейна, из них наиболее интересен "нуль-звук", предсказанный теоретически и открытый в жидком ³He (см. Нулевой звук). Ферми-жидкости делятся на нормальные и сверхтекучие в зависимости от свойств спектра квазичастиц .

К нормальным ферми-жидкостям относятся жидкий ³He и электроны в несверхпроводящих металлах, в к-рых энергия одночастичных возбуждений может быть сколь угодно малой при конечном значении импульса, что приводит к v_c = О. Теория нормальных ферми-жидкостей была развита Л. Д. Ландау (1956-58).

Единственной, но очень важной сверхтекучей ферми-жидкостью являются электроны в сверхпроводящих металлах (см. Сверхпроводимость). Теория сверхтекучей ферми-жидкости была развита Дж. Бароином, Л. Купером и Дж. Шриффером (1957) и H. H. Боголюбовым (1957). Между электронами в сверхпроводниках, согласно этой теории, преобладает притяжение, что приводит к образованию из электронов с противоположными, но равными поабс. величине импульсами связанных пар с суммарным моментом, равным нулю (см. Купера эффект). Для возникновения любого одночастичного возбуждения - разрыва связанной пары - необходимо затратить конечную энергию. Это приводит, в отличие от нормальных ферми-жидко-стей, к v_c<>0, т. е. к сверхтекучести электронной жидкости (сверхпроводимости металла). Существует глубокая аналогия между сверхпроводимостью и сверхтекучестью. Как и в ⁴He, в сверхпро-водящих металлах имеется фазовый переход II рода, связанный с появлением бозе-конденсата пар электронов. При определённых условиях в магнитном поле в т. н. сверхпроводниках II рода появляются вихри с квантованным магнитным потоком, являющиеся аналогом вихрей в Не II.

Кроме перечисленных выше К. ж., к ним относятся смеси ³He и ⁴He, к-рые при постепенном изменении соотношения компонентов образуют непрерывный переход от ферми- к бозе-жидкости. Согласно теоретич. представлениям, при чрезвычайно высоких давлениях и достаточно низких темп-pax все вещества должны переходить в состояние К. ж., что возможно, напр., в нек-рых звёздах.

Лит.: Ландау Л. Д. и Л и ф-шиц E. M., Статистическая физика,

2 изд., M., 1964; Абрикосов А. А., Халатников И. M., Теория ферми-жидкости, "Успехи физических наук", 1958, т. 66, в. 2, с. 177; Физика низких температур, пер. с англ., M., 1959; Пай не Д., Нозьер Ф., Теория квантовых жидкостей, пер. с англ., M., 1967.

С. В. Иорданский.
 

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА, волновая механика, теория, устанавливающая способ описания и законы движения микрочастиц (элементарных частиц, атомов, молекул, атомных ядер) и их систем (напр., кристаллов), а также связь величин, характеризующих частицы и системы, с физ. величинами, непосредственно измеряемыми в макроскопич. опытах.

Законы К. м. составляют фундамент изучения строения вещества. Они позволили выяснить строение атомов, установить природу химической связи, объяснить периодическую систему элементов, понять строение ядер атомных, изучать свойства элементарных частиц. Поскольку свойства макроскопических тел определяются движением и взаимодействием частиц, из которых они состоят, законы К. м. лежат в основе понимания большинства макроскопич. явлений. К.м. позволила, напр., объяснить температурную зависимость и вычислить величину теплоёмкости газов и твёрдых тел, определить строение и понять многие свойства твёрдых тел (металлов, диэлектриков, полупроводников). Только на основе К. м. удалось последовательно объяснить такие явления, как ферромагнетизм, сверхтекучесть, сверхпроводимость, понять природу таких ас-трофизич. объектов, как белые карлики, нейтронные звёзды, выяснить механизм протекания термоядерных реакций в Солнце и звёздах. Существуют также явления (напр., Джозефсона эффект), в к-рых законы К. м. непосредственно проявляются в поведении макроскопич. объектов.

Ряд крупнейших технических достижений 20 в. основан по существу на специфических законах К.м. Так, квантово-механические законы лежат в основе работы ядерных реакторов, обусловливают возможность осуществления в земных условиях термоядерных реакций, проявляются в ряде явлений в металлах и полупроводниках, используемых в новейшей технике, и т. д. фундамент такой бурно развивающейся области физики, как квантовая электроника, составляет квантовомеханич. теория излучения. Законы К. м. используются при целенаправленном поиске и создании новых материалов (особенно магнитных, полупроводниковых и сверхпроводящих). T. о., К. м. становится в значит, мере "инженерной" наукой, знание к-рой необходимо не только физикам-исследователям, но и инженерам.
 

Место квантовой механики среди других наук о движении. В нач. 20 в. выяснилось, что классич. механика И. Ньютона имеет ограниченную область применимости и нуждается в обобщении. Во-первых, она неприменима при больших скоростях движения тел - скоростях, сравнимых со скоростью света. Здесь её заменила релятивистская механика, построенная на основе специальной теории относительности А. Эйнштейна (см. Относительности теория). Релятивистская механика включает в себя Ньютонову (нерелятивистскую) механику как частный случай. Ниже термин "классич. механика" будет объединять Ньютонову и релятивистскую механику.

Для классич. механики в целом характерно описание частиц путём задания их положения в пространстве (координат) и скоростей и зависимости этих величин от времени. Такому описанию соответствует движение частиц по вполне определённым траекториям. Однако опыт показал, что это описание не всегда справедливо, особенно для частиц с очень малой массой (микрочастиц). В этом состоит второе ограничение применимости механики Ньютона. Более общее описание движения даёт К. м., к-рая включает в себя как частный случай классич. механику. К. м., как и классическая, делится на нерелятивистскую, справедливую в случае малых скоростей, и релятивистскую, удовлетворяющую требованиям спец. теории относительности. В статье изложены основы нерелятивистской К. м. (Однако нек-рые общие положения относятся к К. м. в целом.) Нерелятивистская К. м. (как и механика Ньютона для своей области применимости) - вполне законченная и логически непротиворечивая теория, способная в области своей компетентности количественно решать в принципе любую физич. задачу. Релятивистская К.м. не является в такой степени завершённой и свободной от противоречий теорией. Если в нерелятивистской области можно считать, что движение определяется силами, действующими (мгновенно) на расстоянии, то в релятивистской области это несправедливо. Поскольку, согласно теории относительности, взаимодействие передаётся (распространяется) с конечной скоростью, должен существовать физич. агент, переносящий взаимодействие; таким агентом является поле. Трудности релятивистской теории - это трудности теории поля, с к-рыми встречается как релятивистская классич. механика, так и релятивистская К. м. В этой статье не будут рассматриваться вопросы релятивистской К. м., связанные с квантовой теорией поля.

Критерий применимости классической механики. Соотношение между Ньютоновой и релятивистской механикой определяется существованием фундаментальной величины - предельной скорости распространения сигналов, равной скорости света с (с~3-10¹⁰ см/сек). Если скорости тел значительно меньше скорости света (т. е. v/c <<1, так что можно считать с бесконечно большой), то применима Ньютонова механика.

Соотношение между классич. механикой и К.м. носит менее наглядный характер. Оно определяется существованием другой универсальной мировой постоянной - постоянной Планка h. Постоянная h (называемая также квантом действия) имеет размерность действия (энергии, умноженной на время) и равна h = 6,62·10-²⁷ эрг*сек. (В теории чаще используется величина ft = h/2 - = 1,0545919·10^-27 эрг-сек, к-рую также яаз. постоянной Планка.) Формально критерий применимости классич. механики заключается в следующем: если в условиях данной задачи физич. величины размерности действия значительно больше H (так что h можно считать очень малой), применима классич. механика. Более подробно этот критерий будет разъяснён при изложении физических основ К. м.

История создания квантовой механики. В начале 20 в. были обнаружены две (казалось, не связанные между собой) группы явлений, свидетельствующих о неприменимости обычной классич. механики Ньютона и классич. теории электромагнитного поля (классич. электродинамики) к процессам взаимодействия света с веществом и к процессам, происходящим в атоме. Первая группа явлений была связана с установлением на опыте двойственной природы света (д у а-лизм свет а); вторая - с невозможностью объяснить на основе классич. представлений устойчивое существование атома, а также спектральные закономерности, открытые при изучении испускания света атомами. Установление связи между этими группами явлений и попытки объяснить их на основе новой теории и привели, в конечном счёте, к открытию законов К.м.

Впервые квантовые представления (в т. ч. квантовая постоянная h) были введены в физику в работе M. Планка (1900), посвящённой теории теплового излучения (см. Планка закон излучения). Существовавшая к тому времени теория теплового излучения, построенная на основе классич. электродинамики и статистической физики, приводила к бессмысленному результату, состоявшему в том, что тепловое (термодинамическою) равновесие между излучением и веществом не может быть достигнуто, т. к. вся энергия рано или поздно должна перейти в излучение. Планк разрешил это противоречие и получил результаты, прекрасно согласующиеся с опытом, на основе чрезвычайно смелой гипотезы. В противоположность классич. теории излучения, рассматривающей испускание электромагнитных волн как непрерывный процесс, Планк предположил, что свет испускается определёнными порциями энергии - квантами. Величина такого кванта энергии зависит от частоты света  и равна E = hv.

От этой работы Планка можно проследить две взаимосвязанные линии развития, завершившиеся окончательной формулировкой К. м. в двух её формах к 1927. Первая начинается с работы Эйнштейна (1905), в к-рой была дана теория фотоэффекта - явления вырывания светом электронов из вещества. В развитие идеи Планка Эйнштейн предположил, что свет не только испускается и поглощается дискретными порциями - квантами излучения, но и распространение света происходит такими квантами, т. е. что дискретность присуща самому свету - сам свет состоит из отдельных порций - световых квантов (к-рые позднее были названы фотонами). Энергия фотона E связана с частотой колебаний  волны соотношением Планка E=hv. Ha основании этой гипотезы Эйнштейн объяснил закономерности фотоэффекта, которые противоречили классической (базирующейся на классич. электродинамике) теории света.

Дальнейшее доказательство корпускулярного характера света было получено в 1922 А. Комптоном, показавшим экспериментально, что рассеяние света свободными электронами происходит по законам упругого столкновения двух частиц - фотона и электрона (см. Комп-тона эффект). Кинематика такого столкновения определяется законами сохранения энергии и импульса, причём фотону наряду с энергией E = hv следует приписать импульс p = h/ = hv/с, где  - длина световой волны. Энергия и импульс фотона связаны соотношением E = ср, справедливым в релятивистской механике для частицы с нулевой массой.

T. о., было доказано экспериментально, что наряду с известными волновыми свойствами (проявляющимися, напр., в дифракции света) свет обладает и корпускулярными свойствами: он состоит как бы из частиц - фотонов. В этом проявляется дуализм света, его сложная кор-пускулярно-волновая природа. Дуализм содержится уже в формуле E = hv, не позволяющей выбрать к.-л. одну из двух концепций: в левой части равенства энергия E относится к частице, а в правой - частота  является характеристикой волны. Возникло формальное логич. противоречие: для объяснения одних явлений необходимо было считать, что свет имеет волновую природу, а для объяснения других - корпускулярную. По существу разрешение этого противоречия и привело к созданию физич. основ К.м.

В 1924 Л. де Бройль, пытаясь найти объяснение постулированным в 1913 H. Бором условиям квантования атомных орбит (см. ниже), выдвинул гипотезу о всеобщности корпускулярно-волнового дуализма. Согласно де Бройлю, каждой частице, независимо от её природы, следует поставить в соответствие волну, длина к-рой  связана с импульсом частицы  соотношением

По этой гипотезе не только фотоны, но и все "обыкновенные частицы" (электроны, протоны и др.) обладают волновыми свойствами, к-рые, в частности, должны проявляться в явлении дифракции. В 1927 К. Дэвиссон и Л. Джермер впервые наблюдали дифракцию электронов. Позднее волновые свойства были обнаружены и у др. частиц, и справедливость формулы де Бройля была подтверждена экспериментально (см. Дифракция частиц). В 1926 Э. Шрёдингер предложил ур-ние, описывающее поведение таких "волн" во внешних силовых полях. Так возникла волновая механика. Волновое ур-ние Шрёдингера является основным ур-нием нерелятивистской К.м. В 1928 П. Дирак сформулировал релятивистское ур-ние, описывающее движение электрона во внешнем силовом поле; Дирака уравнение стало одним из основных ур-ний релятивистской К. м.

Вторая линия развития начинается с работы Эйнштейна (1907), посвящённой теории теплоёмкости твёрдых тел (она также является обобщением гипотезы Планка). Электромагнитное излучение, представляющее собой набор электромагнитных волн различных частот, динамически эквивалентно нек-рому набору осцилляторов (колебат. систем). Излучение или поглощение волн эквивалентно возбуждению или затуханию соответствующих осцилляторов. Тот факт, что излучение и поглощение электромагнитного излучс-ния веществом происходят квантами энергии hv, можно выразить так: осциллятор поля не может обладать произвольной энергией, он может иметь только определённые значения энергии - дискретные уровни энергии, расстояние между к-рыми равно hv. Эйнштейн обобщил эту идею квантования энергии осциллятора электромагнитного поля на осциллятор произвольной природы. Поскольку тепловое движение твёрдых тел сводится к колебаниям атомов, то и твёрдое тело динамически эквивалентно набору осцилляторов. Энергия таких осцилляторов тоже квантованна, т. е. разность соседних уровней энергии (энергий, к-рыми может обладать осциллятор) должна равняться /zv, где  - частота колебаний атомов. Теория Эйнштейна, уточнённая П. Деба-ем, M. Борном и T. Карманом, сыграла выдающуюся роль в развитии теории твёрдых тел.

В 1913 H. Бор применил идею квантования энергии к теории строения атома, планетарная модель к-рого следовала из результатов опытов Э. Резерфор-да (1911). Согласно этой модели, в центре атома находится положительно заряженное ядро, в к-ром сосредоточена почти вся масса атома; вокруг ядра вращаются по орбитам отрицательно заряженные электроны. Рассмотрение такого движения на основе классич. представлений приводило к парадоксальному результату - невозможности стабильного существования атомов: согласно классич. электродинамике, электрон не может устойчиво двигаться по орбите, поскольку вращающийся электрич. заряд должен излучать электромагнитные волны и, следовательно, терять энергию; радиус его орбиты должен уменьшаться, и за время порядка 10-⁸ сек электрон должен упасть на ядро. Это означало, что законы классич. физики неприменимы к движению электронов в атоме, т.к. атомы существуют и чрезвычайно устойчивы.

Для объяснения устойчивости атомов Бор предположил, что из всех орбит, допускаемых Ньютоновой механикой для движения электрона в электрич. поле атомного ядра, реально осуществляются лишь те, к-рые удовлетворяют определённым условиям квантования. T. е. в атоме существуют (как в осцилляторе) дискретные уровни энергии. Эти уровни подчиняются определённой закономерности, выведенной Бором на основе комбинации законов Ньютоновой механики с условиями квантования, требующими, чтобы величина действия для классич. орбиты была целым кратным постоянной Планка h. Бор постулировал, что, находясь на определённом уровне энергии (т. е. совершая допускаемое условиями квантования орбитальное движение), электрон не излучает световых волн. Излучение происходит лишь при переходе электрона с одной орбиты на другую, т. е. с одного уровня энергии E_i на другой с меньшей энергией E_k; при этом рождается квант света с энергией, равной разности энергий уровней, между к-рыми осуществляется переход:

hv = E_i-E_k (2) Так возникает линейчатый спектр - основная особенность атомных спектров. Бор получил правильную формулу для частот спектральных линий атома водорода (и водородоподобных атомов), охватывающую совокупность открытых ранее эмпирич. формул (см. Спектральные серии).

Существование уровней энергии в атомах было непосредственно подтверждено Франка-Герца опытами (1913-14). Было установлено, что электроны, бомбардирующие газ, теряют при столкновении с атомами только определённые порции энергии, равные разности энергетич. уровней атома.

T. о., H. Бор, используя квантовую постоянную h, отражающую дуализм света, показал, что эта величина определяет также и движение электронов в атоме (и что законы этого движения существенно отличаются от законов классич. механики). Этот факт позднее был объяснён на основе универсальности корпус-кулярно-волнового дуализма, содержащегося в гипотезе де Бройля.

Успех теории Бора, как и предыдущие успехи квантовой теории, был достигнут за счёт нарушения логич. цельности теории: с одной стороны, использовалась Ньютонова механика, с другой - привлекались чуждые ей искусств, правила квантования, к тому же противоречащие классич. электродинамике. Кроме того, теория Бора оказалась не в состоянии объяснить движение электронов в сложных атомах (даже в атоме гелия), возникновение молекулярной связи и т. д. "Полуклассическая" теория Бора не могла также ответить на вопрос, как движется электрон при переходе с одного уровня энергии на другой. Дальнейшая напряжённая разработка вопросов теории атома привела к убеждению, что, сохраняя классич. картину движения электрона по орбите, логически стройную теорию построить невозможно. Осознание того факта, что движение электронов в атоме не описывается в терминах (понятиях) классич. механики (как движение по определённой траектории), привело к мысли, что вопрос о движении электрона между уровнями несовместим с характером законов, определяющих поведение электронов в атоме, и что необходима новая теория, в к-рую входили бы только величины, относящиеся к начальному и конечному стационарным состояниям атома. В 1925 В. Гейзен-бергу удалось построить такую формальную схему, в к-рой вместо координат и скоростей электрона фигурировали некие абстрактные алгебраич. величины - матрицы; связь матриц с наблюдаемыми величинами (энергетич. уровнями и интенсивностями квантовых переходов) давалась простыми непротиворечивыми правилами. Работа Гейзенберга была развита M. Борном и П. Иорданом. Так возникла матричная механика. Вскоре после появления ур-ния Шрёдингера была показана математич. эквивалентность волновой (основанной на ур-нии Шрёдингера) и матричной механики. В 1926 M. Борн дал вероятностную интерпретацию волн де Бройля (см. ниже).

Большую роль в создании К. м. сыграли работы Дирака, относящиеся к этому же времени. Окончательное формирование К. м. как последовательной физич. теории с ясными основами и стройным математич. аппаратом произошло после работы Гейзенберга (1927), в к-рой было сформулировано неопределённостей соотношение - важнейшее соотношение, освещающее физич. смысл ур-ний К. м., её связь с классич. механикой и другие как принципиальные вопросы, так и качеств, результаты К. м. Эта работа была продолжена и обобщена в трудах Бора и Гейзенберга.

Детальный анализ спектров атомов привёл к представлению (введённому впервые Дж. Ю. Уленбеком и С. Гаудсмитом и развитому В. Паули) о том, что электрону, кроме заряда и массы, должна быть приписана ещё одна внутр. характеристика (квантовое число) - спин. Важную роль сыграл открытый В. Паули (1925) т. н. принцип запрета (Паули принцип, см. ниже), имеющий фундамент, значение в теории атома, молекулы, ядра, твёрдого тела.

В течение короткого времени К. м. была с успехом применена к широкому кругу явлений. Были созданы теории атомных спектров, строения молекул, химич. связи, периодич. системы Д. И. Менделеева, металлич. проводимости и ферромагнетизма. Эти и MH. др. явления стали (по крайней мере качественно) понятными. Дальнейшее принца, пиальное развитие квантовой теории связано гл. обр. с релятивистской К. м. Нерелятивистская К. м. развивалась в основном в направлении охвата разнообразных конкретных задач физики атомов, молекул, твёрдых тел (металлов, полупроводников), плазмы и т. д., а также совершенствования матем. аппарата и разработки количеств, методов решения различных задач.

Вероятности и волны. Поскольку законы К. м. не обладают той степенью наглядности, к-рая свойственна законам классич. механики, целесообразно проследить линию развития идей, составляющих фундамент К. м., и только после этого сформулировать её основные положения. Выбор фактов, на основе к-рых строится теория, конечно, не единствен, поскольку К. м. описывает широчайший круг явлений и каждое из них способно дать материал для её обоснования. Будем исходить из требований простоты и возможной близости к истории.

Рассмотрим простейший опыт по распространению света (рис.1). На пути пучка света ставится прозрачная пластинка S.

Рис. 1.

Часть света проходит через пластинку, а часть отражается. Известно, что свет состоит из "частиц"- фотонов. Что же происходит с отдельным фотоном при попадании на пластинку? Если поставить опыт (напр., с пучком света крайне малой интенсивности), в к-ром можно следить за судьбой каждого фотона, то можно убедиться, что фотон при встрече с пластинкой не расщепляется на два фотона, его индивидуальность как частицы сохраняется (иначе свет менял бы свою частоту, т. е. "цветность"). Оказывается, что нек-рые фотоны проходят сквозь пластинку, а нек-рые отражаются от неё. В чем причина этого? Может быть, имеется два разных сорта фотонов? Поставим контрольный опыт: внесём такую же пластинку на пути прошедшего света, к-рый должен бы содержать только один из двух "сортов" фотонов. Однако будет наблюдаться та же картина: часть фотонов пройдёт вторую пластинку, а часть отразится. Следовательно, одинаковые частицы в одинаковых условиях могут вести себя по-разному. А это означает, что поведение фотона при встрече с пластинкой непредсказуемо однозначно. Детерминизма в том смысле, как это понимается в классич. механике, при движении фотонов не существует. Этот вывод является одним из отправных пунктов для устранения противоречия между корпускулярными и волновыми свойствами частиц и построения теории квантовоме-ханич. явлений.

Задача отражения света от прозрачной пластинки не представляет к.-л. трудности для волновой теории: исходя из свойств пластинки, волновая оптика однозначно предсказывает отношение интенсивностей прошедшего и отражённого света. С корпускулярной точки зрения, интенсивность света пропорциональна числу фотонов. Обозначим через N общее число фотонов, через N₁ и N₂ - число прошедших и число отражённых фотонов (N₁ + N₂ = N). Волновая оптика определяет отношение N₁/N₂, и о поведении одного ф о т о-н а, естественно, ничего сказать нельзя. Отражение фотона от пластинки или прохождение через неё являются случайными событиями: нек-рые фотоны проходят через пластинку, нек-рые отражаются от неё, но при большом числе фотонов оказывается, что отношение N₁/V₂ находится в согласии с предсказанием волновой оптики. Количественно закономерности, проявляющиеся при случайных событиях, описываются с помощью понятия вероятности (см. Вероятностей теория). Фотон может с вероятностью W₁пройти пластинку и с вероятностью W₂ отразиться от неё. При общем числе фотонов N в среднем пройдёт пластинку W₁N частиц, а отразится W₂N частиц. Если N очень велико, то средние (ожидаемые) значения чисел частиц точно совпадают с истинными (хотя флуктуации существуют, и классич. оптика их учесть не может). Все соотношения оптики могут быть переведены с языка интенсивностей на язык вероятностей и тогда они будут относиться к поведению одного фотона. Вероятность того, что с фотоном произойдёт одно из двух альтернативных (взаимно исключающих) событий - прохождение или отражение, равна W₁ + W₂ =1. Это закон сложения вероятностей, соответствующий сложению интенсивностей. Вероятность прохождения через две одинаковые пластинки равна W^2₁, а вероятность прохождения через первую и отражения от второй - W₁ W₂ (это отвечает тому, что на второй пластинке свет, прошедший первую пластинку, разделяется на прошедший и отражённый в том же отношении, как и на первой). Это закон умножения вероятностей (справедливый для независимых событий).

Рассмотренный опыт не специфичен для света. Аналогичные опыты с пучком электронов или др. микрочастиц также показывают непредсказуемость поведения отдельной частицы. Однако не только прямые опыты говорят в пользу того, что и в самом общем случае следует перейти к вероятностному описанию поведения микрочастиц. Теоретически невозможно представить, что одни микрочастицы описываются вероятностно, а другие классически: взаимодействие "классических" частиц с "квантовыми" с необходимостью приводило бы к внесению квантовых неопределённостей и делало бы поведение "классических" частиц также непредсказуемым (в смысле классич. детерминизма).

Предсказание вероятностей различных процессов - такова возможная формулировка задачи К. м., в отличие от задачи классической механики, состоящей в предсказании в принципе только достоверных событий. Конечно, вероятностное описание допустимо и в классической механике. Для получения достоверного предсказания классич. механика нуждается в абсолютно точном задании нач. условий, т. е. положений и скоростей всех образующих систему частиц. Если же нач. условия заданы не точно, а с нек-рой степенью неопределённости, то и предсказания будут содержать неопределённости, т. е. носить в той или иной степени вероятностный характер. Примером служит классическая статистич. физика, оперирующая с нек-рыми усреднёнными величинами. Поэтому дистанция между строем мысли квантовой и классич. механики была бы не столь велика, если бы основными понятиями К. м. были именно вероятности. Чтобы выяснить радикальное различие между К. м. и классич. механикой, несколько усложним рассмотренный выше опыт по отражению света.

Пусть отражённый пучок света (или микрочастиц) при помощи зеркала 3 поворачивается и попадает в ту же область А (напр., в тот же детектор, регистрирующий фотоны), что и прошедший пучок (рис. 2). Естественно было бы ожидать, что в этом случае измеренная интенсивность равна сумме интенсивностей прошедшего и отражённого пучков.

Рис. 2.

Но хорошо известно, что это не так: интенсивность в зависимости от расположения зеркала и детектора может меняться в довольно широких пределах и в нек-рых случаях (при равной интенсивности прошедшего и отражённого света) даже обращаться в ноль (пучки как бы гасят друг друга). Это - явление интерференции света. Что же можно сказать о поведении отдельного фотона в интерференционном опыте? Вероятность его попадания в данный детектор существенно перераспределится по сравнению с первым опытом, и не будет равна сумме вероятностей прихода фотона в детектор первым и вторым путями. Следовательно, эти два пути не являются альтернативными (иначе вероятности складывались бы). Отсюда следует, что наличие двух путей прихода фотона от источника к детектору существ, образом влияет на распределение вероятностей, и поэтому нельзя сказать, каким путём прошёл фотон от источника к детектору. Приходится считать, что он одновременно мог придти двумя различными путями.

Необходимо подчеркнуть радикальность возникающих представлений. Действительно, невозможно представить себе движение частицы одновременно по двум путям. К. м. и не ставит такой задачи. Она лишь предсказывает результаты опытов с пучками частиц. Подчеркнём, что в данном случае не высказывается никаких гипотез, а даётся лишь интерпретация волнового опыта с точки зрения корпускулярных представлений. (Напомним, что речь идёт не только о свете, но и о любых пучках частиц, напр, электронов.) Полученный результат означает невозможность классич. описания движения частиц по траекториям, отсутствие наглядности квантового описания.

Попытаемся всё же выяснить, каким путём прошла частица, поставив на возможных её путях детекторы. Естественно, что частица будет зарегистрирована в одном, а не сразу во всех возможных местах. Но как только измерение выделит определённую траекторию частицы, интерференционная картина исчезнет. Распределение вероятностей станет другим. Для возникновения интерференции нужны обе (все) возможные траектории. T. о., регистрация траектории частицы так изменяет условия, что два пути становятся альтернативными, и в результате получается сложение интенсивностей, к-рое было бы в случае "классич." частиц, движущихся по определённым траекториям .

Для квантовых явлений очень важно точное описание условий опыта, в к-рых наблюдается данное явление. В условия, в частности, входят и измерит, приборы. В классич. физике предполагается, что роль измерит, прибора может быть в принципе сведена только к регистрации движения и состояние системы при измерении не меняется. В квантовой физике такое предположение несправедливо: измерит, прибор наряду с др. факторами сам участвует в формировании изучаемого на опыте явления, и эту его роль нельзя не учитывать. Роль измерит, прибора в квантовых явлениях была всесторонне проанализирована H. Бором и В. Гейзенбер-гом. Она тесно связана с соотношением неопределённостей, к-рое будет рассмотрено позже.

Внимание к роли измерений не означает, что в К. м. не изучаются физич. явления безотносительно к приборам, напр, свойства частиц "самих по себе". Так, решаемые К. м. задачи об энергетич. уровнях атомов, о рассеянии микрочастиц при их столкновениях друг с другом, об интерференционных явлениях - это задачи о свойствах частиц и их поведении. Роль прибора выступает на первое место тогда, когда ставятся спе-цифич. вопросы, нек-рые из к-рых лишены, как выяснилось, смысла (напр., вопрос о том, по какой траектории двигался электрон в интерференционном опыте, т. к. либо нет траектории, либо нет интерференции).

Вернёмся к интерференционному опыту. До сих пор было сделано лишь негативное утверждение: частица не движется по определённому пути, и вероятности не складываются. Конструктивное предложение для описания подобной ситуации можно почерпнуть снова из волновой оптики. В оптике каждая волна характеризуется не только интенсивностью, но и фазой (интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды). Совокупность этих двух действит. величин - амплитуды А и фазы ф -принято объединять в одно комплексное число, к-рое наз. комплексной амплитудой:  = Ae^iф. Тогда интенсивность равна I = ||² = * = A², где * - функция, комплексно сопряжённая с ф. T. к. непосредственно измеряется именно интенсивность, то для одной волны фаза никак не проявляется. В опыте с прохождением и отражением света ситуация именно такая: имеется две волны ₁ и ₂, ко одна из них существует только справа, а другая только слева (см. рис. 1); интенсивности этих волн I₁ = A₁², I₂ = A₂², и фазы не фигурируют (поэтому можно было обойтись только интенсивностями). В интерференционном опыте ситуация изменилась: волна ₂ с помощью зеркала была направлена в область нахождения волны ₁ (см. рис. 2). Волновое поле в области существования двух волн определяется в оптике с помощью принципа суперпозиции: волны налагаются друг на друга, т. е. складываются с учётом их фаз. Суммарная волна ф имеет комплексную амплитуду, равную сумме комплексных амплитуд обеих волн:

Интенсивность суммарной волны зависит от разности фаз ₁ -₂ (пропорциональной разности хода световых пучков по двум путям):

В частности, при A₁= A₂ и cos (]ph₁ - ₂)= = -1 ||² = О.

В этом примере рассмотрен простейший случай сложения амплитуд. В более общем случае из-за изменения условий (напр., из-за свойств зеркала) амплитуды могут изменяться по величине и фазе, так что суммарная волна будет иметь вид

= с₁₁ + c₂₂, где C₁ и C₂ - комплексные числа:

Принципиальная суть явления при этом не изменяется. Характер явления не зависит также от общей интенсивности. Если увеличить  в С раз, то интенсивность увеличится в |С|² раз, т. е. |С|² будет общим множителем в формуле распределения интенсивностей . Число С можно считать как комплексным, так и действительным, физ. результаты не содержат фазы числа С - она произвольна. Для интерпретации волновых явлений с корпускулярной точки зрения необходимо перенесение принципа суперпозиции в К. м. Поскольку К. м. имеет дело не с интенсивностями, а с вероятностями, следует ввести амплитуду вероятности  = Ae^lф, полагая (по аналогии с оптич. волнами), что в е-роятность w = |c|² = |с|²*). Здесь с - число, паз. нормировочным множителем, к-рый должен быть подобран так, чтобы суммарная вероятность обнаружения частицы во всех возможных

местах равнялась 1, т. е.

Множитель с определён только по модулю, фаза его произвольна. Нормировочный множитель важен только для определения абс. вероятности; относит, вероятности определяются амплитудами вероятности в произвольной нормировке. Амплитуда вероятности наз. в К. м. также волновой функцией.

Амплитуды вероятности (как оптич. амплитуды) удовлетворяют принципу суперпозиции: если ₁ и ₂ - амплитуды вероятности прохождения частицы соответственно первым и вторым путём, то амплитуда вероятности для случая, когда осуществляются оба пути, должна быть равна  = ₁ + ₂. Тем самым фраза: "частица прошла двумя путями" приобретает волновой смысл, а вероятность то = |₁ + ₂|² обнаруживает интерференционные свойства.

Следует подчеркнуть различие в смысле, вкладываемом в принцип суперпозиции в оптике (и др. волновых процессах) и К. м. Сложение (суперпозиция) обычных волн не противоречит наглядным представлениям, т. к. каждая из волн представляет возможный тип колебаний и суперпозиция соответствует сложению этих колебаний в каждой точке. В то же время квантовомеханич амплитуды вероятности описывают альтернативные (с классич. точки зрения, исключающие друг друга) движения (напр., волны ₁ и ₂ соответствуют частицам, приходящим в детектор двумя различными путями). С классич. точки зрения, сложение таких движений представляется совершенно непонятным. В этом проявляется отсутствие наглядности квантовомеханич. принципа суперпозиции. Избежать формального логич. противоречия квантовомеханич. принципа суперпозиции (возможность для частицы пройти одновременно двумя путями) позволяет вероятностная интерпретация. Постановка опыта по определению пути частицы (см. выше) приведёт к тому, что с вероятностью |₁|² частица пройдёт первым и с вероятностью |₂|² - вторым путём. Суммарное распределение частиц на экране будет определяться вероятностью |₁|² +|₂|², т. е. интерференция исчезнет.

T. о., рассмотрение интерференционного опыта приводит к следующему выводу. Величиной, описывающей состояние физ. системы в К. м., является амплитуда вероятности, или волновая функция, системы. Осн. черта такого квантовомеханич- описания - предположение о справедливости принципа суперпозиции состояний.

Принцип суперпозиции - осн. принцип К. м. В общем виде он утверждает, что если в данных условиях возможны различные квантовые состояния частицы (или системы частиц), к-рым соответствуют волновые функции ₁, ₂,..., _i, ..., то существует и состояние, описываемое волновой функцией

где C_i - произвольные комплексные числа. Если ₁ описывают альтернативные состояния, то |с_i|² определяет вероятность того, что система находится в состоянии с волновой функцией ₁ , и

Волны де Бройля и соотношение неопределённостей. Одна из основных задач К. м.- нахождение волновой функции, отвечающей данному состоянию изучаемой системы. Рассмотрим решение этой задачи на простейшем (но важном) случае свободно движущейся частицы. Согласно де Бройлю, со свободной частицей, имеющей импульс р, связана волна с длиной  = h/p. Это означает, что волновая функция свободной частицы () - волна де Бройля - должна быть такой функцией координаты х, чтобы при изменении на  волновая функция  возвращалась к прежнему значению. Этим свойством обладает функция е^i2пч/x. Если ввести величину k = 2/ наз. волновым числом, то соотношение де Бройля примет вид:  = (h/2)k = hk. T. о., если частица имеет определённый импульс р, то её состояние описывается волновой функцией

где С - постоянное комплексное число. Эта волновая функция обладает замечательным свойством: квадрат её модуля ||² не зависит от х, т. е. вероятность нахождения частицы, описываемой такой волновой функцией, в любой точке пространства одинакова. Др. словами, частица со строго определённым импульсом совершенно нелокализована. Конечно, это идеализация - полностью нелокализованных частиц не существует. Но в той же мере идеализацией является и волна со строго определённой длиной волны, а следовательно, и строгая определённость импульса частицы. Поэтому точнее сказать иначе: чем более определённым является импульс частицы, тем менее определённо её положение (координата). В этом заключается специфический для К. м. принцип неопределённости. Чтобы получить количеств, выражение этого принципа - соотношение неопределённостей, рассмотрим состояние, представляющее собой суперпозицию некоторого (точнее, бесконечно большого) числа де-бройлевских волн с близкими волновыми числами, заключёнными в малом интервале k Получающаяся в результате суперпозиции волновая функция (x) (она называется волновым пакетом) имеет такой характер: вблизи нек-рого фиксированного значения x₀ все амплитуды сложатся, а вдали от x₀ (|x-x₀|>>) будут гасить друг друга из-за большого разнобоя в фазах. Оказывается , что практически такая волновая функция сосредоточена в области шириной x, обратно пропорциональной интервалу k, т. е. x~1/k, или .xp~h(где  = hk - неопределённость импульса частицы). Это соотношение и представляет собой соотношение неопределённостей Гейзенбепга.

Математически любую функцию (x) можно представить как наложение простых периодич. волн - это известное Фурье преобразование, на основании свойств к-рого соотношение неопределённостей между x и k получается математически строго. Точное соотношение имеет вид неравенства x k>=1/2, или

причём под неопределённостями p и x понимаются дисперсии, т. е. среднеквадратичные отклонения импульса и координаты от их ср. значений. Физич. интерпретация соотношения (6) заключается в том, что (в противоположность классич. механике) не существует такого состояния, в к-ром координата и импульс частицы имеют одновременно точные значения. Масштаб неопределённостей этих величин задаётся постоянной Планка h, в этом заключён важный смысл этой мировой постоянной. Если неопределённости, связанные соотношением Гейзен-берга, можно считать в данной задаче малыми и пренебречь ими, то движение частицы будет описываться законами классич. механики (как движение по определённой траектории).

Принцип неопределённости является фундаментальным принципом К. м., устанавливающим физич. содержание и структуру её математич. аппарата. Кроме этого, он играет большую эвристич. роль, т.к. многие результаты К.м. могут быть получены и поняты на основе комбинации законов классич. механики с соотношением неопределённостей. Важным примером является проблема устойчивости атома, о к-рой говорилось выше. Рассмотрим эту задачу для атома водорода. Пусть электрон движется вокруг ядра (протона) по круговой орбите радиуса со скоростью v. По закону Кулона сила притяжения электрона к ядру равна е²/r², где е - абс. величина заряда электрона, а центростремительное ускорение равно v²/r. По второму закону Ньютона mv²/r=e²/r², где т - масса электрона. Отсюда следует, что радиус орбиты r = e²/mv²может быть сколь угодно малым, если скорость достаточно велика. Но в К. м. должно выполняться соотношение неопределённостей. Если допустить неопределённость положения электрона в пределах радиуса его орбиты г, а неопределённость скорости - в пределах , т. е. импульса в пределах р - mv, то соотношение неопределён-костей примет вид: mvr>=h. Воспользовавшись связью между и r, определяемой законом Ньютона, получим v<=e²lh и r>=h²/mе². Следовательно, движение электрона по орбите с радиусом, меньшим r₀ = h²/m²~0,5· 10-⁸ см, невозможно, электрон не может упасть на ядро - атом устойчив. Величина r₀ и является радиусом атома водорода ("бо-ровским радиусом"). Ему соответствует максимально возможная энергия связи атома E₀ (равная полной энергии электрона в атоме, т. е. сумме кинетич. энергии mv²/2 и потенциальной энергии - е²/r₀, что составляет E₀ = -е²/2r₀~ ~ - 13,6 эв), определяющая его минимальную энергию - энергию осн. состояния.

T. о., квантовомеханич. представления впервые дали возможность теоретически оценить размеры атома (выразив его радиус через мировые постоянные h, т, е). "Малость" атомных размеров оказалась связанной с тем, что чмала" постоянная И.

Примечательно, что совр. представления об атомах, обладающих вполне определёнными устойчивыми состояниями, оказываются ближе к представлениям древних атомистов, чем основанная на законах классич. механики. планетарная модель атома, позволяющая электрону находиться на любых расстояниях от ядра.

Строгое решение задачи о движении электрона в атоме водорода получается из квантовомеханич. ур-ния движения - ур-ния Шрёдингера (см. ниже); ре-,шение ур-ния Шрёдингера даёт волновую функцию , к-рая описывает состояние электрона, находящегося в области притяжения ядра. Но и не зная явного вида , можно утверждать, что эта волновая функция представляет собой такую суперпозицию волн де Бройля, к-рая соответствует локализации электрона в области с размером >> r₀ и разбросу по импульсам ~ h/r₀.

Соотношение неопределённостей позволяет также понять устойчивость молекул и оценить их размеры и минимальную энергию, объясняет существование вещества, к-рое ни при каких темп-pax не превращается при нормальном давлении в твёрдое состояние (гелий), даёт качеств, представления о структуре и размерах ядра и т. д.

Существование уровней энергии - характерное квантовое явление, присущее всем физич. системам, не вытекает непосредственно из соотношения неопределённостей. Ниже будет показано, что дискретность уровней энергии связанной системы можно объяснить на основе ур-ния Шрёдингера; отметим лишь, что возможные дискретные значения энергии (энер-гетич. уровни) E_п > E₀соответствуют возбуждённым состояниям квантовомеханич. системы (см., напр., Атом).

Стационарное уравнение Шрёдингера. Волны де Бройля описывают состояние частицы только в случае свободного движения. Если на частицу действует поле сил с потенциальной энергией V (наз. также потенциалом), зависящей от координат частицы, то волновая функция частицы  определяется дифференциальным ур-нием, к-рое получается путём след, обобщения гипотезы де Бройля. Для случая, когда движение частицы с заданной энергией & происходят в одном измерении (вдоль оси х), ур-ние, к-рому удовлетворяет волна де Бройля (5), может быть записано в виде:

где p =(2тE)^1/2 - импульс свободно движущейся частицы (массы т). Если частица с энергией E движется в потенциальном поле V(x), не зависящем от времени, то квадрат её импульса (определяе-м-ый законом сохранения энергии) равен р² = 2т[E - V(x)]. Простейшим обобщением ур-ния (*) является поэтому ур-ние

Оно наз. стационарным (не зависящим от времени) уравнением Шрёдингера и относится к основным ур-ниям К. м. Решение этого ур-ния зависит от вида сил, т. е. от вида потенциала V(x). Рассмотрим неск. типичных случаев.

1) V = const, E>V. Решением является волна де Бройля  = Ce^ikx, где h²k²/2m = p²/2m =E-V - кинетическая энергия частицы.

Рис. 3.

2) Потенциальная стенка:

V = O при x < О, V = V₁ > О при x > О. Если полная энергия частицы больше высоты стенки, т. е.E > V₁, и частица движется слева направо (рис. 3), то решение ур-ния (7) в области х<0 имеет вид двух волн де Бройля - падающей и отражённой:

(волна с волновым числом k = - k₀ соответствует движению справа налево с тем же импульсом р₀), а при x>0 - проходящей волны де Бройля:

Отношения |C₁/C₀|² и |C'₀/₀|² определяют вероятности прохождения частицы над стенкой и отражения от неё. Наличие отражения - специфически квантовомеханич. (волновое) явление (аналогичное частичному отражению световой волны от границы раздела двух прозрачных сред): "классич." частица проходит над барьером, и лишь импульс её уменьшается до значения

вели энергия частицы меньше высоты стенки, E < V (рис. 4,а), то кинетич. энергия частицы E - V в области х>0 отрицательна. В классич. механике это невозможно, и частица не заходит в такую область пространства - она отражается от потенциальной стенки. Волновое движение имеет др. характер. Отри-цат. значение k²(p²/2m = h²k²/2m<0) означает, что k - чисто мнимая величина, k = ix, где и вещественно. Поэтому волна е^ikxпревращается в е^-kx, т. е. коле-бат. режим сменяется затухающим (x>0,

Рис. 4,

иначе получился бы лишённый физ. смысла неограниченный рост волны с увеличением х). Это явление хорошо известно в теории колебаний. Под энергетич. схемой на рис. 4,а (и рис. 4,6) изображено качеств, поведение волновой функции (x), точнее её действит. части.

3) Две области, свободные от сил, разделены прямоугольным потенциальным барьером V, и частица движется к барьеру слева с энергией E<V (рис. 4,6). Согласно классич. механике, частица отразится от барьера; согласно К. м., волновая функция не равна нулю и внутри барьера, а справа будет опять иметь вид волны де Бройля с тем же импульсом (т.е. с той же частотой, но, конечно, с меньшей амплитудой). Следовательно, частица может пройти сквозь барьер. Коэфф. (или вероятность) проникновения будет тем больше, чем меньше ширина и высота (чем меньше разность V - E) барьера. Этот типично квантовомеханич. эффект, называемый туннельным эффектом, имеет большое значение в практич. приложениях К. м. Он объясняет, напр., явление альфа-распада - вылета из радиоактивных ядер -частиц (ядер гелия). В термоядерных реакциях, протекающих при темп-pax в десятки и сотни млн. градусов, основная масса реагирующих ядер преодолевает электростатич.(кулоновское) отталкивание и сближается на расстояния порядка действия ядерных сил в результате туннельных (подбарьерных) переходов. Возможность туннельных переходов объясняет также автоэлектронную эмиссию - явление вырывания электронов из металла электрич. полем, контактные явления в металлах и полупроводниках и MH. др. явления.
 

Рис. 5,

Уровни энергии. Рассмотрим поведение частицы в поле произвольной потенциальной ямы (рис. 5). Пусть потенциал отличен от нуля в нек-рой ограниченной области, причем V < О (силы притяжения). При этом и классическое, и квантовое движения существенно различны в зависимости от того, положительна или отрицательна полная энергия E частицы. При E>0 "классич." частица проходит над ямой и удаляется от неё. Отличие квантовомеханич. движения от классического состоит в том, что происходит частичное отражение волны от ямы; при этом возможные значения энергии ничем не ограничены - энергия частицы имеет непрерывный спектр. При E < О частица оказывается "запертой" внутри ямы. В классич. механике эта ограниченность области движения абсолютна и возможна при любых значениях E<0. В К. м. ситуация существенно меняется. Волновая функция должна затухать по обе стороны от ямы, т. е. иметь вид е-^x|^x| . Однако решение, удовлетворяющее этому условию, существует не при всех значениях E, а только при определённых дискретных значениях. Число таких дискретных значений E_пможет быть конечным или бесконечным, но оно всегда счётно, т. е. может быть перенумеровано, и всегда имеется низшее значение E₀ (лежащее выше дна потенциальной ямы); номер решения n наз. квантовым числом. В этом случае говорят, что энергия системы имеет дискретный спектр. Дискретность допустимых значений энергии системы (или соответствующих частот  = E_n/h, где  = 2- угловая частота) - типично волновое явление. Его аналогии наблюдаются в классич. физике, когда волновое движение происходит в ограниченном пространстве. Так, частоты колебаний струны или частоты электромагнитных волн в объёмном резонаторе дискретны и определяются размерами и свойствами границ области, в к-рой происходят колебания. Действительно, ур-ние Шрёдингера математически подобно соответствующим ур-ниям для струны или резонатора.

Рис. 6.

Проиллюстрируем дискретный спектр энергии на примере квантового осциллятора. На рис. 6 по оси абсцисс отложено расстояние частицы от положения равновесия. Кривая (парабола) представляет потенциальную энергию частицы. В этом случае частица при всех энергиях "заперта" внутри ямы, поэтому спектр энергии дискретен. Горизонтальные прямые изображают уровни энергии частицы. Энергия низшего уровня E₀ = h/2; это наименьшее значение энергии, совместимое с соотношением неопределённостей: положение частицы на дне ямы (E = О) означало бы точное равновесие, при к-ром и x = О, и p = О, что невозможно, согласно принципу неопределённости. Следующие, более высокие уровни энергии осциллятора расположены на равных расстояниях через интервал h; формула для энергии n-го уровня:

Над каждой горизонтальной прямой на рис. приведено условное изображение волновой функции данного состояния. Характерно, что число узлов волновой функции (т. е. число прохождений через О) равно квантовому числу n энер-гетич. уровня. По др. сторону ямы (за точкой пересечения уровня с кривой потенциала) волновая функция быстро затухает, в соответствии с тем, что говорилось выше.

В общем случае каждая квантовомеханич. система характеризуется своим энергетическим спектром. В зависимости от вида потенциала (точнее, от характера взаимодействия в системе) энергетич. спектр может быть либо дискретным (как у осциллятора), либо непрерывным (как у свободной частицы,- её кинетич. энергия может иметь произвольное положит, значение), либо частично дискретным, частично непрерывным (напр., уровни атома при энергиях возбуждения, меньших энергии ионизации, дискретны, а при больших энергиях - непрерывны).

Особенно важным является случай, имеющий место в атомах, молекулах, ядрах и др. системах, когда наинизшее значение энергии, соответствующее осн. состоянию системы, лежит в области дискретного спектра и, следовательно, осн. состояние отделено от первого возбуждённого состояния энергетической щелью. Благодаря этому внутр. структура системы не проявляется до тех пор, пока обмен энергией при её взаимодействиях с др. системами не превысит определённого значения - ширины энергетич. щели. Поэтому при ограниченном обмене энергией сложная система (напр., ядро или атом) ведёт себя как бесструктурная частица (материальная точка). Это имеет первостепенное значение для понимания, напр., теплового движения. Так, при энергиях теплового движения, меньших энергии возбуждения атомных уровней, электроны атомов не могут участвовать в обмене энергией и не дают вклада в теплоёмкость.

Временное уравнение Шрёдингера. До сих пор рассматривались лишь возможные квантовые состояния системы и не рассматривалась эволюция системы во времени (её динамика), определяемая зависимостью волновой функции от времени. Полное решение задач К. м. должно давать волновую функцию  как функцию координат и времени t . Для одномерного движения она определяется ур-нием

являющимся уравнением движения в К. м. Это ур-ние наз. временным уравнением Шрёдингера. Оно справедливо и в том случае, когда потенциальная энергия зависит от времени: V = V(x, t).

Частными решениями ур-ния (9) являются функции

Здесь E - энергия частицы, а (x) удовлетворяет стационарному ур-нию Шрёдингера (7); для свободного движения (x) является волной де Бройля е^ikx.

Волновые функции (10) обладают тем важным свойством, что соответствующие распределения вероятностей не зависят от времени, т. к. |(x,t)|² = = |(x)|². Поэтому состояния, описываемые такими волновыми функциями, наз. стационарными; они играют особую роль в приложениях К. м.

Общее решение временного ур-ния Шрёдингера представляет собой суперпозицию стационарных состояний. В этом общем (нестационарном) случае, когда вероятности существенно меняются со временем, энергия E не имеет определённого значения. Так, если

то E = h₁ с вероятностью |C₁|² и E= h₂ с вероятностью |С₂|². Для энергии и времени существует соотношение неопределённостей: Et~h, (11) где E - дисперсия энергии, а t- промежуток времени, в течение к-рого энергия может быть измерена.

Трёхмерное движение. Момент количества движения. До сих пор рассматривалось (ради простоты) одномерное движение. Обобщение на движение частицы в трёх измерениях не содержит принципиально новых элементов. В этом случае волновая функция зависит от трёх координат х,y,z (и времени):  = (x,y,z,t), а волна де Бройля имеет вид

где р_х, р_у, p_г - три проекции импульса на оси координат, а E = (р²_х + p^2_y+"p²z)/2m. Соответственно имеются три соотношения неопределённостей:

Временное ур-ние Шрёдингера имеет вид:

Это ур-ние принято записывать в символич. форме

где

- дифференциальный оператор, наз. оператором Гамильтона, или гамильтонианом. Стационарным решением ур-ния (14) является

где ₀ - решение ур-ния Шрёдингера для стационарных состояний:

При трёхмерном движении спектр энергии также может быть непрерывным и дискретным. Возможен и случай, когда неск. разных состояний имеют одинаковую энергию; такие состояния наз. в ы-рожденными. В случае непрерывного спектра частица уходит на бесконечно большое расстояние от центра сил. Но, в отличие от одномерного движения (когда были только две возможности - прохождение или отражение), при трёхмерном движении частица может удалиться от центра под произвольным углом к направлению первоначального движения, т. е. рассеяться. Волновая функция частицы теперь является суперпозицией не двух, а бесконечного числа волн де Бройля, распространяющихся по всевозможным направлениям. Рассеянные частицы удобно описывать в сферич. координатах, т. е. определять их положение расстоянием от центра (радиусом) r и двумя углами - широтой  и азимутом . Соответствующая волновая функция на больших расстояниях r от центра сил имеет вид:

Первый член (пропорциональный волне це Бройля, распространяющейся вдоль. оси z) описывает падающие частицы, а второй (пропорциональный "радиальной волне де Бройля") - рассеянные. Функция f (, ) наз. амплитудой рассеяния; она определяет т. н. дифференциальное сечение рассеяния d, характеризующее вероятность рассеяния под данными углами:

d=|f(,)|2d, (18)

где d - элемент телесного угла , в к-рый происходит рассеяние.

Дискретный спектр энергии возникает, как и при одномерном движении, когда частица оказывается внутри потенциальной ямы. Энергетич. уровни нумеруют квантовыми числами, причём, в отличие от одномерного движения, не одним, а тремя. Наибольшее значение имеет задача о движении в поле центральных сил притяжения. В этом случае также удобно пользоваться сферич. координатами.

Момент количества движения. Угловая часть движения (вращение) определяется в К. м., как и в классич. механике, заданием момента количества движения, к-рый при движении в поле центральных сил сохраняется. Но, в отличие от классич. механики, в К. м. момент имеет дискретный спектр, т. е. может принимать только вполне определённые значения. Это можно показать на примере азимутального движения-вращения вокруг заданной оси (примем её за ось z). Волновая функция в этом случае имеет вид "угловой волны де Бройля" e'^m'^f, где - азимут, а число т так же связано с моментом Mz, как в плоской волне де Бройля волновое число k с импульсом р, т. е. т = MzIh. T. к. углы  и  + 2 описывают одно и то же положение, то и волновая функция при изменении  на 2 должна возвращаться к прежнему значению. Отсюда вытекает, что т может принимать только целочисленные значения: т = О, ±1, ±2,..., т. е. момент может быть равен

М_z = mh = 0, ±h, ±2h,··· (19)

Вращение вокруг оси z есть только часть углового движения (это проекция движения на плоскость ху), a M_z - не полный момент, а только его проекция на ось z. Чтобы узнать полный момент, надо определить две остальные его проекции. Но в К. м. нельзя одновременно точно задать все три составляющие момента. Действительно, проекция момента содержит произведение проекции импульса на соответствующее плечо (координату, перпендикулярную импульсу), а все проекции импульса и все плечи, согласно соотношениям неопределённостей (13), одновременно не могут иметь точные значения. Оказывается, что, кроме проекции M_z момента количества движения на ось z (задаваемой числом т), можно одновременно точно задать величину момента M, определяемую целым числом /:

M² = h²/(/+l), / = 0,1,2,... (20)

T. о., угловое движение даёт два квантовых числа - / и т. Число / наз. орбитальным квантовым числом, от него может зависеть значение энергии частицы (как в классич. механике от вытянутости орбиты). Число т наз. магнитным квантовым числом и при данном I может принимать значения т = О, ±1, ±2, ..., ±1 - всего 21 + 1 значений; от т энергия не зависит, т. к. само значение т зависит от выбора оси z, а поле имеет сферич. симметрию. Поэтому уровень с квантовым числом I имеет (2/ + 1)-кратное вырождение. Энергия уровня начинает зависеть от т лишь тогда, когда сферич. симметрия нарушается, напр, при помещении системы в магнитное поле (Зеема-на эффект).

При заданном моменте радиальное движение похоже на одномерное движение с тем отличием, что вращение вызывает центробежные силы. Их учитывают введением (кроме обычного потенциала) центробежного потенциала, к-рый имеет вид М²/2тr^г, как и в классич. механике (здесь т - масса частицы). При этом квадрат момента M² следует заменить на величину h²l(l + 1). Решение ур-ния Шрёдингера для радиальной части волновой функции атома определяет его уровни энергии и вводит третье квантовое число - радиальное п_rили главное п, к-рые связаны соотношением n = n_r + 1 + 1, n, = = 0, 1, 2, ..., = 1, 2, 3,...В частности, для движения электрона в кулоновском поле ядра с зарядом Ze (водородоподоб-ный атом) уровни энергии определяются формулой

т. е. энергия зависит только от главного квантового числа п. Для многоэлектронных атомов, в которых каждый электрон движется не только в поле ядра, но и в поле остальных электронов, уровни энергии зависят также и от /.

На рис. 3 в статье Атом приведены радиальные и угловые распределения электронной плотности (т.е. плотности вероятности или плотности заряда) вокруг ядра. Видно, что задание момента (т. е. чисел / и т) полностью определяет угловое распределение. В частности, при l=O (M² = О) распределение электронной плотности сферически симметрично. T. о., квантовое движение при малых / совершенно непохоже на классическое. Так, сферически симметричное состояние со ср. значением радиуса r<>О в нек-рой степени, отвечает как бы классич. движению по круговой орбите (или по совокупности круговых орбит, наклонённых под разными углами), т. е. движению с ненулевым моментом (нулевой момент в классич. механике соответствует нулевому плечу, а здесь плечо r<>0). Это различие между квантовомеханиче-ским и классическим движением является следствием соотношения неопределённостей и может быть истолковано на его основе. При больших квантовых числах (напр., при l>>1 1, п_r>>1) длина волны де Бройля становится значительно меньше расстояний L, характерных для движения данной системы:

В этом случае квантрвомеханич. законы движения приближённо переходят в классич. законы движения по определённым траекториям, подобно тому, как законы волновой оптики в аналогичных условиях переходят в законы геомет-рич. оптики (описывающей распространение света с помощью лучей). Условие малости длины де-бройлевской волны (22) означает, что pL >>h, где pL по порядку величины равно классич. действию для системы. В этих условиях квант действия h можно считать очень малой величиной, т. е. формально переход квантовомеханич. законов в классические осуществляется при h -> О. В этом пределе исчезают все специфические квантовомеханич. явления, напр, обращается в нуль вероятность туннельного эффекта.

Спин. В К. м. частица (как сложная, напр, ядро, так и элементарная, напр, электрон) может иметь собственный момент количества движения, наз. спином частицы. Это означает, что частице можно приписать квантовое число (s), аналогичное орбитальному квантовому числу l. Квадрат собств. момента количества движения имеет величину h²s(s+l), а проекция момента на определённое направление может принимать 2s+1 значений от - hs до +hs с интервалом h. T. о., состояние частицы (2s+ I) - кратно вырождено. Поэтому волна де Бройля частицы со спином аналогична волне с поляризацией: при данной частоте и длине волны она имеет 2s+l поляризаций. Число таких поляризаций может быть произвольным целым числом, т. е. спиновое квантовое число s может быть как целым (0,1,2,...), так и полуцелым ('/2, ³/2, ⁵/2,...) числом. Спин электрона, протона и нейтрона равен ⁴/₂ (в единицах h). Спин ядер, состоящих из чётного числа нуклонов (протонов и нейтронов), - целый или нулевой, а из нечётного - полуцелый. Отметим, что для фотона соотношение между числом поляризаций и спином (к-рый равен 1) другое: фотон не имеет массы покоя, а (как показывает релятивистская К. м.) для таких частиц число поляризаций равно двум (а не 2s +  1 = 3).